Doppelintegrale 2

Berechnen des Volumens unter z=xy^2

Du hast nun hoffentlich ein Gespür dafür bekommen, was ein Doppelintegral

ist oder wie wir vorgehen, wenn wir das Volumen unter einer Fläche

berechnen wollen.

Also, lass es uns gleich mal ausrechnen und ich denke, dann wird es

konkreter.

Nehmen wir an, wir haben eine Fläche z, und z ist

eine Funktion von x und y.

Und z ist gleich x mal y zum Quadrat.

Es ist eine Fläche im dreidimensionalen Raum.

Und ich will wissen, wie gross das Volumen zwischen dieser

Fläche und der x-y-Ebene ist.

Und das Gebiet in der x-y-Ebene, das mich interessiert, ist:

x ist größer gleich 0 und kleiner gleich 2.

Und y ist größer gleich 0 und kleiner

gleich 1.

Schauen wir mal wie das aussieht, damit wir eine

gute Vorstellung davon haben.

Ich habe es hier grafisch dargestellt und ich kann es rotieren.

Das ist z gleich x mal y im Quadrat.

Das ist der Definitionsbereich, stimmt's? x geht von 0 bis

2; y geht von 0 bis 1.

Wir wollen tatsächlich -- Man kann das fast als Volumen

betrachten -- Also nicht fast.

Exakt als Volumen unter der Fläche betrachten.

Zwischen dieser Fläche, der oberen Fläche und der x-y-Ebene.

Und ich rotiere es, damit du ein besseres Gefühl für

das tatsächliche Volumen kriegst.

Lass es mich rotieren.

Ich sollte die Maus dafür verwenden.

Also, es ist dieser Raum hier unterhalb.

Es ist wie ein Behelfszelt oder so.

Ich kann es noch ein bisschen rotieren.

Was unter dieser -- zwischen diesen Flächen liegt,

das ist das Volumen.

Ups, ich hab es auf den Kopf gedreht.

Na bitte.

Also, das ist das Volumen, das uns interessiert.

Lasst uns herausfinden wie es geht und wir versuchen auf dem Weg

ein bisschen Intuition aufzubauen.

Ich werde jetzt eine etwas weniger eindrückliche Version dieses Graphen

zeichnen, aber ich denke es wird seinen Zweck vorerst erfüllen.

Lass mich die Achsen zeichnen.

Das ist meine x-Achse, das ist meine y-Achse und das ist meine z-Achse.

x, y, z.

x geht von 0 bis 2.

Sagen wir das ist 2.

y geht von 0 bis 1.

Also, wir nehmen das Volumen oberhalb dieses Rechtecks

in der x-y-Ebene.

Und dann die Fläche, ich tu mein bestes, um sie zu zeichnen.

Ich zeichne sie in einer anderen Farbe.

Ich schaue auf das Bild.

An diesem Ende sieht es ungefähr so aus.

Und dann kommt eine gerade Linie.

Mal schauen, ob ich zeichnen kann, wie diese Fläche da runter geht.

Und wenn ich richtig gut bin, kann ich es schattieren.

Es sieht ungefähr so aus.

Wenn ich es schattiere, sieht die Fläche

ungefähr so aus.

Und das hier ist über dem.

Das ist die untere linke Ecke, du kannst es fast sehen.

Also, das Gelbe ist die Oberseite der Fläche.

Dies ist die Oberseite der Fläche.

Und dann ist das die Unterseite der Fläche.

Also, wir interessieren uns für dieses Volumen darunter.

Lass mich dir die richtige Fläche zeigen.

Also, dieses Volumen hier unten.

Ich denke, du hast es verstanden.

Also, wie gehen wir vor?

Nun, im letzten Beispiel haben wir gesagt, also, nehmen wir

ein beliebiges y und für dieses y, lass uns die

Fläche unter der Kurve herausfinden.

Also wenn wir y festlegen -- Wenn man die Aufgabe löst,

muss man nicht so genau darüber nachdenken, aber ich will

dir ein Gespür dafür geben.

Also wenn wir hier ein beliebiges y wählen.

Bei diesem y, können wir es -- Wenn wir ein fixes y haben,

können wir die Funktion von x und y fast als eine Funktion nur von x

betrachten, für dieses gegebene y.

Und so probieren wir herauszufinden, was der Betrag

dieser Fläche unter dieser Kurve ist.

Du solltest das als eine Art von hoch runter Kurve für ein bestimmtes y sehen.

Wenn wir y kennen, können wir bestimmen -- zum Beispiel, wenn y

5 ist, dann wird diese Funktion z gleich 25 mal x.

Und dann ist es einfach die Fläche unter

der Kurve zu bestimmen.

Wir werden die Fläche unter der Kurve als Funktion von y darstellen.

Wir tun so als wäre es nur eine Konstante.

Also, los geht's.

Wenn wir ein dx haben, dann ist das unsere Änderung in x.

Und dann ist die Höhe aller unserer Rechtecke eine

Funktion -- es ist z.

Die Höhe z ist eine Funktion von x und y.

Also können wir integrieren.

Also, die Fläche von allen wird unsere Funktion x mal y im Quadrat.

Ich mache es hier, weil mir der Platz ausgeht.

x mal y im Quadrat mal die Breite, also dx.

Und wenn wir die Fläche von so einer Scheibe wollen, für ein gegebenes y

dann integrieren wir einfach entlang der x-Achse.

Wir integrieren von x gleich 0 bis

x gleich 2.

Von x gleich 0 bis 2.

Na schön.

Jetzt wollen wir aber nicht nur wissen, wie groß die Fläche unter der

Kurve für ein bestimmtes y ist, wir wollen

die Fläche unter der ganzen Kurve berechnen.

Also was wir machen ist folgendes

Die Fläche unter der Kurve, nicht die Oberfläche -- unter dieser Kurve

für ein bestimmtes y, ist dieser Ausdruck.

Nun, was passiert, wenn wir ein bisschen Tiefe hinzufügen?

Wenn ich diese Fläche mit dy multipliziere, kriegt es ein

kleines bisschen Tiefe, stimmt's?

Wir haben also sowas wie eine dreidimensionale Scheibe des

Volumens, das uns interessiert.

Es ist schwer vorzustellen, ich weiß.

Ich hole das wieder her.

Also, wenn ich hier eine Scheibe habe, wir haben gerade die Fläche

einer Scheibe herausgefunden, und ich multipliziere sie mit dy, um ein

bisschen Tiefe hinzuzufügen.

Also, man multipliziert es mit dy, um ein bisschen Tiefe hinzuzufügen.

Wenn wir dann das ganze Volumen unter der Kurve wollen, addieren wir

alle diese dy's, nehmen nun die Summe aller dieser

unendlich kleinen Volumen.

Wir integrieren also von y gleich 0

bis y gleich 1.

Der Graph ist ein bisschen schwer zu verstehen, ich weiß, aber

du möchtest vielleicht das erste Video nochmal anschauen.

Ich hatte eine Fläche, die etwas einfacher zu verstehen ist.

So, wie werten wir das jetzt aus?

Nun, wie gesagt, man rechnet von

innen nach außen.

Es ist wie das Invertieren einer partiellen Ableitung.

Also, wir integrieren hier in x, also können wir

y als Konstante betrachten.

So als wäre es die Zahl 5 oder sowas.

Es hat keinen Einfluss auf das Integral.

Also, was ist die Stammfunktion von x mal y im Quadrat?

Nun, die Stammfunktion von x mal im Quadrat -- Ich will mit

den Farben konsistent bleiben.

Nun, die Stammfunktion von x ist x hoch 1/2 --

Entschuldigung. x im Quadrat, geteilt durch 2.

Und y im Quadrat ist nur eine Konstante, stimmt's?

Und wir müssen uns nicht um plus c kümmern, weil

es ja ein bestimmtes Integral ist.

Und wir werten das aus bei 2 und 0.

Und dann haben wir immer noch das äußere Integral

nach y.

Also, wenn wir das haben, integrieren wir es

von 0 bis 1 nach dy.

Nun, was gibt das?

Wir setzen eine 2 hier ein.

Wenn man dort 2 einsetzt, kriegt man 2 im Quadrat geteilt durch 2.

Das ist einfach 4 durch 2.

Also ist es 2 mal y im Quadrat.

Minus 0 im Quadrat durch 2 mal y im Quadrat.

Aber das ist einfach 0.

Also minus 0.

Ich schreibe es nicht hin, hoffentlich ist dir das schon

in Fleisch und Blut übergegangen.

Wir haben es einfach an diesen 2 Endpunkten ausgewertet

und mir geht der Platz aus.

Also, das gab 2 mal y im Quadrat und jetzt berechnen wir

das äußere Integral.

0, 1, dy.

Und das ist wichtig zu verstehen.

Als wir das innere Integral berechnet haben, kannst du dich

erinnern, was wir gemacht haben?

Wir haben versucht herauszufinden, was die Fläche dieser

Oberfläche für ein bestimmtes y war.

Nun, nicht dieser Oberfläche, der Flächeninhalt unter der Oberfläche

für ein gegebenes y.

Für ein gegebenes y wird die Oberfläche wie zu einer Kurve.

Und wir haben versucht die Fläche unter dieser Kurve zu berechnen.

im traditionellen Sinn.

Diese Fläche war eine Funktion von y.

Und das ist sinnvoll, weil abhängig vom y, das wir wählen,

kriegen wir hier einen anderen Flächeninhalt.

Offensichtlich ändert die Fläche -- wie eine Wand die senkrecht runtergeht --

abhängig vom y-Wert, den wir wählen.

Wir haben also eine Funktion von y erhalten und nun

integrieren wir einfach nach y und das ist einfach ein

bestimmtes Integral ohne Schnickschnack.

Was ist die Stammfunktion von 2 mal y im Quadrat?

Nun, das ist 2 mal y hoch 3, geteilt durch 3,

oder 2/3 mal y hoch 3.

Wir werten das bei 1 und bei 0 aus, das

gibt -- mal sehen.

1 hoch 3 mal 2/3.

Das gibt 2/3.

Minus 0 hoch 3 mal 2/3.

Das ist einfach 0.

Also gibt es 2/3.

Wenn unsere Einheiten Meter wären, wären das 2/3

Meter hoch 3 oder Kubikmeter.

Na bitte.

So berechnet man ein Doppelintegral.

Da gibt's eigentlich keine neue Fähigkeit.

Man muss einfach den Überblick über die Variablen behalten.

Behandle sie als Konstanten,

wenn sie als Konstanten behandelt werden müssen und behandle sie

als Integrationsvariable, wenn es angebracht ist.

Also, bis zum nächsten Video.