Çift Katlı İntegral 2

z=xy^2'nin altındaki hacmi bulma.

-

Umarım çift katlı integrali ve yüzeyin altındaki alanı bulmayı az da olsa anlamışsınızdır.

-

-

Şimdi daha somut bir şekilde anlamamız için hesaplamalar yapalım.

-

Diyelim ki, bir z yüzeyimiz var ve bu, x ve y cinsinden bir fonksiyon

-

z eşittir x y kare.

Üç boyutlu uzayda bir yüzey.

Bu yüzey ile x y düzleminin arasındaki hacmi bulmak istiyorum.

-

x y düzlemindeki tanım kümesi de x büyüktür ya da eşittir 0 ve küçüktür ya da eşittir 2.

-

Ve y büyüktür ya da eşittir 0 ve küçüktür ya da eşittir 1.

-

Neye benzediğine bir bakalım da iyice görselleyelim.

-

Grafiğini buraya çizdim, istersek döndürebiliriz.

Bu, z eşittir x y kare.

Bu da sınırları gösteren kutu, öyle değil mi? x, 0'dan 2'ye kadar ve y de 0'dan 1'e kadar gidiyor.

-

-

-

Bunu yüzeyin altındaki hacim olarak yorumlayabilirsiniz.

Üst yüzey ve x y düzlemi arasındaki hacim.

Hacmi daha iyi görmeniz için grafiği döndürüyorum.

-

Döndüreyim.

-

Bu yüzeyin altındaki kısım.

Derme çatma bir sığınağa benziyor.

Biraz daha çevireyim.

Bu iki yüzeyin arasındaki hacim.

-

-

İşte.

Bu hacmi bulacağız.

Nasıl bulacağımıza karar verelim. Çözüm esnasında anlamını da anlatacağım.

-

Grafiğin daha az görkemli bir versiyonun çiziyorum. Şimdilik işimi görsün, yeter.

-

Eksenleri çizeyim.

-

x ekseni, y ekseni ve z ekseni.

-

x, y, z.

x, 0'dan 2'ye gidiyor.

Diyelim ki, burası 2.

y, 0'dan 1'e gidiyor.

x y düzlemindeki bu dikdörtgenin üstündeki hacmi buluyoruz.

-

Yüzeyi de elimden geldiğince iyi çizmeye çalışacağım.

Başka bir renkle çizeyim.

Resme bakarak çizeceğim.

Şurası böyle bir şeye benziyor.

-

Sonra düz bir çizgisi var.

Aşağıya doğru gidiyor.

Daha iyi becerebilseydim gölgelendirme de yapabilirdim.

İşte, aşağı yukarı böyle bir şekil.

Yüzeyi gölgelendirirsem şöyle görünür.

-

Bu nokta bunun üstünde bulunuyor.

Burası aşağı sol köşe, siz de görebiliyorsunuz.

Şöyle yapalım, sarı kısım yüzeyin üst kısmı olsun.

Yüzeyin üstü.

Burası da yüzeyin alt kısmı.

Bu alttaki hacmi bulacağız.

Esas yüzeyi size göstereyim.

İşte, buranın altındaki hacim.

Anladığınızı düşünüyorum.

Peki, nasıl hesaplarız?

Son örnekte şöyle demiştik: Gelişigüzel bir y seçelim ve y'ye göre eğrinin altındaki alanı bulalım.

-

-

Soruyu çözerken bu kadar detaylı düşünmenize gerek yok ama konuyu anlamınızı istiyorum.

-

-

Burada gelişigüzel bir y seçelim.

Sabit bir y'miz olduğunu düşünürsek, f x y'yi o y'ye göre bir f x olarak alabiliriz.

-

-

Böylece, bu eğrinin altındaki alanın değerini buluruz.

-

-

Bu, seçtiğimiz y'ye göre yukarı aşağı giden eğri.

y'nin değerini biliyorsak, mesela 5 ise, fonksiyon z eşittir 25 x olur.

-

Böylece, eğrinin altındaki değeri bulmak kolaylaşır.

-

Yani eğrinin altındaki değeri y cinsinden bir fonksiyon olarak yazacağız.

Sabitmiş gibi davranacağız.

Başlıyoruz.

d x'imiz var ve bu, x yönündeki değişim.

Ve, her dikdörtgenin yüksekliği de z olacak.

-

Yükseklik z, x ve y cinsinden bir fonksiyon.

İntegrali kurabiliriz.

Her dikdörtgenin alanı xy kare olacak.

-

xy kare çarpı en, yani d x.

Eğer verilen y'ye göre bu dilimin alanını bulmak istiyorsak, x ekseni boyunca integral alacağız.

-

x eşittir 0'dan x eşittir 2'ye integral alacağız.

-

x eşittir 0'dan 2'ye.

Tamamdır.

Eğrinin sadece bir y değeri için dilim alanını bulmak istemiyoruz, eğrinin tamamının alanını bulmak istiyoruz.

-

-

Şöyle yaparız.

Belirli bir y'ye göre eğrinin altındaki alan bu ifadeydi, deriz.

-

Biraz derinlik vermek istersem ne olur?

Bu alan ile dy'yi çarparsam, bana biraz derinlik verir, öyle değil mi?

-

Bulmak istediğimiz hacmin 3 boyutlu dilimini oluşturmuş oluruz.

-

Gözünüzde canlandırmanın zor olduğunu biliyorum.

Grafiği geri getireyim.

Bir dilimin altındaki alanı bulduk, dy ile çarptık ve biraz derinlik kazandırdık.

-

-

dy ile çarpınca derinlik oluştururuz ve eğer eğrinin altındaki bütün hacmi bulmak istiyorsak, bütün dy'leri toplarız, yani buradaki sonsuz küçüklükteki hacimlerin sonsuz toplamını alırız.

-

-

-

Buna göre, y eşittir 0'dan y eşittir 1'e kadar integral alacağız.

-

Bu grafiği anlamak biraz zor gelirse, ilk videoyu tekrar izlemeniz yararlı olur.

-

Orada biraz daha kolay bir yüzey göstermiştim.

Şimdi, bunu nasıl hesaplayacağız?

Daha önce dediğimiz gibi, içten dışa doğru gideceğiz.

-

-

Kısmi türev almanın tam tersi gibi düşünebilirsiniz.

Burada x'e göre integral alıyoruz, o yüzden y'yi bir sabit gibi düşünüyoruz

-

5 veya başka bir sayı gibi düşünebiliriz

Yani, bu, integrali değiştirmez.

Peki, xy karenin terstürevi nedir?

xy karenin terstürevi- x'in terstürevi, x kare bölü 2'dir.

-

-

-

y kare sabit, öyle değil mi?

Bu, belirli integral olduğu için, artı c'yi düşünmeye gerek yok.

-

Bunun 2 ve 0'daki değerlerini bulacağız.

Elimizde hala integralin dış kısmı, yani y ilgili kısmı var.

-

Bunu da bulunca, y'ye göre 0'dan 1'e integral alacağız.

-

Bunun değeri nedir?

2 koyarız.

Buraya 2 koyarsak, 2 kare bölü 2 buluruz.

-

Bu da 4 bölü 2 demek.

Yani, 2 y kare.

-

Eksi 0 kare bölü 2 çarpı y kare.

Bu, 0 olacak.

Yani eksi 0.

Bunu anladığınızı düşünerek yazmayacağım.

-

-

-

Evet, bunun sonucu 2 y kare çıktı ve şimdi de dıştaki integrali hesaplayacağız.

-

0, 1 dy.

Bu, dikkat etmemiz gereken bir nokta.

İçteki integrali hesaplarken ne yaptığımızı hatırlıyor musunuz?

-

Herhangi bir y değeri için bu alanı bulmaya çalışıyorduk.

-

Yüzeyin alanını değil, yüzeyin altındaki alanı.

-

Herhangi bir y değerindeki yüzey parçasını bir eğri olarak düşünebiliriz.

Ve biz de o eğrinin altındaki alanı bulmaya çalışıyorduk.

-

Sonuç olarak da y cinsinden bir fonksiyon ortaya çıkmıştı.

Böyle çıkması mantıklı aslında. Çünkü, seçtiğimiz y'ye bağlı olarak farklı bir alan elde edeceğiz.

-

y'nin değerine göre, alan da değişecek.

-

Burayı hesapladığımız zaman y cinsinden bir fonksiyon bulduk ve şimdi y'ye göre integral alacağız. Bu, bildiğimiz belirli integral.

-

-

2y karenin terstürevi nedir?

2 çarpı y küp bölü 3 veya 2 bölü 3 y küp.

-

Bunun 1 ve 0 için değerini hesaplayacağız.

-

1 küp çarpı 2 bölü 3.

Bu, 2 bölü 3'e eşit.

Eksi 0 küp çarpı 2 bölü 3.

Bu 0.

Yani, cevap 2 bölü 3.

Eğer birim olarak metre kullansaydık, 2 bölü 3 metreküp derdik.

-

İşte böyle.

Çift katlı integrali böyle hesaplıyoruz.

Burada yeni bir beceri yok.

Sadece değişkenleri karıştırmamak için dikkat etmek gerekiyor.

Değişkeni önce sabit almanız, sonra, yeri geldiğinde, o değişkene göre integral almanız gerekiyor.

-

-

Neyse, bir sonraki videoda görüşmek üzere.

-