Nulpunkter i polynomier (med faktorisering): fælles faktor | Grafer for polynomier | Algebra 2 | Khan Academy

Når et polynomium gives på faktoriseret form, kan vi hurtigt finde dets nulpunkter. Når det gives på udvidet form, kan vi faktorisere det, og derefter finde nulpunkterne! Her er et eksempel på et 3. grads polynomium, som faktoriseres ved at finde fælles faktor og dernæst bruge sum-produkt metoden.

I dette emne skal vi bruge alt, hvad vi ved om polynomier for at analysere deres grafiske adfærd. Vi skal bestemme nulpunkter i polynomier (dvs. skæring med x-aksen) samt analysere, hvordan de opfører sig, når værdien af x bliver uendelig stor (dvs. opførsel i yderpositionerne).

Algebra 2, som ofte bliver undervist i gymnasiet, dækker polynomier; komplekse tal; brøk eksponenter; eksponentielle og logaritmiske funktioner; trigonometriske funktioner; transformation af funktioner; brøk funktioner; og fortsætter med ligninger og modellering. Khan Academy's Algebra 2 kursus er bygget til at levere en omfattende, oplysende, engagerende oplevelse!

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

Vi er givet p(x), der er et
tredjegradspolynomium,

og vi skal afbilde alle dets nulpunkter

eller skæringer med x-aksen
i det interaktive koordinatsystem.

Grunden til der står interaktiv er fordi
det er et screenshot fra Khan Academy,

hvor du kan klikke
for at afbilde punkterne.

Vi skal finde de værdier af x,
der gør p(x) lig 0.

Det svarer til nulpunkterne.

Så kan vi afbilde dem.

Sæt videoen på pause og se,
om du kan løse opgaven.

Fidusen er at faktorisere udtrykket,

dette tredjegradspolynomium,

da vi skal finde de x'er,
der gør 5x³ + 5x² - 30x lig 0.

Det gør vi ved at faktorisere
den venstre side af udtrykket.

Jeg ser altid først om, der er
en fælles faktor i alle led.

Det ser ud til at alle led
kan deles med 5x.

Lad os faktorisere 5x udenfor.

Det bliver 5x gange

Når vi tager 5x ud af 5x³, så har vi x².

Når vi tager 5x ud af 5x²,
så har vi x tilbage, så +x.

Når vi tager 5x ud af -30x,
så har vi -6 alt dette lig 0.

Vi har nu 5x gange
denne andengradsligning.

Hvordan faktoriserer vi den?

Hvilke to tal har en sum på 1?

Dette svarer til 1x,

og et produkt på -6.

+3 og -2 vil vist opfylde dette.

Jeg kan omskrive det som
5x (x + 3) (x - 2).

Hvis dette er nyt, så opfordrer
jeg dig til at gennemgå

faktorisering af andengradsligninger
på Khan Academy.

Alt dette er lig 0.

Jeg skal finde de x-værdier,
der gør hele dette lig 0,

Det vil være den x-værdi,
der gør 5x = 0.

Hvis 5x er 0, så 0 gange noget er 0.

Hvad gør 5x = 0?

Hvis vi dividerer på begge sider med 5,
så får vi x = 0.

Hvis x er lig 0, så bliver dette 0,
og så er det ligegyldigt, hvad disse er,

0 gange hvad som helst er 0.

En anden mulig værdi af x, der gør det
hele lig 0, er den der gør (x + 3) lig 0.

Trække 3 fra på begge sider, og x = -3.

Den sidste x-værdi er den,
der gør (x - 2) lig 0.

Lægger 2 til på begge sider og x = 2.

Sådan.

Vi har fundet tre x-værdier,
der gør vores polynomium lig 0

og de svarer til nulpunkterne
eller skæring med x-aksen.

Vi har et ved x = 0.

Vi har et ved x = -3.

Vi har et ved x = 2.

Vi er færdige, fordi hvis vi
lavede den på Khan Academy,

så skulle vi blot klikke disse tre steder.

Grunden til denne færdighed er nyttig,

er det er en god start til at tænke
på, hvordan grafen ser ud.

Grafen skal skære x-aksen i disse punkter.

Grafen ser måske sådan her ud,

eller sådan her ud.

For at finde ud af, hvordan den ser ud,

så skal vi nok bruge nogle flere
værdier mellem disse punkter,

så vi får en bedre fornemmelse af grafen.