45-45-90 Triangle Side Ratios

V prejšnjem videu smo pokazali, da so
razmerja stranic trikotnika s 30°, 60° in 90° koti,

če predpostavljamo, da je hipotenuza X, potem
je krajša kateta dolga X/2

in daljša kateta, nasprotna
kotu 60° dolga (koren 3)*X/2.

Drug način gledanja na problem je,
da rečemo, da je

krajša stranica (nasprotna kotu 30°)
dolga 1 enoto.

Potem je stranica nasprotna kotu
60° enaka korenu 3.

Potemtakem, bo hipotenuza morala biti
dolga 2 enoti. V prejšnjem videu smo začeli

s predpostavko, da je stran dolga X/2 enaka
1 enoti, potem je hipotenuza dolga 2 enoti.

Ta stranica tukaj je nasprotna kotu 30°, ta
je nasprotna kotu 60°,

to je pa hipotenuza (najdaljša), nasprotna
kotu 90°.

Torej, v splošnem, če vidiš trikotnik s takimi
razmerji stranic lahko rečeš, da je razmerje

kotov enako 30°-60°-90°. Rečeš lahko, da
znaš izračunati

eno od stranic glede na to razmerje tukaj.
Kot primer:

Če vidiš trikotnik, ki zgleda tako, kjer
so stranice dolge 2, 2*koren 3 in 4.

To pomeni, da je razmerje med 2 in 2*koren 3
enako kot 1 proti koren 3,

razmerje 2 proti 4 je enako kot 1:2, tako
pomeni, da je to 30°-60°-90° trikotnik.

Želim vam poazati še en pomemben tip
trikotnika, ki pomeni veliko v geometriji

in trigonometriji.
To je 45°-45°-90° trikotnik.

Drugi način gledanja je, da imam pravokotni
trikotnik, ki je tudi enakokrak.

-

Torej, ne moreš imeti pravokotnega
trikotnika ki je enakostraničen, ker

kot vemo ima enakostraničen trikotnik vse
kote velike 60°.

Lahko pa imaš pravi kot in hkrati
enakokraki trikotnik.

Enakostranični, črkovano enako-stranični
trikotnik.

To pomeni, da ima 2 stranici enako dolgi.

To sta ti dve stranici, ki sta enaki,
to pomeni enako dolgi.

In če sta dve stranici enaki smo si dokazali,
da sta kota pri hipotenuzi enaka.

Označimo velikosti teh kotov X.
Vemo, da X+X+90° mora biti enako 180°

-

Ali, če odštejemo 90° obema stranema, sledi
da X+X=90°,

oziroma 2*X=90° ali, če delimo obe strani z 2
to pomeni, da X=45°.

Torej, pravokotnemu enakokrakemu trikotniku
lahko tudi rečemo

45°-45°-90° (beremo kot "stopinjski") trikotnik.

V tem videu želim priti do razmerja stranic
v tem trikotniku 45°-45°-90°.

ravno tako kot smo naredili v 30-60-90°
trikotniku.

Ta je še bolj preprost.

V 45°-45°-90° trikotniku označimo
eno kateto z X.

Potem vemo, da bo druga kateta enako dolga.

Tako uporabimo Pitagorov izrek, da ugotovimo
dolžino hipotenuze.

-

Torej, dolžino hipotenuze označimo s C.

Tako dobimo x^2+x^2, to pomeni kvadrat
obeh katet.

Tako dobimo, da je C^2 enak tej vsoti.

To je uporaba Pitagorovega izreka.

To pomeni: 2*X na kvadrat je C na kvadrat.

Sedaj lahko korenimo obe strani.

Bi spremenil pisavo v rumeno, pa mi ne pusti.

Dobro, korenimo sedaj tole...

Koren obeh strani.

Na levi dobimo koren 2 je samo koren 2.

Koren x^2 pa je samo x. Izgubimo kvadrat.

Torej dobimo, x*koren(2) je enak C.

Torej, če imaš pravokotni enakostranični
trikotnik z poljubno dolžino katet,

katere sta seveda enako dolgi, zato se
imenuje enakostraničen,

bo hipotenuza enaka korenu (2) krat dolžini
ene katete.

Torej C=X*koren(2).

Torej za primer, če imaš tak trikotnik...

Bom narisal malo drugače.

Da se ne ponavljamo preveč.

Torej, če vidimo trikotnik z razmerjem
kotov 45°-45°-90°

Konec koncev moraš poznati velikost
samo dveh kotov,

drugega lahko izračunaš.

Če ti rečem, da je ta stranica dolga 3.

Kolikšna je dolžina druge stranice že veš.

Zato ker je ta trikotnik enakostraničen.

Niti ti ni treba uporabiti Pitagorovega izreka,
ker veš...

in to je res dobro poznati,

da je dolžina hipotenuze

enaka korenu(2)*dolžina ene izmed katet.

Torej bo dolžina hipotenuze 3*koren(2).

Torej je razmerje katete proti hipotenuzi
v takemu trikotniku

to je pravokotnemu in
enakostraničnemu trikotniku.

Razmerje je, če je kateta dolga 1,

potem bo druga imela enako dolžino.

Potem bo hipotenuza dolga koren(2).

Razmerje je 1:1:koren(2).

To je trikotnik 45-45-90, naj napišem...

Pri 30-60-90 trikotniku pa so razmerja

1:koren(3):2

Tako bomo ugotovitve uporabili v nekaj primerih.