Implicit differentiation when x and y are functions of t

Диференцируемите функции X и Y са свързани
чрез следното уравнение.

sinX + cosY

е равно на sqrt(2) или корен квадратен от 2.

Казват ни също, че производната на X
спрямо t, е равна на 5.

Искат от нас да намерим
производната на Y

спрямо t, когато Y = π/4 и

0 < X < π/2.

Като вземем предвид,
че ни дават производната

на X спрямо t, а искат от нас
да намерим производната на Y спрямо t,

можем да предположим, че
и двете функции, X и Y, са функция на t.

Дори може да запишеш
това уравнение ето тук.

Може да го запишеш като sinX,

което е функция на t,

плюс cosY,

което също е функция на t.

Цялото е равно на sqrt(2).

Може да те обърка малко,

ако нямаш навика да виждаш
X като функция

на трета променлива или
Y като функция

на нещо, различно от X.

Но запомни, че X и Y
са просто променливи.

Това може да е F(t), а това
би могло да е G(t),

вместо X(t) и Y(t).

Това може да ти се струва
по-естествено.

Няма нужда да го казваме, но
ако искаме да намерим dY/dt,

това, което искаме да направим,
е да намерим производната

спрямо t и на двете страни
на уравнението.

Нека го направим.

Ще го направя с лявата страна,

т.е. вземам това спрямо t

или производната на това спрямо t.

Търсим производната на това спрямо t.

След това намираме производната

на дясната страна, която
е константа, спрямо t.

Нека помислим за всяко едно
от тези неща.

Какво е това?

Нека го означа с друг цвят.

Нещото, което правя с този
синкав цвят тук,

как може да го запиша?

Намирам производната спрямо t.

Имам синус от нещо, което е
функция на t.

Следователно просто ще приложа
верижното правило.

Първо ще намеря производната
спрямо X на sinX.

Мога да запиша като sin(X(t)),

но просто ще се придържам към sinX тук,

за да е по-ясно.

Тогава ще умножа това по производната

на вътрешната функция спрямо t,

умножено по производната на X спрямо t.

Това може да ти изглежда нелогично,

т.е. как прилагаш верижното правило преди,

когато имахме само X и Y.

Всичко, което се случва обаче,
е да намеря производната

на външната функция, на синус от нещо,

спрямо нещото, което в този случай е X.

Тогава търся производната на нещото,

което в случая, е, X спрямо t.

Mоже да направим същото нещо

за втория член ето тук.

Тогава искам да намеря
производната спрямо Y,

като може да я наречеш
външната функция, на cosY.

Тогава ще умножиш това

по производната на Y спрямо t.

Тогава всичко това
на какво ще бъде равно?

Производната на константа спрямо t,

защото sqrt(2) е константа,

няма да се промени, когато
t се променя.

Така че производната ѝ, скоростта ѝ
на изменение, е нула.

Добре, сега просто трябва да намерим

всички тези неща.

Първо, производната на X спрямо t,

от sinX, е cosX, умножено по
производната на X спрямо t.

Ще го запиша ето тук.

Производната на X спрямо t.

Това, което ще получим...
тук има плюс...

е производната на Y спрямо t.

Така че плюс производната
на Y спрямо t.

Просто разменям реда тук,

така че това минава отпред.

Каква е производната на
cosY спрямо Y?

Това е –sinY.

Нека просто поставя sinY тук,

тогава ще имам минус.

Изтривам това и поставям минус тук.

И всичко това ще бъде равно на нула.

Какво може да намерим сега?

Казали са ни, че
производната на X спрямо t,

е равна на 5 ето тук.

Следователно това е равно на 5.

Искаме да намерим
производната на Y спрямо t.

Казват ни, че Y = π/4.

Това тук Y, т.е. π/4, така че знаем,
че това е π/4.

Нека да видим
какво трябва да намерим.

Тук все още имаме две неизвестни.

Не знаем какво е X и не знаем,

каква е производната на Y спрямо t.

Това е, което трябва да намерим.

Какво ще бъде X?

Какво ще бъде X, когато Y = π/4?

За да намерим това,

може да се върнем към
първоначалното уравнение тук.

Когато Y = π/4,

нека да запиша какво се получава.

Синус от X

плюс косинус от π

върху четири е равно на
квадратен корен от две.

За cos(π/4),

се връщаме към единичната окръжност.

Намираме се в първи крадрант.

Ако изберем градуси, този ъгъл е 45 градуса.

Това означава sqrt(2)/2.

Следователно може
да извадим sqrt(2)/2

от двете страни, което ще ни даде

sinX е равно на...
е, ако извадим sqrt(2)/2

от sqrt(2),

изваждаш половината от него,

така че ще остане половината от него.

Следователно sqrt(2)/2.

Каква стойност се получава за X,
когато извадя този синус от него?

Спомни си, че мислим къде е ъгълът,

като си представяме
единичната окръжност.

В този случай X e ъгъл в първи квадрант

ето тук.

Тогава това отново ще бъде π/4.

Това ни казва, че X = π/4,

когато Y = π/4.

И така знаем, че това също е π/4.

Нека да запиша това отново,

защото става малко претрупано.

Знаем, че 5 пъти

по cos(π/4)

минус

dY/dT, т.е. производната на Y спрямо t,

което всъщност искаме да намерим,

умножено по sin(π/4),

е равно на нула.

Равно е на нула и го слагаме в скоби,

за да изясним малко нещата.

Добре, нека да видим.

Сега малко алгебра.

cos(π/4)

вече знаем, че е sqrt(2)/2.

sin(π/4) също е sqrt(2)/2.

Какво става ако разделим двете страни

на уравнението на sqrt(2)/2?

Какво ще ни даде това?

Е, тогава това sqrt(2)/2,

разделено на sqrt(2)/2

Тоест sqrt(2)/2, разделено на sqrt(2)/2

ще бъде единица.

sqrt(2)/2, разделено на

sqrt(2)/2 ще бъде едно.

Тогава нула, разделено на sqrt(2)/2

просто ще бъде нула.

Цялото това нещо се опростява до

пет пъти по едно, което е просто пет

минус производната на Y спрямо t,

цялото равно на нула.

Ето това се получава.

Прибавяш производната на Y спрямо t
към двете страни

и получаваме, че производната
на Y спрямо t е равна на пет,

когато всичко дотук е вярно.

Или когато производната
на X спрямо t е пет,

и производната... всъщност при Y = π/4 и производната на Y спрямо t е пет.