计算 i 的任意次方 |微积分预科 | 可汗学院

现在我们已经看到对 i

进行幕次越来越高的乘方运算，其结果可能是 1，i，

－1，－i，然后又回到

1，i，－1，－i。

我们现在来做些练习，

也许就是所谓的难题。

可能看起来是这样。

解题时如果你能利用 i 的

乘方值就在这几个数里循环

的规律，也是有意思的。

如果利用这个规律，可以不费力

就算出 i 的 任意高的次方。

现在我们先来试一下，

计算 i 的 100 次方。

这里关键是 100 是 4 的倍数。

因此可以说这等同于 i 的

4 乘以 25 次方。

而根据指数乘方的性质，它也

就是 i 的 4 次方的结果的 25 次方。

如果计算某数的一个指数次方，

然后用其结果再算另一个指数次方，

就等于算该数的两个指数的积次方。

我们要计算 i 的 4 次方，

很容易。

i 的 4 次方 就是 1。

i 的平方是 －1，再平方得 1。

因此这就等于 1 的 25 次方，

就只能等于 1。

这里我们又利用了 i 的乘方值

的循环性质，这样就能

算出 i 的很高次方值。

现在我们来算稍微怪的题。

我们算 i 的 501 次方。

现在，501 不是 4 的倍数。

所以你不能完全抄上一题的方法。

但是你可以把它分解成

两个因数相乘，而其中一个

因数的指数是 4 的倍数,

当然另一个 i 的指数不是 4 的倍数。

因此你可以把原式重写一下。

500 是 4 的 倍数。

所以原式可写成 i 的 500 次方

乘以 i。

对不对？

底数都是 i。

当两个同底乘方数相乘，它们的指数相加。

这还是 i 的 501 次方。

我们知道这等于

－ i 的 500 次方就是 i

的 4 次方的 125 次方。

4 乘以什么等于 500？

4 乘以 125 得 500。

所以这部分就在这里。i 的 500 次方

等于 i 的 4 次方 的 125 次方。

然后再乘以 i 的一次方。

i 的 4 次方就是等于 1。

1 的 125 次方还是等于 1。

这第一项整个就是 1。

我们就只剩下 i 的 1 次方。

所以就等于 i。

原来看起来是很吓人的题目，

似乎要很费时间,

但是利用 i 的乘方值循环的性质,

发现 i 的 500 次方就等于 1。

所以 i 的 501 次方就等于 i。

这样我可以写一个总结。

如果 i 的指数是任何 4 的倍数， 那么这个式子

等于 －这里的 k 应当为非负整数。

k 大于或等于 0。

因此如果 i 的任何 4 的倍数次方，

就会等于 1，因为

就相当于 i 的 4 次方的 k 次方,

而那就相当于 1 的 k 次方，

显然就等于 1。