计算 i 的任意次方 |微积分预科 | 可汗学院

计算 i 的任意多次方

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现在我们已经看到对 i

进行幕次越来越高的乘方运算，其结果可能是 1，i，

－1，－i，然后又回到

1，i，－1，－i。

我们现在来做些练习，

也许就是所谓的难题。

可能看起来是这样。

解题时如果你能利用 i 的

乘方值就在这几个数里循环

的规律，也是有意思的。

如果利用这个规律，可以不费力

就算出 i 的 任意高的次方。

现在我们先来试一下，

计算 i 的 100 次方。

这里关键是 100 是 4 的倍数。

因此可以说这等同于 i 的

4 乘以 25 次方。

而根据指数乘方的性质，它也

就是 i 的 4 次方的结果的 25 次方。

如果计算某数的一个指数次方，

然后用其结果再算另一个指数次方，

就等于算该数的两个指数的积次方。

我们要计算 i 的 4 次方，

很容易。

i 的 4 次方 就是 1。

i 的平方是 －1，再平方得 1。

因此这就等于 1 的 25 次方，

就只能等于 1。

这里我们又利用了 i 的乘方值

的循环性质，这样就能

算出 i 的很高次方值。

现在我们来算稍微怪的题。

我们算 i 的 501 次方。

现在，501 不是 4 的倍数。

所以你不能完全抄上一题的方法。

但是你可以把它分解成

两个因数相乘，而其中一个

因数的指数是 4 的倍数,

当然另一个 i 的指数不是 4 的倍数。

因此你可以把原式重写一下。

500 是 4 的 倍数。

所以原式可写成 i 的 500 次方

乘以 i。

对不对？

底数都是 i。

当两个同底乘方数相乘，它们的指数相加。

这还是 i 的 501 次方。

我们知道这等于

－ i 的 500 次方就是 i

的 4 次方的 125 次方。

4 乘以什么等于 500？

4 乘以 125 得 500。

所以这部分就在这里。i 的 500 次方

等于 i 的 4 次方 的 125 次方。

然后再乘以 i 的一次方。

i 的 4 次方就是等于 1。

1 的 125 次方还是等于 1。

这第一项整个就是 1。

我们就只剩下 i 的 1 次方。

所以就等于 i。

原来看起来是很吓人的题目，

似乎要很费时间,

但是利用 i 的乘方值循环的性质,

发现 i 的 500 次方就等于 1。

所以 i 的 501 次方就等于 i。

这样我可以写一个总结。

如果 i 的指数是任何 4 的倍数， 那么这个式子

等于 －这里的 k 应当为非负整数。

k 大于或等于 0。

因此如果 i 的任何 4 的倍数次方，

就会等于 1，因为

就相当于 i 的 4 次方的 k 次方,

而那就相当于 1 的 k 次方，

显然就等于 1。

如果我们的指数不是 4 的倍数 － 比如

说 i 的 4k 加 1 次方，或者 i 的 4k 加 2 次方，

那样我们就能用这里的方法。

我们再举几个例子，

说明如何对付有些

似乎没有头绪的问题。

试着求 i 的 7321 次方。

要解这一题，我们得认识到

7321 不是 4 的倍数，还有余数。

要能看得出，

7320 可以被 4 整除。

这是可以核实的。

然后就只有 余数 1。

因此原题等于 i 的 7320 次方

乘以 i。

这个数是 4 的 倍数，

因为 1000 是 4 的倍数，

100 也是 4 的倍数， 20 更是 4 的倍数。

所以这一项就简化为 1。

后面这一项

就是 i 的一次方。

7321 等于 7320 加上 1。

这一部分就化简为 1，

结果我们得到的是 i 的

一次方，或者说就是 i。

再举一个例子。

试着解一个有意思的题目。

i 的 99 次方。

同样的思路，小于 99 的

最大的 4 的倍数是多少？

那就是 96。

所以它就等于 i 的 96 次方

乘以 i 的 3 次方，对吧？

两个同底的乘方数相乘，可以把它们的指数相加，

就得到 i 的 99 次方。

其中 i 的 96 次方，

因为是 4 的 倍数， 就可以看成 i 的 4 次方的 16 次方。

那就是 1 的 16 次方，因此就是 1。

这样只剩下 i 的 3 次方。

你可能还

记得 i 的 3 次

方 等于 －i。

当然你如果不记得了，也可以把 i 的 3 次方

看成 i 平方乘以 i。

这就等于 i 平方乘以 i。

i 平方根据定义就等于 －1。

所以结果就等于 －i。

再做一题简单的。

求 i 的 38 次方。

同样的方法，这等于

i 的 36 次方乘以 i 的平方。

把 i 的 36 次方分出来，因为这是

38 里面最大的 4 的倍数。

38 去掉 36 后剩下 2。

i 的 36 次方化简后等于 1，

而剩下的 i 平方等于 －1。