Linear Equations in Slope Intercept Form

இந்தக் காணொளியில் பல எடுத்துக் காட்டுகளைச் செய்து பார்க்கவிருக்கிறோம்.

நமது எடுத்துக்காட்டுச் கோட்டின் சமன்பாடுகள் சாய்வுக் குறுக்குவெட்டு வடிவத்தில் உள்ளன.

இந்தச் சமன்பாடுகளை ஒருமுறை மேலோட்டமாகப் பார்ப்போம்.

எம் ஆனது சாய்வாகவும், பி, ஆனது ஒய் குறுக்கு வெட்டாகவும் இருக்கையில்

ஒய் ஆனது எம் எக்ஸ் கூட்டல் பி’ க்குச் சமமாக உள்ளது.

இந்தக் கோடு எதிர் ஐந்தின் சாய்வாக இருப்பதால்

எம் ஆனது எதிர் ஐந்திற்குச் சமமாக உள்ளது.

மேலும் கோடானது ஆறின் குறுக்கு வெட்டைக் கொண்டுள்ளது.

ஆகவே பி, ஆனது ஆறுக்குச் சமமாக இருக்கிறது.

இந்தக் கோடு மிக நேராக முன்னோக்கிச் செல்கிறது.

இந்தக் கோட்டின் சமன்பாட்டில் உள்ள ஒய்யானது

எதிர் ஐந்து எக்ஸ் கூட்டல் ஆறுக்குச் சமமாக இருக்கிறது.

மேலும் எதிர் ஒன்றின் சாய்வையும்

மேலும் 4 கீழ் 5 ஐயும் சுழியனையும் உள்ளடக்கி உள்ளது.

எதிர் ஒன்றின் சாய்வைக் கொண்டுள்ளது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

எம் ஆனது எதிர்மறை ஒன்றுக்குச் சமம் என்பது நமக்குத் தெரியும்.

ஆனால் ஒய் குறுக்கு வெட்டு எங்கிருக்கிறது என்பதை நம்மால் உறுதிப்படுத்த முடியவில்லை.

இந்தச் சமன்பாடானது

ஒய் குறுக்குவெட்டாக இருக்கும் பொழுது ஒய் வடிவத்தில்

சாய்வு எதிர்மறை ஒன்று எக்ஸ் கூட்டல் பி க்கு சமமாக இருக்கும்.

அங்கே பி ஆனது ஒய் குறுக்கு வெட்டு வடிவத்தில் இருக்கும்

இந்த அம்சங்களை உள்ளடக்கிய தரவுகளை

இங்கே அடிப்படையாப் பயன்படுத்திக் கொள்வோம்

அதை வைத்து பி இன் விடையைக் கண்டுபிடிப்போம்

கோடு இந்த அம்சங்களை உள்ளடக்கி இருப்பதால் எக்ஸின் மதிப்பானது 4இன் கீழ் 5 க்குச் சமமாக இருக்கும்.

ஒய்யின் மதிப்பு சுழியனுக்குச் சமமாகி சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்.

எக்ஸானது 4 இன் கீழ் 5 க்குச் சமம் என்கிறபோது ஒய்யானது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் என்பதை

ஒரு துணைத் தரவாக வைத்துக் கொள்வோம்.

எதிர்மறை ஒன்று பெருக்கல் 4 இன் கீழ் ஐந்து கூட்டல் பி க்குச் சமம் பூஜ்ஜியம்.

சுழியன் ஆனது எதிர்மறை 4 இன் கீழ் 5 கூட்டல் பிக்குச் சமம் என்பது நமக்குத் தெரியும்.

இந்தச் சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு பக்கமும் 4 இன் கீழ் 5 ஐச் சேர்க்கலாம்.

ஆகவே 4 இன் கீழ் 5 ஐ இங்கே சேர்த்திருக்கிறோம்.

அதேபோல இந்தப் பக்கமும் சேர்க்கிறோம்.

அதனை நீக்கும் ஒரே காரணத்திற்காகவே சேர்க்கிறோம்.

பி ஆனது 4 இன் கீழ் 5 க்குச் சமம் என்பதைத் தெரிந்து கொண்டோம்.

கோட்டின் சமன்பாடு இப்போது கிடைத்து விட்டது.

y ஆனது எதிர் ஒன்று பெருக்கல் x க்குச் சமம். 4 இன் கீழ் 5 என்பதைப் போல

அதனையும் எதிர் எக்ஸ் பி என்று எழுதிக் கொள்வோம்.

ஒய் ஆனது எதிர் ஒன்று எக்ஸிற்குச் சமம் என்பது நமக்குத் தெரிந்து விட்டது.

இரண்டுடன் ஆறு என்பதையும் மற்றும் ஐந்துடன் பூஜ்ஜியம் என்பதையும் இந்தக் கோடு உள்ளடக்கி இருக்கிறது.

கோட்டின் சாய்வோ அல்லது ஒய் குறுக்கு வெட்டோ

நமக்குத் தெளிவாகக் கொடுக்கப்படவில்லை.

ஆனால் ஒருங்கிணைவுகள் மூலமாக

நம்மால் கண்டுபிடித்து விட முடியும்.

எனவே நாம் முதலில் சாய்வைக் கண்டுபிடிப்போம்.

எக்ஸில் நிழகழும் மாற்றத்திதற்கு ஏற்ப ஒய்யில் நிகழும் மாற்றமானது சாய்வு எம்மிற்குச் சமம் என்று தெரியும்.

இப்போது ஒய்யில் நிகழும் மாற்றத்திற்கு எது சமன் ஆகும்...? என்பதை இப்போது நாம் கண்டுபிடிப்போம்.

நமக்குக் கொடுக்கப்பட்டவற்றைக் கொண்டு கணக்கிடத் தொடங்குவோம்.

ஆறில் இருந்து பூஜ்ஜியத்தைக் கழிக்க வேண்டும்....

அவற்றை உரிய நிறத்தில் குறித்துக் கொண்டால் தான்

கணக்கிட உதவியாக இருக்கும்.

ஆறு கழித்தல் பூஜ்ஜியம் தான் இங்கே ஒய்யில் நிகழும் மாற்றம் ஆகும்.

எக்ஸில் நிகழும் மாற்றம் என்பது 2 கழித்தல் 5 ஆகும்.

எக்ஸையும் ஒய்யையும் தனித்தனியாகக் காட்டுவதற்காகத் தான் நிறம் மாற்றி எழுதினோம்.

முதலில் ஒய் பகுதியை எடுத்துக் கொள்வோமா..... ஆறு இங்கே இருக்கிறது.....

இல்லை எக்ஸை முதலில் பயன்படுத்துவோம்.

இது இரண்டு மற்றும் ஆறின் ஒருங்கிணைவு

அடுத்து இது ஐந்து மற்றும் பூஜ்ஜியத்தின் ஒருங்கிணைவு.

நம்மால் இரண்டில் இருந்து ஐந்தைக் கழிக்க முடியாது.

கழித்தால் விடையில் எதிர்மறை மதிப்பு தான் கிடைக்கும்.

அப்படியானால் என்ன கிடைக்கும்...?

இது ஆறு கழித்தல் பூஜ்ஜியம் ஆறிற்குச் சமமாக இருக்கும்.

இரண்டு கழித்தல் ஐந்து என்றால் விடை எதிர்மறை மூன்று தான்.

ஆகவே எதிர்மறை ஆறின் கீழ் மூன்று என்பதன் விடை

எதிர்மறை இரண்டு ஆகும்.

ஆக எதிர்மறை இரண்டு தான் சாய்வு ஆகும்.

எனவே இந்தக் கோட்டில்

எதிர் இரண்டு பெருக்கல் எக்ஸ் கூட்டல் ஒய் குறுக்கு வெட்டு தான்

ஒய் சாய்விற்குச் சமமாக இருக்கும்.

சென்ற முறை போட்டக் கணக்கைப் போலவே தான் இந்தக் கணக்கையும் போட்டிருக்கிறோம்.

பி க்கான தீர்வைக் காண பழைய அம்சங்களில்

ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம்.

இரண்டு அம்சங்களுமே கோட்டில் இருப்பதால்

இரண்டுமே விடையைக் காண்பதற்கு உதவியாகத் தான் இருக்கும்.

இங்கே 5 மற்றும் பூஜ்ஜியத்தைப் பயன்படுத்தப் போகிறேன்.

பூஜ்ஜியம் கொண்டுள்ளதைத் தேர்ந்தெடுத்தால்

கணக்கு சற்றே எளிமையாகி விடும்.

ஐந்தையும் பூஜ்ஜியத்தையும் இங்கே எழுதிக் கொள்ளலாம்.

எக்ஸானது ஐந்திற்குச் சமமாக உள்ளபோது ஒய்யானது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்.

ஆகவே நாம் எதிர் இரண்டு ஐந்தைப் பெற்றுள்ள போது எக்ஸானது ஐந்து கூட்டல் பி க்குச் சமம் என்கிற போது

ஒய்யானது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்.

ஆகவே எதிர்ம பத்து கூட்டல் பி ஆனது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பதைப் பெறுகிறோம்.

எதிர்மறை 2 ஐந்தின் மடங்காக இருக்கும்போது ஒய்யானது சுழியனுக்குச் சமமாக இருக்கும்.

சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு பக்கமும் பத்தினைச் சேர்த்தால்

இரண்டு இயல்பாகவே காலாவதியாகி விடும்.

எனவே பி ஆனது பத்திற்கு சமம் என்பதைப் பெறுகிறோம்.

இப்போது கோட்டிற்கு உரிய சமன்பாட்டைத் தெரிந்து கொண்டோம்.

இந்தக் கோட்டில் ஒய்யானது

எதிர்ம இரண்டு எக்ஸ் கூட்டல், பி கூட்டல் பத்திற்குச் சமம் ஆகும்.

முதல் எடுத்துக் காட்டை முடித்து விட்டோம்.

அடுத்து மற்றொரு சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம்.

இந்தக் கோடு மூன்று மற்றும் ஐந்து அடுத்து

எதிர்ம மூன்று மற்றும் பூஜ்ஜியம் ஆகிய இரண்டு அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளது.

பழைய கணக்கைப் போலவே

எம் என்று சொல்லப்படுகிற சாய்வு மதிப்பை முதலில் கண்டு பிடித்துக் கொள்வோம்.

ஒன்றைச் சார்ந்து மற்றொன்று என்பது போலத்தான்.

எக்ஸில் நிகழும் மாற்றத்திற்கு ஏற்ப ஒய்யில் மாற்றம் ஏற்படும்.

பொதுவாக நாம் அனைத்து விபரங்களையும்

எழுத விரும்புவதில்லை.

ஆனால் எழுதிக் கொண்டால் தான்

மற்றவர்கள் புரிந்து கொள்ள எளிதாக இருக்கும்.

சரி ஒய்யில் மாற்றத்தை உருவாக்கும் எக்ஸின் மாற்றம் என்ன...?

முதலில் இந்தப் பக்கமிருந்து துவங்குவோம்.

எந்த அம்சங்களை எடுத்துக் கொள்ளப் போகிறோம் என்பதை முதலில் பார்ப்போம்.

பூஜ்ஜியத்தில் ஐந்தைக் கழித்தால் என்ன ஆகும் என்பது நமக்குத் தெரியும்.

ஆகவே இந்த ஒருங்கிணைவைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளலாம்.

இந்த இறுதிப் புள்ளிதான் நமக்கு ஏற்றதாகத் தோன்றுகிறது.

எழுத்து மதிப்பை எண் மதிப்பிற்கு மாற்றிக் கொள்வது தான்

நமக்கு உதவிகரமாக இருக்கும் என்பதை நாம் நினைவில் வைத்துக் கொள்வோம்.

ஒய்யின் எண் மதிப்பைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளலாம்.

அது ஒருங்கிணைவின் இரண்டாவது அம்சமாக இருக்கிறது.

அதனால் நமக்குக் கிடைப்பது எதிர்ம மூன்று கழித்தல் மூன்றாக இருக்கும்.

இது எதிர்ம மூன்றையும் பூஜ்ஜியத்தையும் ஒருங்கிணைக்கிறது.

இது மூன்று மற்றும் ஐந்தை ஒருங்கிணைக்கிறது.

இதனைக் கழிக்கிற போது

நமக்குக் கிடைப்பது என்ன...?

எதிர்ம ஐந்தின் கீழ் எதிர்ம மூன்று கழித்தல் மூன்றானது எதிர் ஆறு ஆகும்.

இதிலுள்ள எதிர்மங்கள் அனைத்தும் காலாவதியாகி விடும்.

நமக்குக் கிடைப்பது ஒட்டு மொத்தமாக ஐந்தின் கீழ் ஆறு.

இந்தச் சமன்பாட்டில் ஒய் வடிவமானது

ஐந்தின் கீழ் ஆறு எக்ஸ் கூட்டல் பி க்குச் சமமாக இருக்கும்.

இந்த ஒருங்கிணைவுகளில் ஒன்றை

பி க்கு துணையாக வைத்துக் கொள்வோம்.

பூஜ்ஜியம் உள்ள ஒருங்கிணைவைப் பயன்படுத்துவது நமக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

எக்ஸானது எதிர்ம மூன்று கூட்டல் பி ஆக இருக்கும் பொழுது ஒய் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்.

எக்ஸிற்கு எதிர்ம மூன்றையும், ஒய்க்கு பூஜ்ஜியத்தையும் நாம் உபரியாக்கி இருக்கிறோம்.

இது கோட்டின் மீது இருப்பதால் இதனை நாம் எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

கோட்டின் மீதுள்ள சமன்பாட்டை நாம் நிறைவு செய்ய வேண்டும்.

b க்கு உரிய தீர்வைக் காணலாம்.

எதிர்ம மூன்றை மூன்றால் வகுத்தால் கிடைப்பது ஒன்று.

பூஜ்ஜியமானது ஒன்றுக்குச் சமமாக இருக்கும்.

ஆறினை மூன்றால் வகுத்தால் கிடைப்பது இரண்டு.

எனவே இது எதிர் ஐந்தின் கீழ் இரண்டு கூட்டல் பி ஆகும்.

ஐந்தின் கீழ் இரண்டை சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் சேர்த்துக் கொள்ளலாம்.

இந்தப் பக்கம் 5/2, அந்தப் பக்கம் 5/2.

நமது குறிப்புகளை மாற்றிக் கொண்டால்

இரண்டு பக்கமும் எளிதாக இருக்கும்.

ஆகவே சமன்பாட்டில் ஐந்தின் கீழ் இரண்டு என்பது

பி க்குச் சமம் ஆகிறது.

பி ஆனது ஐந்தின் கீழ் இரண்டு ஆகும்.

இந்தக் கோட்டின் சமன்பாட்டில் ஒய்யானது 5 இன் கீழ் 6 எக்ஸ் கூட்டல் பி க்குச் சமம்.

பின்ன வடிவத்தில் 5/2 கூட்டல் 5/2 ஆகும்.

இந்த எடுத்துக் காட்டும் முடிந்தது.

அடுத்து மற்றொன்றை எடுத்துக் கொள்வோம்.

இங்கே வரைபடம் ஒன்று உள்ளது.

இந்த வரைபடத்தின் சமன்பாட்டைக் காண்போம்.

பார்க்கப்போனால் ஒருவகையில் மிகவும் எளிதானது தான்.

இதன் சாய்வு என்ன....?

எக்ஸின் மாற்றத்திற்கு ஏற்ப ஒய்யில் ஏற்படும் மாற்றமே சாய்வு ஆகும்.

சரி என்ன மாற்றம் நிகழ்கிறது என்பதைப் பார்ப்போம்.

எக்ஸ் அச்சில் ஒரு நிலை நகர்ந்து பார்ப்போம்.

இந்த ஒன்று தான் ஏற்படும் மாற்றம்.

எக்ஸில் ஏற்படும் மாற்றத்தை ஒன்று என்போம்.

எக்ஸில் மேலும் ஒரு படி முன்னேறிச் செல்வோம்.

இப்போது ஒய்யில் நிகழும் மாற்றம் என்ன...?

ஒய்யில் மிகச் சரியாக 4 நிலை நகர்கிறது.

இது y குறு முக்கோணத்தைப் போல இருக்கிறது. y நிகழும் மாற்றம் 4 க்குச் சமமாக இருக்கிற பொழுது,

எக்ஸ் குறு முக்கோணம் அதாவது டெல்டா ஒன்றுக்குச் சமமாக உள்ளது.

ஆகவே எக்ஸின் மாற்றம் ஒன்று என்பது ஒய் மாற்றம் 4 க்குச் சமம் ஆகும்.

எக்ஸின் மாற்றம் ஒன்று என்றால்

அதன் சாய்வானது 4 க்குச் சமமாக இருக்கும்.

இப்போது ஒய்யின் குறுக்கு வெட்டு என்ன?

அதற்கு நாம் வரைபடத்தைப் பார்ப்போம்.

அது ஒய் அச்சில் இடைப் பிரிவைப் போலத் தோன்றும் இது

ஒய் எதிர் ஆறிற்குச் சமமாக இருக்கும். அல்லது பூஜ்ஜியத்தில் எதிர் ஆறாக இருக்கும்.

ஆகவே பி ஆனது எதிர் ஆறிற்குச் சமம் என்பதை நாம் தெரிந்து கொண்டோம்.

இந்தக் கோட்டின் சமன்பாட்டை அறிந்து கொண்டோம்.

ஒய்யில் கோட்டின் சமன்பாடு என்பது சாய்வு பெருக்கல் எக்ஸ்

கூட்டல் ஒய் குறுக்கு வெட்டிற்குச் சமமாக இருக்கும்.

அதனை இங்கே எழுதிக் கொள்ள வேண்டும்.

எனவே கழித்தல் ஆறு, அதாவது எதிர்ம ஆறு தான்

இந்தக் கோட்டின் சமன்பாடு ஆகும்.

இதுபோன்ற இன்னொரு கணக்கை எடுத்துக் கொள்வோம்.

இதில் 1.5 இன் f மதிப்பு எதிர்ம 3. அதே போல

எதிர் ஒன்றின் f மதிப்பு இரண்டு ஆகும்.

இதை எப்படிக் கணக்கிடுவது...?

வேடிக்கையாகச் சொல்வதென்றால்

எக்ஸ் மதிப்பு 1.5 என்று கூறப்பட்ட நிலையில் நாம்

1.5 அளவிற்கு நகர்ந்தால் அது எதிர்ம 3 இல் கொண்டு போய்ச் சேர்க்கிறது.

ஆகவே இந்தக் கோட்டின் ஒருங்கிணைவு 1.5 மற்றும்

எதிர்ம மூன்றாக இருக்கிறது.

அடுத்து எக்ஸானது எதிர்ம ஒன்றாக இருந்தால்

எக்ஸின் f ஆனது இரண்டிற்கு சமமாக இருக்கும்.

இந்தக் கோட்டில் உள்ள இரண்டு புள்ளிகளும்

வழக்கத்திற்கு மாறானது அல்ல.

இந்தக் கணக்கின் புள்ளிகள் உங்களுக்குத் தெரிந்திருக்கக் கூடும்.

இது போன்ற கணக்குகளைப் பார்த்திருந்தால்

இதன் செயல் குறிப்புகளும் உங்களுக்குத் தெரிந்திருக்கக் கூடும்.

1.5 இல் நடைமுறைக்குக் கொண்டு வந்தால் நமக்குக் கிடைப்பது எதிர்ம மூன்று.

எக்ஸின் எப் ஆனது ஒய்க்குச் சமம் என்று கற்பனை செய்து கொண்டால்

அது ஒருங்கிணைவாக இருக்கும்.

எனவே இது ஒய் ஒருங்கிணைவாக இருக்கும்.

எக்ஸானது 1.5 ஆக இருக்கும் பொழுது ஒய் ஒருங்கிணைவு எதிர்ம மூன்றாக இருக்கும்.

இது பெருக்க மடங்காக இருக்கும் என்பது முன்பே கூறப்பட்டுள்ளது.

இந்தக் கோட்டின் சாய்வை நாம் பார்க்கலாம்.

எக்ஸில் ஏற்படும் மாற்றத்திற்கு ஏற்ப ஒய்யில் நிகழும் மாற்றமானது

எதிர்ம ஒன்றிற்கு சமமாக இருக்கும்.

அதாவது எதிர்ம மூன்றை இரண்டில் கழித்தால் கிடைக்கிற

எதிர்ம ஒன்றிற்குச் சமமாக இருக்கும்.

எதிர்ம ஒன்று கழித்தல் 1.5 என்பதை

இங்கே எழுதிக் கொள்வோம்.

எதிர்ம ஒன்று, இரண்டு ஆகிய இரண்டுமே

அதிலிருந்து தான் கிடைத்தது. ஆகையால்

அதனை முதலில் பயன்படுத்திக் கொள்வோம்.

x ஐயும் y யையும் பயன்படுத்துகிற போது..... இரண்டையுமே ஒரே நேரத்தில் பயன்படுத்துவதால்

எதிர்ம ஒன்றை முதலில் பயன்படுத்துவோம்.

அதனால் வேறு நிறத்தில் குறித்துக் கொள்வோம்.

இது இரண்டு கழித்தல் எதிர்ம மூன்றுக்குச் சமமாக இருக்கும்.

எதிர்ம மூன்றாக இருப்பதால், இரண்டு கூட்டல் மூன்றைப் போலவே

நமக்குக் கிடைக்கும் விடை 5 ஆக இருக்கும்.

அடுத்து எதிர்ம ஒன்று கழித்தல் 1.5 என்பது எதிர்ம 2.5 ஆகும்.

5 ஐ 2.5 ஆல் வகுத்தால் கிடைப்பது 2 க்குச் சமம்.

எனவே கோட்டின் சாய்வு ஆனது எதிர்ம 2 ஆகும்.

இந்த ஒருங்கிணைவை முதலில் பயன்படுத்துவதாக இருந்தால்

அதற்கு நாம் மாற்று வழியைப் பார்க்க வேண்டும்.

எதிர்ம மூன்று கழித்தல் இரண்டின் கீழ் ஒன்று புள்ளி ஐந்து

கழித்தல் எதிர்ம ஒன்று என்பது கழித்தல் இரண்டின் கீழ் ஒன்று புள்ளி ஐந்தில்

எதிர்ம ஒன்றைக் கழிப்பதாகவே இருக்கும்.

இதில் நமக்குக் கிடைக்கப் போவது அதே விடை தான்.

அது எதற்குச் சமமாக இருக்கும்.?

எதிர்ம மூன்று கழித்தல் 2 என்பது எதிர்ம 5 இன் கீழ் 1.5 கழித்தல் எதிர்ம ஒன்று என்பது

1.5 கூட்டல் 1 என்பதாக இருக்கும்.

எனவே 2.5 க்கு மேல் இருக்கும்.

எனவே மீண்டும் இது எதிர்ம 2 க்குச் சமமாக இருக்கும்.

கணக்கைப் பற்றிய தெளிவு நமக்கு இருக்குமானால்

துவக்கப் புள்ளி, இறுதிப் புள்ளி எதுவாக இருந்தாலும்

அதனால் நமக்குப் பாதகம் இல்லை.

இது y இன் துவக்கப்புள்ளி என்றால், இது எக்ஸின் துவக்கப் புள்ளி.

இது y இன் இறுதிப் புள்ளியாக இருந்தால்

இது எக்ஸின் இறுதிப் புள்ளியாக இருக்கும்.

சாய்வானது எதிர்ம இரண்டு என்பது நமக்குத் தெரிந்து விட்டது.

ஒய்யானது எதிர்ம 2x கூட்டல் ஒரு y குறுக்கு வெட்டிற்குச் சமம் என்ற சமன்பாட்டை

நாம் தெரிந்து கொண்டோம்.

இந்த ஒருங்கிணைவுகளில் ஒன்றைப் பார்க்கலாம்.

இந்த ஒன்றுக்கு தசம புள்ளி இல்லை என்பதால் இதனைப் பயன்படுத்திக் கொள்வோம்.

ஒய்யானது 2 க்குச் சமம் என்பது நமக்குத் தெரியும்.

x ஆனது எதிர்ம ஒன்றுக்குச் சமம் என்றால் y ஆனது 2 க்குச் சமம் ஆகும்.

நம்மிடம் இங்கே பி கூட்டல் இருக்கிறது.

ஆகையால் 2 ஆனது, எதிர்ம 2 பெருக்கல் எதிர்ம ஒன்றுக்குச் சமமாக 2 கூட்டல் பி ஆக இருக்கும்.

சமன்பாட்டின் இரண்டுப் பக்கங்களிலும் இரண்டைக் கழித்தால்

இங்கே இரண்டு, இங்கே இரண்டு அடித்தது போக

சமன்பாட்டில் இடது பக்கம் பூஜ்ஜியமானது

b க்குச் சமமாக இருக்கும்.

எனவே b என்பது 0 ஆகும்.

நமது கோட்டின் சமன்பாட்டில் ஒய் ஆனது

எதிர்ம 2x க்குச் சமமாக இருக்கும்.

நாம் செய்முறைக் குறிப்பு எழுதுவது என்றால்

x இன் f ஆனது எதிர்ம 2x க்குச் சமமாக இருக்கும்.

ஒய்யானது x இன் f க்குச் சமமாக இருக்கும் என்றே யூகித்தோம்.

ஆனால் சமன்பாடு வேறு மாதிரியாக வந்து விட்டது.

இங்கே ஒய்யைப் பற்றிக் குறிப்பிடவே இல்லை.

எக்ஸின் எஃப் ஆனது இரண்டு எக்ஸிற்குச் சமம் என்று நாம் இங்கே எழுதலாம்.

இந்த ஒருங்கிணைவுகளில் ஒவ்வொன்றுமே

எஃப் ஐயும் எக்ஸின் எஃப் ஐயும் ஒருங்கிணைக்கிறது.

எக்ஸின் மீதான மாற்றம் என்பது எக்ஸின் எஃப் இன் மாற்றத்தைப் போன்று இருக்கும் என்று

சாய்விற்கு நாம் சாய்விற்கு விளக்கம் எழுதலாம்.

இவை அனைத்தும் ஒரு பொருளைப் பல கோணங்களில் பார்ப்பதைப் போன்றது தான்.