Dopełnianie do kwadratu

Khan Academy's video on completing the square.

Witam na wideo o dopełnianiu do kwadratu.

Co to jest "dopełnianie do kwadratu"?

Jest to metoda rozwiązania równania kwadratowego.

Więc pozwólcie że napisze równanie kwadratowe

i pokaże Wam jak można je rozwiązać metodą dopełnienia do kwadratu.

A potem zrobimy jeszcze jeden przykład

i opowiem Wam o tym, dlaczego ta metoda nazywa się dopełnianiem do kwadratu.

Powiedzmy, że mamy równanie kwadratowe x do kwadratu dodać 16 razy x

minus 57 równa się 0.

W jaki sposób możemy próbować

rozwiązać to równanie?

Moglibyśmy spróbować rozłożyć je na czynniki.

Możemy spytać jakie dwie liczby dodają się do 16

a jak się mnoży je przez siebie, wychodzi 57.

Trzeba by się nad tym dobrze zastanowić...

Czasem okaże się że w odpowiedzi dostaniemy liczby całkowite,

ale nigdy nie można być pewien, że rozwiązaniem będą

liczby całkowite.

A czasem rozwiązaniem będzie liczba z cyframi po przecinku,

z góry trudno to wykluczyć.

Więc metoda rozłożenia równania na czynniki działa tylko wtedy

kiedy w rozkładzie występują liczby całkowite.

x dodać jakaś liczba całkowita albo x minus jakaś liczba całkowita

razy x dodać jakaś inna liczba całkowita.

Czy coś podobnego.

Inna metoda polega na wykorzystaniu wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.

Jak się przekonamy, te wzory wzięły się

z rozwiązania metodą dopełnienia do kwadratu.

Te wzory dowodzi się używając metody

dopełnienia do kwadratu.

Więc na czym polega to "dopełnianie do kwadratu"?

Co trzeba zrobić?

Zanim przejdziemy do tego, zobaczmy co się stanie,

jeśli podniosę do kwadratu wyrażenie.

Zapiszemy to tutaj.

Ile to jest, x dodać a do kwadratu?

x dodać a do kwadratu równa się x do kwadratu plus 2 a x plus a kwadrat.

Zgadza się?

Jeśli byśmy zobaczyli coś podobnego, od razu wiedzielibyśmy że

jest to x plus coś do kwadratu.

Wiec spróbujmy tak przekształcić to równanie, żebyśmy mogli

zapisać je jako x plus coś do kwadratu.

A potem możemy po prostu wziąć z tego pierwiastek kwadratowy?

Dokładnie tak mamy zamiar postąpić, dokładnie to zrobimy.

I to się nazywa dopełnianiem do kwadratu.

Teraz pokażę Wam przykład.

Przykład pozwoli rozjaśnić o co w tym wszystkim chodzi.

Ten wzór wezmę w ramkę.

To jest to co powinniśmy pamiętać.

Cała filozofia metody dopełniania do kwadratu -

Aby przekształcić równanie tak, by po jednej stronie był pełen kwadrat,

a po drugiej stronie liczba, tak że

będziemy mogli wziąć pierwiastek kwadratowy z obu stron równania.

Zobaczmy, jak to działa.

Na wszelki wypadek sprawdźmy, że to nie jest

kwadrat jakiegoś wyrażenia.

Gdyby tak było, współczynnik przy x byłby równy 2 razy a.

Zgadza się?

Czyli a byłoby równe 8, a wyraz stały byłby równy 64.

To nie jest równe 64, więc to równanie to nie jest

kwadrat jakiegoś wyrażenia.

W takim razie co można z tym zrobić?

Pozbędziemy się tego minus 57 w ten sposób, że dodamy 57 do obu

stron tego równania.

Tutaj zostanie x do kwadraty plus 16 x równa się 57.

Po prostu dodaliśmy 57 do obu stron równania.

A teraz, co trzeba dodać tutaj, aby lewa strona

tego równania była równa kwadratowi jakiegoś wyrażenia

typu x plus a do kwadratu?

Spójrzmy na wzór poniżej, mamy x do kwadratu

plus 2 a x, to znaczy że to tu po prawej to jest 2 a x.

Zgadza się?

To jest 2ax.

I teraz trzeba jeszcze dodać do tego a do kwadratu.

Jasne?

Dodać a kwadrat.

I w ten sposób dostaniemy wyrażenie w takiej formie.

Ale pamiętamy z algebry, że cokolwiek zrobimy po jednej

stronie równania, musimy zrobić także po drugiej.

Jeśli dodaliśmy a kwadrat pe lewej stronie, musimy dodać

a kwadrat także po prawej stronie.

Teraz można to łatwo przepisać jako kwadrat

pewnego wyrażenia.

Ale zanim to zrobimy, musimy ustalić ile wynosi a?

Jak to zrobić?

Co to jest a?

Jeśli to wyrażenie po prawej równa się 2ax to ile wynosi a?

No, 2a równa się 16, czyli a równa się 8.

Zazwyczaj można to sprawdzić po prostu patrząc na równanie

i licząc w głowie.

Ale jeśli chcesz otrzymać a jako rozwiązanie równania,

można zapisać że 2ax równa się 16x.

A następnie podzielić obie strony przez 2x, i otrzymamy że a

równa się 16x podzielić przez 2x.

Zakładając, że x nie jest równe zero, z dzielenia wychodzi 8.

Czyli a równa się 8.

W takim razie, jeśli a równa się 8, możemy przepisać to wyrażenie - zmienię teraz kolory

- jako x do kwadratu plus 16 x

plus a do kwadratu.

a do kwadratu równa się 64, ponieważ a równa się 8.

I to się równa 7 dodać 64.

Zgadza się?

To całe rozumowanie jest dość nudne, ale

wszystko co się stało odtąd dotąd to po prostu dodaliśmy 57 do obu

stron równania, żeby pozbyć się tego po prawej stronie,

a potem dodaliśmy 64 do obu stron tego równania.

A dlaczego dodaliśmy 64 do obu stron równania?q

Dlatego, że wyrażenie po lewej stronie ma teraz formę.

Wyrażenie po lewej stronie ma taką postać.

Jak mogę to przepisać?

jako x dodać a do kwadratu.

Mogę to przepisać w takiej postaci.

Wiemy, że a równa się 8, czyli to jest x dodać 8 do kwadratu,

równa się - ile to jest 57 dodać 64?

To jest 121.

To co otrzymaliśmy wygląda całkiem prosto - to ciągle

jest równanie kwadratowe, bo gdybyśmy

rozwinęli tą stronę, dostalibyśmy człon kwadratowy.

Ale teraz możemy rozwiązać to równanie nie korzystając

ze wzorów na pierwiastki, ani nie rozkładając go na czynniki.

Możemy po prostu wziąć pierwiastek kwadratowy z obu stron.

I jeśli weźmiemy pierwiastek kwadratowy z obu stron, to co dostaniemy?

Otrzymamy - jeszcze raz zmienię kolor -

że x plus 8 równa się, i pamiętajcie teraz, plus lub minus

pierwiastek z 121.

Ile wynosi pierwiastek z 121?

11, nieprawdaż?

A więc otrzymujemy.

Zakreślę to w ramce.

To była dygresja.

Czyli mamy x dodać 8 równa się plus lub minus 11.

Teraz, x równa się, odejmujemy 8 z obu stron - minus

8 plus lub minus 11.

A więc x równa się - minus 8 plus 11 równa się 3.

Zgadza się?

Sprawdzę jeszcze czy zrobiłem to prawidłowo.

x równa się minus 8 plus lub minus 11.

Tak.

Zgadza się.

A więc x może być równy 3.

A jeśli wezmę drugą możliwość, minus 8 minus 11, x może

również równać się minus 19.

W porządku.

Sprawdźmy, czy to ma sens.

Zgodnie z naszym rozwiązaniem, powinniśmy móc zapisać to jako

x minus 3 razy x plus 19 równa się zero.

Jasne?

Ponieważ mamy dwa rozwiązania tego równania.

I to działa, prawda?

Minus 3 razy 19 równa się minus 57.

I minus 3x plus 19x jest plus 16 x

Wygląda na to, że moglibyśmy rozłożyć to równanie na czynniki od razu, ale

to nie było wcale dla nas oczywiste, pewnie dlatego że

19 to taka dziwna liczba - w końcu znaleźliśmy rozwiązanie

dopełniając do kwadratu.

A dlaczego ta metoda nazywa się dopełnianiem do kwadratu?

Dlatego, że przekształcamy równanie do takiej postaci, dodając

tu 64 i w ten sposób dopełniając do pełnego kwadratu - aby

przekształcić lewą stronę do pełnego kwadratu.

Zróbmy jeszcze jeden przykład.

Tym razem będę mniej tłumaczył i po prostu

rozwiąże ten problem, przez co może będzie wydawał się łatwiejszy.

Ale to wcale nie będzie łatwy problem.

Powiedzmy że mamy równanie 6 x do kwadratu minus 7 x minus 3 równa sie 0.

Jeśli chcecie, możecie próbować rozłożyć to równanie na czynniki, ale ja osobiście nie mam wielkiej

frajdy z rozkładania na wyrażenia na czynniki kiedy współczynnik przy x kwadrat nie jest równy jeden.

Oczywiście powiecie teraz "dlaczego nie podzielimy obu stron

tego równania przez 6"?

Ale wtedy dostaniemy ułamek tutaj i drugi ułamek tutaj.

A to jeszcze bardziej pogarsza sprawę, jeśli chodzi o rozkładanie na czynniki metodą przyglądania się równaniu.

Możemy wykorzystać wzory na pierwiastki równania kwadratowego.

I pewnie tak zrobię w jednym z następnych filmów,

o równaniu kwadratowym - jeśli się nie mylę, nagrałem już jedno takie wideo z dowodem

równania kwadratowego.

Dowód w zasadzie opiera się na metodzie

dopełniania do kwadratu.

Te wzory pozwalają po prostu iść na skróty.

Sposób na zapamiętanie jak się to robi.

A my tymczasem uzupełnimy lewą stronę do kwadratu, bo o tym jest

ten film wideo.

Najpierw dodamy 3 do obu stron równania.

Właściwie to moglibyśmy - nie, najpierw dodamy 3.

Teraz mamy 6 x kwadrat minus 7x równa się 3.

Dodałem 3 do obu stron.

Inni nauczyciele zostawiliby minus 3 po tej stronie, a potem

zastanawialiby się co jeszcze trzeba tu dodać i tak dalej.

Ja osobiście lubię pozbyć się od razu na samym początku wyrazu stałego po lewej stronie

i w ten sposób jasno widzę jaką liczbę trzeba dodać aby dopełnić kwadrat.

Natomiast ten czynnik 6 wcale mi się nie podoba.

To tylko komplikuje sprawę.

Chce mieć tutaj x plus a do kwadratu, bez żadnych pierwiastków

kwadratowych ze współczynnika przy x kwadrat.

Podzielmy więc teraz obie strony równania przez 6 i dostaniemy

x do kwadratu minus 7/6 x rowna sie - 3 podzielić przez 6.

A to równa się 1/2.

To mógłby być nasz pierwszy krok.

Moglibyśmy podzielić obie strony przez 6 od razu na początku.

Tak czy inaczej, spróbujmy teraz dopełnić lewą stronę do pełnego kwadratu.

Mamy x do kwadratu - zsostawię tu trochę miejsca -

minus 7/6 x plus coś jest równe 1/2 plus coś.

I to coś musi mieć taką wartość, żeby po lewej stronie

równania pojawił się pełen kwadrat.

Jak to zrobić?

Pamiętamy, że ten współczynnik

równa się nie 7/6 a minus 7/6.

Powinniśmy pomnożyć go przez 1/2 i wynik podnieść do kwadratu.

Zgadza się?

Zróbmy to.

x dodać a do kwadratu równa się x kwadrat plus

2ax plus a kwadrat.

Jasne?

Musimy to dobrze zapamiętać.

Całe to dopełnianie do kwadratu opiera się na tym wzorze.

O czym mówiłęm?

Aha, ten wyraz musi być równy 1/2 razy ten

współczynnik do kwadratu.

Skąd to wiemy?

Ponieważ a to jest 1/2 współczynnika przy x,

jeśli porównamy te dwa wyrażenia.

Ile wynosi 1/2 razy ten współczynnik?

1/2 razy minus 7/6 równa się minus 7/12.

Możemy zapisać, że a równa się minus 7/12.

Minus 7/12 w naszym przykładzie.

To wzięło się stąd, że pomnożyłem tutaj przez 1/2.

Zgadza się?

Ile w takim razie muszę dodać do obu stron?

Trzeba dodać kwadrat tego.

Ile to jest 7/12 do kwadratu?

To będzie 49/144.

Jeśli dodajemy to do lewej strony, musimy także zrobić to samo

po prawej stronie.

Plus 49/144.

Jak teraz mogę uprościć lewą stronę?

Jaki jest nasz kolejny krok?

Wiemy, że to jest pełen kwadrat wyrażenia.

Dokładnie mówiąc, wiemy że a równa się minus 7/12.

A więc lewa strona równa się

x minus a, właściwie x plus a, ale a jest liczbą ujemną.

A więc x plus a, przy czym a jest liczbą ujemną, do kwadratu.

Jeśli chcecie, możecie rozwinąć ten kwadrat i przekonać się

że rzeczywiście równa się temu.

A po prawej stronie będzie - sprowadźmy to do

wspólnego mianownika, 144.

72 plus 49 równa się 121.

121/144.

Po lewej stronie mamy x minus 7/12, do kwadratu.

równa się 121/144.

Co powinniśmy teraz zrobić?

Wiemy co. Powinniśmy wziąć pierwiastek kwadratowy z obu

stron równania.

Spróbuje zrobić trochę miejsca.

I zmienię kolor na zielony.

Pozwólcie, że tą część oddzielę.

Mamy x minus 7/12 równa się plus lub minus

pierwiastek z tego.

Czyli plus lub minus 11/12.

Jasne?

Pierwiastek kwadratowy z 121 wynosi 11.

Pierwiastek kwadratowy z 144 wynosi 12.

Możemy teraz dodać 7/12 do obu stron tego równania

i otrzymać, że x równa się 7/12 plus lub minus 11/12.

A to się równa 7 plus lub minus 11 i to wszystko podzielić przez 12.

Jakie są te dwie możliwości?

7 dodać 11 równa się 18. podzielić przez 12.

Czyli x równa się 18/12, równa się 3/2.

Albo, ile jest 7 minus 11?

To będzie minus 4/12.

A to się równa minus 1/3.

Mamy wynik końcowy.

Tak działa dopełnianie do kwadratu.

Mam nadzieję że było to wystarczająco zrozumiałe.

A teraz, jeśli zechcecie udowodnić wzory na pierwiastki równania kwadratowego, wszystko co

musicie zrobić, to zamiast konkretnych liczb podstawić A razy x do kwadratu

plus B razy x plus C równa się 0.

I wykonać dopełnienie do kwadratu dla A, B i C

zamiast dla konkretnych liczb.

W ten sposób dowodzi się wzory na pierwiastki trójmianu

kwadratowego.

Jeśli się nie mylę, nagrałem o tym wideo.

A jeśli nie, to nagram je dla Was.

Tak czy inaczej, do zobaczenia na następnym filmie!