Tam kareye tamamlama

2. derece denklemleri tam kareye tamamlama kullanarak çözmek

Tam kareye tamamlama videosuna hoşgeldiniz.

Tam kareye tamamlama nedir?

Pekala,bu ikinci dereceden bir denklemi çözmek için bir yol.

Aslında, bir saniye, önce ikinci dereceden bir denklem yazayım

sonra size nasıl tam kareye tamamlayacağınızı göstereceğim.

Sonra başka bir örnek yapacağız,ve belki sonra

neden bu yönteme tam kareye tamamlama dendiği hakkında konuşuruz.

x kare artı 16x eksi 57 eşittir sıfır şeklinde bir denklemimiz olsun.

-

Şimdi... bu denklemi çözmek için ne kullanabiliriz?

-

Çarpanlarına ayırabiliriz.

Toplamları 16 olan hangi iki sayıyı çarptığında sonucun -57 olacağını hesaplayabiliriz.

-

Bunun için biraz düşünmek gerekir.

Ve sonuçta iki sayı elde edebiliriz ama

bu iki sayının işe yarayıp yaramayacağından bile emin değiliz.

-

Bu da bir sorun.

Ve bazen sonuç ondalık sayı da olabilir

bunu bilemeyiz.

Yani çarpanlara ayırmayı kullanmak için,

ifadenin tam sayı çarpanlara ayrılabileceğinden emin olmalıyız.

Biliyorsunuz, x artı veya eksi bir tamsayı kez

x artı başka tamsayı.

Buna benzer ifadeler

Diğer seçenek ise ikinci dereceden bir denklem olarak çözmek.

Ve aslında ikinci dereceden denklemin tam kareye tamamlama için

bir kısa yol olduğunu göreceğiz.

İkinci dereceden denklem çözme aslında

tam kareye tamamlama kullanılarak kanıtlanmıştır.

Peki, tam kareye tamamlama nedir?

Ne yapmamız gerekiyor?

Videoya geçmeden önce, eğer bir ifadenin karesini alırsam

ne olacağına bakalım.

Bunu şurada yapayım.

x artı a'nın karesi nedir?

bu x kare artı 2ax artı a kareye eşit.

Değil mi?

Yani bu formda bir şey görürseniz,

bunun x artı bir şeyin karesi olduğunu anlayabilirsiniz.

Şimdi bu denklemle biraz oynayıp

bunu x artı a'nın karesine benzer bir şekilde yazıp

sonra da karekökünü alsak hoş olmaz mı?

Ve aslında bizim yapacağımız şey tam da bu.

Ve buna tam kareye tamamlama deniyor.

Size bir örnek göstereyim.

Bir örnek daha açıklayıcı olacaktır.

Bunu şuradan bir ayırayım.

Bunu hatırlamalısınız.

Bu tam kareye tamamlamanın mantığı.

Bir denklemin bir tarafını bu şekle getirdiğimizde ve

diğer tarafta da bir sayı olduğunda,

iki tarafın da karekökünü alabiliriz.

O zaman başlayalım.

Öncelikle bu ifadenin

tam kare olmadığından emin olalım.

Eğer öyle olsaydı, bu katsayının 2a'ya eşit olması gerekirdi.

Değil mi?

o zaman a 8 olurdu ve bu da 64 olurdu.

Bu kesinlikle 64 değil, yani bu

tam kare bir ifade değil.

Öyleyse, ne yapabiliriz?

Şimdi, şu 57'den kurtulmak için

iki tarafa da 57 ekleyeceğim.

Böylece denklemim x artı 16 eşittir 57 oldu.

Tek yaptığım iki tarafa da 57 eklemekti.

Şimdi, bu ifadenin sol tarafının

x artı a gibi bir ifadenin karesi haline gelmesi için

buraya ne eklemem gerekir?

Bunu örnek alacaksak, elimizde x kare artı 2ax olması lazım,

o zaman bunun 2ax olduğunu söyleyebiliriz.

Değil mi?

Bu 2ax.

Ve buna bir a kare eklememiz lazım.

Değil mi?

Artı a kare.

Böylelikle bu formu elde ederiz.

Ama basit cebirden de bildiğimiz gibi, bir denklemde

hiçbir şeyi tek taraflı yapamayız.

Buraya a kare eklediğimize göre,

buraya da a kare ekleyelim

Şimdi bunu bir ifadenin karesi olarak yazabiliriz.

-

Ama bunu yapmadan önce a'nın ne olduğunu bulmalıyız.

Bunu nasıl yapacağız?

Peki, a nedir?

Eğer bu ifade 2ax ise, a nedir?

2a 16 olacak, o zaman a 8'dir.

Bu işlemi zihinden kolayca yapabiliriz.

-

Ama bunu cebirsel olarak görmek istiyorsanız,

2ax eşittir 16x'e eşittir yazıp,

iki tarafı da 2x'e bölebiliriz. Bu durumda,

a eşittir 16x bölü 2x.

x'in 0 olmadığını varsayarsak, sonuç 8 oluyor.

Yani a 8.

a 8 ise, bu ifadeyi,

x kare artı 16 artı a kare,

bu da 64 olacak çünkü a 8,

eşittir 57 artı 64

şeklinde yazabiliriz.

Değil mi?

Ben burada uzun, sıkıcı bir açıklama yaptım ama

aslında şuradan şuraya gelmek için tüm yaptığımız

sağ tarafı elde etmek için iki tarafa da 57 ekledikten sonra,

iki tarafa da 64 eklemek.

İki tarafa da 64 eklememin sebebi ise,

sol taraftaki ifadeyi bu forma sokmak.

Şimdi, sol tarafta bu formu elde ettiğime göre,

bunu ne şekilde düzenleyebilirim?

x artı a'nın karesi

şeklinde yazabilirim.

a da 8 olduğuna göre, bu ifade x artı 8'in karesi

eşittir-- 57 artı 64 nedir?---

121.

Aslında bu hala ikinci dereceden bir denklem,

çünkü bu tarafı açarsak

yine ikinci dereceden bir denklemimiz olur.

Ama bunu ikinci dereceden denklemi kullanmadan

veya çarpanlarına ayırmadan çözebiliriz.

Sadece iki tarafın da karekökünü alırız.

İki tarafın da karekökünü alırsak ne elde ederiz?

-Yine renk değiştirmek istiyorum- x artı 8 eşittir,

,bunu unutmayın, artı eksi karekök 121.

-

121'in karekökü nedir?

11'dir değil mi?

O zaman, şuraya geçelim.

Bunu da bir kenara ayırayım.

-

Öyleyse, x artı 8 eşittir artı veya eksi 11.

yani x eşittir -iki taraftan da 8 çıkarıyorum-

8 artı veya eksi 11.

Ve x -- eksi 8 artı11-- eşittir 3 olabilir.

Değil mi?

Döğru yaptığımdan emin olayım.

x eşittir 8 artı veya eksi 11.

Evet.

Doğru.

Yani x 3'e eşit olabilir.

Ve bunu eksi 8 eksi 11 olarak alırsam

x eksi 19'a da eşit olabilir.

Tamam.

Tamam bakalım mantıklı mı?

Buna göre, bu ifade

x eksi 3 çarpı x artı 19 eşittir 0 olmalı.

Değil mi?

Çünkü bunlar bu denklemin sonuçları.

Doğru gibi görünüyor, değil mi?

eksi 3 çarpı 19, eksi 57 eder.

Ve eksi 3 artı 19 eşittir 16x.

Bunu bu şekilde çarpanlarına ayırabilirdik ama

bunu göremeseydik --çünkü biliyorsunuz 19 biraz garip bir sayı--

bunu kare tamamlamayla çözerdik.

-

Peki buna neden tam kareye tamamlama deniyor?

Çünkü bunu bu halde alıyoruz ve

buraya bu 64'ü eklemeiz gerekiyor ki bunu bir tam karaya tamamlayalım

yani bu sol tarafı bir tam kare ifade haline getirelim.

Bir tane daha yapalım.

Ve daha az açıklama yaparak sadece problemi çözeceğim,

bu şekilde daha basit görünecek.

Ama bu biraz daha zor bir problem olacak.

Şimdi, diyelim ki 6x kare eksi 7x eksi 3 eşittir 0.

Bunu çarpanlarına ayırmayı deneyebilirsiniz, ama açıkçası

ben bir katsayı varken çarpanlarına ayırmayı sevmiyorum.

Neden denklemin iki tarafını da

6'ya bölmüyoruz diye sorabilirsiniz.

ama o zaman burada ve burada kesir elde ederiz.

Ve bu kontrol ederek çarpanlarına ayırmaktan bile kötü.

İkinci dereceden denklem kullanabilirsiniz.

Belki ilerde bir videoda ikinci dereceden denklem kullanmayı gösterebilirim.

Hatta sanırım bir yerlerde

ikinci dereceden denklemi kanıtladığım bir video var.

Ama ikinci dereceden denklem kullanmak da bir çeşit

tam kareye tamamlama.

Bir çeşit kısayol.

Bir bakımdan formülü hatırlamak.

Ama burada tam kareye tamamlamayı kullanalım çünkü

bu videonun amacı bu.

İki tarafa da 3 ekleyelim.

Aslında-- neyse önce 3 ekleyelim.

Yanii 6x kare eksi 7x eşittir 3.

İki tarafa da 3 ekledim.

Bazı öğretmenler bu eksi 3'ü burada bırakıp,

bunun üstüne ne eklemek gerektiğini düşünüyorlar.

Ama ben onu aradan çıkartmayı tercih ediyorum,

böylece buraya eklemem gereken sayıyı rahatça görebiliyorum.

Ama buradaki 6'yı sevmedim.

Sadece işleri karıştırıyor.

Sonucun x artı a'nın karesi şeklinde olmasını istiyorum,

x'in başında kareköklü bir katsayı olmasını değil.

Öyleyse, iki tarafı da 6'ya bölelim.

x kare eksi 7/6 x eşittir --3/6'dan --

eşittir 1/2.

Bunu ilk adımda da yapabilirdik.

İlk adımda 6'ya bölebilirdik.

Neyse, şimdi de tam kareye tamamlamaya çalışalım.

Elimizdeki denklem, x kare --biraz yer açacağım-- eksi 7/6x

artı bir şey eşittir 1/2.

Ve buraya bir şeyler eklemeliyiz ki,

sol taraftaki ifade bir tam kare ifade olsun.

Peki bunu nasıl yapıyoruz?

Bu katsayıya bakıyoruz,

ve unutmayın bu sadece 7/6 değil, eksi 7/6.

Bunu ikiye bölüp karesini alacağız.

Değil mi?

Bunu bir yapayım.

x artı a'nın karesi eşittir

x kare artı 2ax artı a kare.

Değil mi?

Bunu her zaman hatırlamalısınız.

Tam kareye tamamlama bunun üzerine kurulu.

Ne demiştim?

Bu terim bu katsayının

yarısının karesi olacak.

Ve bunu neren biliyoruz?

Çünkü biraz işlem yaptığımızda

a bu katsayının yarısı çıkıyor.

Öyleyse bu katsayının yarısı nedir?

eksi 7/6'nın yarısı eksi 7/12'dir.

Yani isterseniz

a eşittir eksi 7/12 yazabilirsiniz.

Ve sadece bunu 1/2 ile çarptık.

Değil mi?

İki tarafa ne ekleriz?

a kare ekledim.

Öyleyse 7/12'nin karesi nedir?

Bunun cevabı 49/144.

Ve bunu sol tarafa yaptıysam,

sağ tarafa da yapmalıyım.

artı 49/144.

Bu sol tarafı nasıl sadeleştirebilirim?

Bir sonraki adım nedir?

Bunun bir tam kare olduğunu biliyoruz.

Aslında, a'nın ne olduğunu biliyoruz. a eksi 7/12

Ayrıca denklemin sol tarafının

x eksi a veya x artı a olduğunu biliyoruz ama a negatif bir sayı.

Yani x artı a'nın karesi; a negatif bir sayı.

İsterseniz bunu çarpıp

sonucun doğru olduğundan emin olabilirsiniz.

Ve bu da--

Bunu 144 ortak paydasında

72 artı 49.

Yani 121/144.

Öyleyse, x eksi 7/12 'nin karesi

eşittir 121/144.

Peki şimdi ne yapacağız?

Şimdi sadece iki tarafın da karekökünü alacağız.

-

Biraz yer açmaya çalışıyorum.

Yeşili alayım.

Şurayı ayıralım.

Öyleyse x eksi 7/12 eşittir

bunun artı veya eksi karekökü.

Yani artı veya eksi 11/12.

Değil mi?

121'in karekökü 11.

114'ün karekökü 12.

O zaman iki tarafa da 7/12 ekleyelim,

ve, x eşittir 7/12 artı veya eksi 11/12.

Bu da 7 artı veya eksi 11/12 oluyor.

Peki iki seçeneğimiz ne?

7 artı 11 eşittir 18, bölü 12

x eşittir 18/12 yani 3/2.

Veya, 7 eksi 11 nedir?

eksi 4/12

Yani eksi 1/3

İşte bu.

Tam kareye tamamlama dediğimiz şey bu kadar.

Umarım anlaşılır bulmuşsunuzdur.

Ve eğer bunu ikinci dereceden denklemle kanıtlamak istiyorsanız,

yapmanız gereken sayılar yerine a x kare

artı bx artı c eşittir sıfır yazmak.

Sonra da sayı yerine a,b,c kullanarak

kare tamamlama yapmak.

Bu noktada

ikinci dereceden bir denklem elde etmiş olacaksınız.

Ve sanırım bir videoda bunu yaptım.

Eğer yapmadıysam haber verin, sizin için yaparım.

Her neyse, bir sonraki videoda görüşmek üzere.