Introdução a auto-valores e auto-vetores

RKA1JV - Olá, pessoal!
Prontos para mais um vídeo?

Para toda transformação que associa o Rⁿ

ao próprio Rⁿ,

a gente tem feito de forma implícita.

Mas tem sido bem importante para a gente

encontrar vetores que quando
eu aplicava transformação,

o resultado era apenas um múltiplo
desse vetor que foi aplicado.

Ou seja, vetores que, quando
eu aplico a transformação,

o resultado é simplesmente
um múltiplo desse meu vetor.

Se para você está meio obscuro,

você não lembra de a gente
ter falado nada disso,

vou tentar refrescar sua memória um pouco.

Para isso, vou começar
desenhando aqui o nosso R².

Eu vou fazer aqui

alguma transformação do R²
no R² para nos ajudar.

E agora, para ajudar,
vou fazer um vetorzinho,

aqui está o nosso vetorzinho "v".

Digamos que esse vetorzinho "v" aqui
é o vetor [1, 2].

Além disso, nós temos a reta
que esse vetorzinho gera,

vamos chamar essa retinha aqui de reta "r".

A agora vamos criar aqui,
uma transformação linear

que reflete vetores em torno
dessa minha reta "r".

Então, "T" vai ser uma
transformação do R² no R²

que reflete vetores ao redor de "r".

Bom, já que a gente está aqui em uma
missão de refrescar a memória,

o que seria uma reflexão
ao redor da reta "r"?

Digamos que eu tenha
um vetorzinho "x" aqui,

refletindo ao redor dessa reta,

ela vai servir como se fosse um espelho.

A imagem vai ficar aqui mais ou menos,
um reflexo desse meu vetor "x",

aqui está o nosso T(x).

Não sei se você se lembra
de quando a gente pegou

essa transformaçãozinha aqui como exemplo,

uma das coisas que a gente fez

foi escolher uma base
para essa transformação.

Que não era muito alterada por ela.

Quando a gente aplicava
a transformaçãozinha na base,

o máximo que ela fazia era multiplicar
os vetores da base por um escalar.

Por exemplo, pessoal, este vetorzinho,
vou chamá-lo de v₁.

Quando eu pego a transformação
desse vetor,

transformação aplicada
no meu vetorzinho v₁,

o que vai acontecer com ele?

Se eu o refleti sendo,
que ele já está na reta,

ele vai continuar igual.

Então, a transformação aplicada em v₁

é ser justamente o meu vetor v₁.

Ou dá para falar o seguinte:

se eu aplicar transformação em v₁,

o que eu vou obter é simplesmente
uma vez o meu v₁.

Se eu tentar colocar nesses
parâmetros aqui,

o que eu acabei de mostrar para você,

a transformação no caso é a reflexão.

E lambda (λ) aqui,
o λ é igual a 1.

Significa que o que aconteceu
depois da transformação,

é que o meu vetorzinho
foi multiplicado por 1.

Vamos pegar aqui um outro
vetorzinho de exemplo.

Digamos que eu pegue aqui,
o vetorzinho aqui,

esse vetor v₂,

e esse meu v₂ é o vetorzinho 2 menos 1.

Quando eu aplico a transformação
nesse meu v₂,

o que vai acontecer?

Ele só vai mudar a direção.
Por quê?

Porque ele é ortogonal
a essa minha reta "r".

Aqui está T(2),

ou seja, se eu pegar e aplicar
uma transformação em v₂,

o que vai acontecer?

O que vai vir de resultante para mim
vai ser -v₂.

Também posso dizer aqui que
a transformação aplicada em v₂

vai ser simplesmente
-1 vezes o vetorzinho v₂.

O interessante desses vetorzinhos aqui,

é que, se eu estiver trabalhando
com essa transformação

e usá-los como base do meu
sistema de coordenadas,

vai ficar muito, muito fácil
a gente achar a matriz

que vai representar a minha transformação.

O que também vai facilitar as continhas

que a gente vai operar daí para a frente.

A gente vai se aprofundar nisso

um pouco mais para frente.

Mas espero que você tenha percebido

o tanto que esses vetores são especiais.

Ou, então, pessoal, a gente pode
pegar o caso que eu tenho aqui,

um plano qualquer,

digamos que esse plano é gerado por esses
dois vetorzinhos em vermelho

e aqui eu tenho um vetorzino verde

que sai desse plano

e que vem aqui para cima.

Agora, eu pego como exemplo,

a transformação que usa
esse plano como um espelho,

todo mundo é refletido
ao redor desse plano.

E quando eu faço a transformação
nos vetores vermelhos,

eles não mudam nada

e fazendo a transformação
nesse vetorzinho verde,

ele simplesmente vira
de cabeça para baixo.

E você vai pensar:

"bom, parece que esses três vetores são
uma boa base para essa transformação."

De fato, eles são.

Então, basicamente, em que
a gente está interessado?

O que a gente está procurando são vetores
que quando a gente aplica transformação,

a única coisa que acontece é eles serem
multiplicados por um número.

Espero que você tenha percebido que
não são com todos os vetores

que esse tipo de comportamento acontece.

Por exemplo, olha esse vetorzinho "x"
que a gente desenhou.

Quando a gente aplicou
a transformação nele,

digamos que a reta que ele gera
muda completamente.

Diferentemente desse aqui.

quando eu apliquei a transformação,

a reta que eu gerei foi a mesma.

Então, basicamente, o que
a gente está procurando?

Os vetores que, quando a gente
aplica a transformação,

o resultado é só uma versão
multiplicada por um escalar.

E que digamos que a transformação
do meu "x", esse aqui é o vetor "x".

Ou seja, a reta que o vetor gera

tem que ser a mesma reta que
a imagem desse vetor vai gerar.

E quando esse tipo de coisa
acontece, pessoal,

esses vetorzinhos até têm um nome.

Espero que eu esteja enfatizando

o suficiente a importância desses caras

porque eles são, de fato, muito úteis.

Não é só uma perfumaria matemática
que a gente está fazendo aqui.

Eles são úteis, porque eles facilitam

encontrar as matrizes que
representam as transformações.

Eles são um conjunto
de bases mais natural

para um sistema de coordenadas.

E, na grande maioria das vezes,

as matrizes usando esses "carinhas" como
sistema de coordenadas

são muito mais fáceis
de operar, de calcular.

Então vamos ao nome especial
que esses vetores têm.

Qualquer vetorzinho que satisfaça essa propriedade aqui

é chamado de auto vetor
da transformação T.

Já esse lambda (λ) aqui,

o número pelo qual este vetor
foi multiplicado,

é chamado de auto valor associado.

Associado a quem?

Associado ao auto vetor.

Então, pessoal, voltando aqui,

essa transformação aqui, que é a reflexão,

nesse nosso caso,
o vetor [1, 2] é um auto vetor,

é um auto vetor da nossa transformação.

E o 1 é o auto valor associado.

Do mesmo modo, esse vetorzinho [2, -1],

o v₂, também é um auto vetor.

E no caso desse v₂,,
-1 é o auto valor associado.

Essa transformação representada como
um produto de uma matriz por um vetor,

afinal, é uma transformação linear,
pode ser representada assim.

Qualquer "v" que satisfaça a condição

de que a transformação aplicada em "v"
resulta em λv,

que, obviamente, também pode ser
representada por "A" vezes "v",

esses vetores também são chamados

de auto vetores da matriz "A".

Afinal, "A" é a matriz que
representa a transformação.

Novamente, esse aqui
é o auto vetor de "A",

e o λ é o auto valor
associado ao auto vetor.

Ou seja, se você me der uma matriz que
representa uma transformação linear,

eu posso descobrir quem são
os autos valores

e os autos vetores associados.

Inclusive, nos próximos vídeos,
a gente vai calcular esses carinhas.

Mas eu quero que você perceba,

quero que você dê importância,
no vídeo de agora, no vídeo de hoje,

nas propriedades desses tais
autos vetores.

Simplesmente, eles não são muito
alterados pela transformação,

o máximo que vai acontecer é ele ser
multiplicado por um escalar.

Ou seja, vai ficar ou maior,
ou um pouco menor,

mas a linha, a reta que esse cara gera,

não vai mudar quando eu aplico
a transformação nele.

Por isso, uma das grandes utilidades,

é que eles formam uma ótima base
para o nosso sistema.

O que vai fazer com que
a nossa matriz de transformação

seja mais fácil de encontrar,

inclusive, mais fácil de operar.

Espero que vocês tenham gostado,

e até o próximo vídeo!

Tchau, tchau!