Exemplo trabalhado: ponto extremo absoluto e relativo

RKA10JV - E aí, pessoal! Tudo bem?

Aqui temos um exercício
que pede o seguinte:

marque todos os extremos relativos
no gráfico abaixo.

E eu sugiro que você pause o vídeo,

olhe para este gráfico e tente
identificar os extremos relativos.

Vamos lá, então.

Se você não sabe, existem
dois extremos relativos:

o máximo relativo

e o mínimo relativo,

e ambos são, de certa forma,
fáceis de se detectar.

Por exemplo, o máximo relativo

é o ponto mais alto relativo
àquela vizinhança,

e você nem precisa olhar para
outras partes do domínio da função.

E não necessariamente
precisa ser uma curva, tá?

Podemos ter o máximo relativo
desse jeito aqui.

E claro, esse pico não necessariamente
vai ser o único.

Pode haver outros máximos relativos
em cada um desses aqui.

Agora, os mínimos relativos são o oposto.

Eles vão ser a parte
mais baixa dessa curva.

Nesse caso, aqui temos um mínimo relativo.

Não necessariamente tem que ser uma curva,

mas necessariamente é o ponto mais baixo
em relação à vizinhança.

E você nem precisa se preocupar
com outros valores,

ainda mais inferiores.

E claro, um outro contexto
para esses extremos

é quando nós temos uma função constante.

Todos os pontos dessa função
vão ser máximos e mínimos.

Por exemplo, se eu colocar aqui
um plano cartesiano,

esse aqui é o eixo "x",

e esse aqui é o eixo "y",

e se esse ponto aqui é "x" igual a "C",

Se você construir um intervalo
aberto em torno dele,

o valor de f(C) é o mesmo que
valores maiores do que ele,

e é tão pequeno quanto valores
ao seu redor dentro do intervalo.

Ou seja, dentro do intervalo
o máximo e o mínimo relativo

são os mesmos.

Mas claro, esse é um caso que você
não encontra com tanta frequência.

Entendido isso,

vamos olhar para o nosso gráfico
e encontrar os extremos relativos.

Aqui nós temos um pico
e aqui também, e claro,

esse ponto e esse ponto
não são máximos relativos.

Mas por quê?

Nesse ponto, se você for para a direita,

você vai encontrar valores
maiores do que ele, correto?

Por isso, ele não está
no topo da sua vizinhança.

E esse aqui, se você olhar
para a vizinhança à esquerda,

vai ver que existem
valores maiores do que ele.

E quanto aos mínimos relativos?

Esse aqui é um mínimo relativo.

Esse aqui também
e esse aqui também.

Entendido isso,

vamos fazer agora um exemplo em que
vamos lidar com extremos absolutos?

E, para isso, temos o seguinte aqui:

marque o máximo absoluto e o
mínimo absoluto no gráfico abaixo.

E eu sugiro que você pause o vídeo
e tente responder isso sozinho.

Vamos lá, então.

Nós temos o máximo absoluto
em, digamos, "x" igual a "c"

se e somente se f(C)
é maior ou igual a f(x)

para todo "x" no domínio da função.

E você tem o mínimo absoluto
em "x" igual a "c"

se e somente se f(C)
é menor ou igual a f(x)

para todo "x" pertencente ao domínio.

Ou melhor dizendo,

o máximo absoluto é o ponto mais alto
do gráfico dentro do domínio.

E olhando o nosso gráfico, o ponto
mais alto dele é esse aqui.

E o mínimo absoluto é o ponto mais baixo
que nesse caso é esse aqui,

mesmo sendo um ponto
extremo do gráfico.

Então, esse é o máximo absoluto

e esse aqui, o mínimo absoluto.

E, de novo, existem alguns casos

que você não vê com tanta frequência,

mas podem acontecer, por exemplo,
se essa função continuasse subindo,

e depois ficasse constante aqui no 9,

quais seriam os extremos absolutos?

Esse aqui não seria mais
o máximo absoluto, correto?

Ou seja, todos os pontos que
estivessem nessa parte constante

seriam máximos absolutos
porque seriam maiores

do que qualquer outro ponto
do gráfico no intervalo da função.

Mas como não estamos lidando
com esse tipo de gráfico,

esse aqui é o máximo absoluto.

Mas é algo fácil de se identificar,

o ponto mais alto do gráfico

vai ser o máximo absoluto

e o ponto mais baixo,
o mínimo absoluto.

Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado.

E até a próxima, pessoal!