Exemplo trabalhado: ponto extremo absoluto e relativo

E aí, pessoal, tudo bem?

Aqui temos um exercício
que pede o seguinte:

marque todos os extremos relativos
no gráfico abaixo.

E eu sugiro que você pause o vídeo,

olhe para este gráfico
e tente identificar os extremos relativos.

Vamos lá então.
Se você não sabe,

existem dois extremos relativos:
o máximo relativo

e o mínimo relativo, e ambos

são, de certa forma, fáceis de se detectar.

Por exemplo, o máximo relativo
é o ponto mais alto relativo

àquela vizinhança, e você nem precisa olhar

para outras partes do domínio da função.

E não necessariamente
precisa ser uma curva, tá?

Podemos ter o máximo relativo
desse jeito aqui.

E claro, esse pico não necessariamente
vai ser o único.

Pode haver outros máximos relativos
em cada um desses aqui.

Agora os mínimos relativos são o oposto.

Eles vão ser a parte
mais baixa dessa curva.

Nesse caso, aqui temos um mínimo relativo.
Não necessariamente tem que ser uma curva,

mas necessariamente é o ponto mais baixo
em relação à vizinhança.

E você nem precisa
se preocupar com outros valores,

ainda mais inferiores.
E claro,

um outro contexto para esses extremos

é quando nós temos uma função constante.

Todos os pontos dessa função
vão ser máximos e mínimos.

Por exemplo, se eu colocar aqui
um plano cartesiano esse aqui é o eixo "x",

e esse aqui é o eixo "y",
e se esse ponto aqui é "x" igual a "C",

Se você construir um intervalo
aberto em torno dele, o valor de f(C)

é o mesmo que valores maiores
do que ele, e é tão pequeno

quanto a valores ao seu redor
dentro do intervalo.

Ou seja, dentro do intervalo
o máximo e o mínimo relativ

são os mesmos.

Mas claro, esse é um caso que você
não encontra com tanta frequência.

Entendido isso, vamos olhar para o nosso gráfico
e encontrar os extremos relativos.

Aqui nós temos um pico
e aqui também, e claro,

esse ponto e esse ponto
não são máximos relativos.

Mas por quê? Nesse ponto,
se você for para a direita,

você vai encontrar valores
maiores do que ele, correto?

Por isso, ele não está
no topo da sua vizinhança.

E esse aqui, se você olhar
para a vizinhança à esquerda,

vai ver que existem
valores maiores do que ele.

E quanto aos mínimos relativos?

Esse aqui é um mínimo relativo.

Esse aqui também e esse aqui também.
Entendido isso,

vamos fazer agora um exemplo em que
vamos lidar com extremos absolutos?

E para isso temos, o seguinte aqui:

marque o máximo absoluto
e o mínimo absoluto no gráfico abaixo.

E eu sugiro que você pause o vídeo
e tente responder isso sozinho.

Vamos lá então.
Nós temos o máximo absoluto

em, digamos, "x" igual a "c"

se e somente se f(C) é maior ou igual a f(x)

para todo "x" no domínio da função.

E você tem o mínimo absoluto
em "x" igual a "c"

se e somente se f(C)

é menor ou igual a f(x)
para todo "x" pertencente ao domínio.

Ou melhor dizendo,
o máximo absoluto é o ponto

mais alto do gráfico dentro do domínio.
E olhando o nosso gráfico,

o ponto mais alto dele é esse aqui.
E o mínimo absoluto

é o ponto mais baixo
que nesse caso é esse aqui,

mesmo sendo um ponto
extremo do gráfico.

Então esse é o máximo absoluto

e esse aqui, um mínimo absoluto.
E, de novo,

Existem alguns casos que você não vê

com tanta frequência,
mas podem acontecer, por exemplo,

se essa função continuasse subindo,

e depois ficasse constante aqui no 9,

quais seriam os extremos absolutos?

Esse aqui não seria mais
o máximo absoluto, correto?

Ou seja, todos os pontos
que estivessem nessa parte constante

seriam máximos absolutos
porque seriam maiores

do que qualquer outro ponto do gráfico
no intervalo da função.

Mas como não estamos lidando
com esse tipo de gráfico,

esse aqui é o máximo absoluto
Mas é algo fácil

de se identificar,
o ponto mais alto do gráfico

vai ser o máximo absoluto
e o ponto mais baixo, o mínimo absoluto.

Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado.
E até a próxima, pessoal!