Angles Formed by Parallel Lines and Transversals

Vegyük ezt a két egyenest!

Ez legyen az AB egyenes.

Mind az A mind a B pont
ezen az egyenesen van.

Itt van egy másik egyenes,

hívjuk ezt CD egyenesnek!

Az egyenes keresztülhalad
a C és D pontokon

és folytatódik a végtelenbe.

Legyen mindkét egyenes
ugyanazon a síkon.

Ebben az esetben ez a sík
a képernyő síkja,

vagy ennek a papírlapnak a síkja,

amit most nézünk.

A két egyenes sehol nem metszi egymást.

Tehát ugyanazon síkon helyezkednek el,

és sehol se metszik egymást.

Ha ez a két feltétel teljesül,
és két különböző egyenesről van szó,

és nincs közös pontjuk sehol,

és ugyanazon a síkon vannak,

az ilyen egyeneseket
párhuzamosaknak hívjuk.

Ugyanabban

az irányban haladnak.

Ha az algebra szemszögéből
vizsgáljuk,

azt mondjuk,
hogy a meredekségük megegyezik,

de más az y tengely metszéspontja.

Más pontokon halad keresztül.

Ha iderajzolnánk
a koordinátarendszert,

másutt metszenék
a tengelyeket,

de a meredekségük megegyezik.

Most arról szeretnék
elgondolkodni,

hogy milyen kapcsolat áll fenn a
párhuzamos egyenesek és a szögek között.

Tehát itt ez a két párhuzamos egyenes.

Az AB egyenes
párhuzamos a CD egyenessel.

Néha így jelölik

a geometriai ábrákon.

Ide teszik ezt a kis nyilat

a párhuzamosság jelölésére.

És ha az egyszeres nyilat
már használtad,

akkor ide tehetsz kétszeres nyilat
annak jelölésére,

hogy ez az egyenes párhuzamos azzal..

Most, hogy mindezt tisztáztuk,

rajzolok ide egy egyenest,
ami mindkét egyenesünket metszi.

Itt egy egyes, ami
mindkettőt metszi.

Ennél azért rendesebben

is rajzolhatom.

Tudod mit?
rajzolok pontokat is.

Ezt az egyenest
egyszerűen l-lel jelölöm.

Ez az az egyenes,
ami mindkét párhuzamos egyenest metszi.

Ez egy metsző egyenes.

Metsző egyenes.

Mindkét párhuzamost átszeli.

Ez egy metsző egyenes.

Most az így keletkezett szögekre
szeretnék fókuszálni,

arra, hogy hogyan viszonyulnak
egymáshoz.

Azok a szögek, amik a metsző egyenes

és a párhuzamos egyenesek
találkozásánál keletkeznek.

Kezdjük mindjárt

ezzel a szöggel!

Hívjuk ezt a szöget,

ha megjelöljük,

ez lesz a D pont,
ez meg valami más.

De inkább magukat a szögeket
jelölöm meg.

Tudjuk, hogy a szög
megegyezik a hozzá tartozó csúcsszöggel.

Ez ennek a szögnek a csúcsszöge.

Tehát megegyezik
ezzel a szöggel.

Azt is tudjuk,
hogy ez a szög itt

egyenlő lesz a csúcsszögével,

a metszéspontnál vele szembe fekvő
szöggel.

Megegyezik ezzel.

Néha ezt
így jelölik,

dupla körívvel.

Néha meg így jelölik,

hogy ez a két szög egyenlő,

és ez a két szög is egyenlő.

Azt is tudjuk,

hogy ugyanez igaz
itt fent is,

hogy ez a két szög
egyenlő nagyságú,

és ez a két szög is
egyenlő nagyságú.

Mind csúcsszögek.

Itt az lesz az érdekes,
amikor azt vizsgáljuk,

milyen kapcsolatban van
ez a szög itt,

és ez a szög.

Ránézésre nyilvánvaló,

mi az összefüggés:

a két szög mérete
pontosan megegyezik egymással,

ha idetennél egy szögmérőt,
és megmérnéd,

itt fent is ugyanazt
az eredményt kapnád.

Ha rajzolnék két párhuzamost,

ami balról jobbra halad,

akkor ez még
nyilvánvalóbban látszik.

Ha felteszem,
hogy ez a két egyenes párhuzamos,

és itt egy ezeket metsző egyenes,

akkor ez a szög

pont ugyanakkora,
mint ez a szög.

ennek illusztrálására
képzeld el, hogy megdöntjük az egyenest.

Ahogy veszed az eltérő...

ebben az esetben ilyen.

Ha veszed ezt az egyenest,
és megnézed,

látszik, hogy ez
megegyezik ezzel.

Erre nincs bizonyítás.

Ez egy olyan dolog,
amire a matematikusok

azt mondják, ez látszik,
hogy igaz,

ha megnézed,
ahogy változik

az egyenes dőlése,
a szögek egyformák.

Ha ideteszel egy szögmérőt,

hogy megmérd ezeket a szögeket,

ha ideteszed a szögmérőt,

a szög egyik szára a 0 foknál,

a másik szára ide mutatna.

Ha pedig oda teszed a szögmérőt,

ugyanez történne.

Az egyik szár ide esne
erre a párhuzamosra,

a másik szár pedig ugyanoda
mutatna.

Mindezek után
tudjuk, nemcsak

az igaz, hogy ez a szög
megegyezik ezzel a szöggel,

de ezzel a szöggel is
azonos.

Ebből következik,

hogy ezzel a szöggel is
megegyezik a mérete.

Az összes zölddel jelölt szög
megegyezik.

Ugyanezen érvelés mentén

ez a szög megegyezik ezzel,

és ugyanakkora, mint ez,

mert csúcsszögek.

Fontos, hogy leszögezzük

amit itt levezettünk.

A csúcsszögek egyformák,
és az egyállású szögek is egyenlőek

a metszésvonal mentén.

Itt most egy új kifejezést

fogok bevezetni.

Ez a szög és ez a szög egyállású

Ezen az ábrán a metszépontnál

a jobb felső sarokban vannak.

Ezen a rajzon a metszésponthoz képest

a jobb felső sarokban vannak.

Ez pedig a bal felső sarok.

Az egyállású szögek
nagysága mindig megegyezik.

Jobb szó híján
megint csak azt mondom,

ez nyilvánvaló.

Ezen felül

még más kifejezések is vannak.

Mi nemcsak azt mutattuk meg,

hogy ez a szög és ez a szög
megegyeznek,

de azt is, hogy ezzel is megegyezik.

És ez a két szög,
megjelölöm őket,

hogy könnyebben folytathassuk.

Kisbetűket használok

a szögek megnevezéséhez.

Legyen ez kis a, kis b, kis c.

Kis c ehhez a szöghöz,
kis d,

ezek meg legyenek
e, f, g, h.

Tudjuk, hogy a b és c
csúcsszögek egyenlőek.

De azt is tudjuk, hogy b = f,

mert ezek egyállású szögek.

Valamint f = g.

Tehát a csúcsszögek egyenlőek,

az egyállású szögek is egyenlőek

és azt is tudjuk, hogy természetesen
b = g.

Ezt úgy mondjuk,
hogy a váltószögek is megegyeznek.

Változik a szögek

iránya.

A két egyenes közé esnek,

de a metsző egyenes
ellentétes oldalára.

Nem kell tudnod ezt
a kifejezést,

váltószög,

csak azt kell tudnod,
amiket itt levezettünk.

Tudd, hogy a csúcsszögek
mérete azonos,

és az azonos állású szögek is
egyenlőek.

És a többire is igaz lesz.

Tudjuk, hogy a = d,

valamint = h, ami = e.