Angles Formed by Parallel Lines and Transversals

Vegyük ezt a két egyenest!

Ez legyen az AB egyenes.

Mind az A, mind a B pont
ezen az egyenesen van.

Itt van egy másik egyenes,

hívjuk ezt CD egyenesnek.

Az egyenes keresztülhalad
a C és D pontokon,

és folytatódik a végtelenbe.

Legyen mindkét egyenes
ugyanazon a síkon.

Ebben az esetben ez a sík
a képernyő síkja,

vagy ennek a papírlapnak a síkja,

amit most nézünk.

A két egyenes sehol nem metszi egymást.

Tehát ugyanazon síkon helyezkednek el,

és sehol se metszik egymást.

Ha ez a két feltétel teljesül
– és két különböző egyenesről van szó –,

hogy nincs közös pontjuk sehol,

és ugyanazon a síkon vannak,

akkor az ilyen egyeneseket
párhuzamosoknak hívjuk.

Ugyanabba az irányba haladnak.

Ha az algebra szemszögéből
vizsgáljuk,

azt mondjuk,
hogy a meredekségük megegyezik,

de máshol metszik az y tengelyt.

Különböző pontokon
haladnak keresztül.

Ha iderajzolnánk
a koordináta-rendszert,

másutt metszenék
a tengelyeket,

de a meredekségük megegyezne.

Most arról gondolkodjunk el,

hogy milyen kapcsolat áll fenn

a párhuzamos egyenesek
és a szögek között.

Tehát itt ez a két párhuzamos egyenes.

Az AB egyenes
párhuzamos a CD egyenessel.

Rajzolok ide egy egyenest,
ami mindkét egyenesünket metszi.

Itt egy egyenes, ami
mindkettőt metszi.

Ennél azért rendesebben
is rajzolhatom.

Ezt az egyenest
egyszerűen l-lel jelölöm.

Ez az egyenes
mindkét párhuzamos egyenest metszi.

Mindkét párhuzamost metszi.

Most az így keletkezett szögekre
szeretnék fókuszálni,

arra, hogy hogyan viszonyulnak
egymáshoz.

Azok a szögek, amik a metsző egyenes

és a párhuzamos egyenesek
találkozásánál keletkeznek.

Kezdjük mindjárt ezzel a szöggel!

Jelölhetnénk ezt a szöget

három betűvel,

ez a D pont,
ez meg valami más,

de inkább csak körívet rajzolok most.

Tudjuk, hogy a csúcsszögek egyenlők.

Ezek itt csúcsszögek,.

tehát ez a szög egyenlő
ezzel a szöggel.

Azt is tudjuk,
hogy ez a szög itt

egyenlő lesz ezzel a szöggel,
mert szintén csúcsszögek.

Ez egyenlő ezzel.

Az egyenlő szögeket jelölhetjük

ugyanúgy, például dupla körívvel,

vagy jelölhetjük így is.

Az egyforma jelölések mutatják,
hogy ez a két szög egyenlő,

és ez a két szög is egyenlő.

Azt is tudjuk,

hogy ugyanez igaz
itt fent is,

hogy ez a két szög
egyenlő nagyságú,

és ez a két szög is
egyenlő nagyságú,

mert csúcsszögek.

Itt az lesz az érdekes,
amikor azt vizsgáljuk,

milyen kapcsolatban van
ez a szög itt,

és ez a szög.

Ránézésre nyilvánvaló,

mi az összefüggés:

a két szög mérete
pontosan megegyezik egymással.

Ha idetennél egy szögmérőt,
és megmérnéd,

itt fent is ugyanazt
az eredményt kapnád.

Ha rajzolok két párhuzamost

– mondjuk vízszintesen,

mert akkor még
nyilvánvalóbban látszik –,

tehát ha felteszem,
hogy ez a két egyenes párhuzamos,

és itt egy ezeket metsző egyenes,

akkor ez a szög pont ugyanakkora,
mint ez a szög.

Ezeket egyállású szögeknek nevezzük.

A száraik párhuzamosak
és ugyanolyan irányúak.

Képzeld el, hogy
megváltoztatjuk a metsző egyenes irányát.

Ha veszel egy eltérő,

ebben az esetben ilyen egyenest,

ha veszed ezt az egyenest,
és megnézed,

látszik, hogy ez a szög most is
megegyezik ezzel a szöggel.

Erre nincs bizonyítás.

Ez egy olyan dolog,
amire a matematikusok

azt mondják, hogy nyilvánvalóan igaz.

Az ilyet a matematikában
axiómának hívják.

Ahogy változik az egyenes iránya,
ez a két szög mindig egyenlő lesz.

Ha ideteszel egy szögmérőt,

hogy megmérd ezeket a szögeket,

ha ideteszed a szögmérőt,

a szög egyik szára a 0 foknál lenne,

a másik szára pedig ide mutatna.

Ha pedig ideteszed a szögmérőt,

ugyanez történne.

Az egyik szár ide esne,
erre a párhuzamosra,

a másik szár pedig ugyanoda
mutatna.

Ezek alapján tehát nemcsak

az igaz, hogy ez a szög
megegyezik ezzel a szöggel,

hanem az is, hogy ez a szög
ezzel a szöggel is egyenlő.

És azt is látjuk,
hogy ez a szög is ugyanakkora.

Az összes zölddel jelölt szög
megegyezik.

Csúcsszögek és egyállású szögek.

Ugyanezen érvelés mentén

ez a szög megegyezik ezzel,
mert egyállású szögek

és ez ugyanakkora, mint ez,

mert csúcsszögek.

Fontos, hogy áttekintsük

amit itt kaptunk.

A csúcsszögek egyenlők,
és az egyállású szögek is egyenlők.

Bevezettük ezt az új fogalmat.

Ez a szög és ez a szög egyállásúak.

Az egyállású szögek szárai
párhuzamosak

és páronként megegyező irányúak.

Ezen a rajzon például
ezek a szögek egyállásúak,

vagy ezek is egyállásúak.

Az egyállású szögek
nagysága mindig megegyezik.

Jobb szó híján
megint csak azt mondom,

ez nyilvánvaló.

Ezen felül

még más kifejezések is vannak.

Nemcsak azt mutattuk meg,

hogy ez a szög és ez a szög
megegyezik,

de azt is, hogy ezzel is megegyeznek.

Elnevezem a szögeket,

hogy egyszerűbb legyen.

Görög betűket használok

a szögek megnevezéséhez.

Legyen ez alfa, béta, gamma, delta,

ezek meg legyenek
epszilon, fí, mű, nű.

Tudjuk, hogy béta és gamma egyenlőek,
mert csúcsszögek.

De azt is tudjuk, hogy béta = fí,

mert ezek egyállású szögek.

Valamint fí = mű.

Tehát a csúcsszögek egyenlőek,

az egyállású szögek is egyenlőek.

Azt is látjuk, hogy béta = mű.

Az ilyen szögeket
váltószögeknek nevezzük..

A száraik párhuzamosak

és páronként ellentétes irányúak.

Ez ellentétes irányú ezzel,

ez pedig ellentétes irányú ezzel.

Váltószögek.

Tehát most már tudod,
hogy a váltószögek egyenlők,

a csúcsszögek is egyenlők,

és az egyállású szögek is
egyenlők.

Ugyanígy felírhatjuk az egyenlőséget
a többi szögre is.

Tudjuk, hogy alfa = delta,

és ez egyenlő nű, ami egyenlő epszilon.