Volume: how to measure it | Measurement | Pre-Algebra | Khan Academy

Menschen wussten schon immer,

dass manche Dinge länger sind als andere.

Zum Beispiel sieht diese Linie

länger aus als diese Linie.

Wir sind aber nicht so zufrieden,
wenn wir nur vergleichen.

Du willst das messen können.

Du willst quantifizieren können,
um wie viel

die zweite Linie
länger ist als die erste.

Und wie stellen wir das an?

Nun, wir definieren eine Einheitslänge.

Wenn wir das zu unserer
Einheitslänge machen,

Wir sagen, das ist eine Einheit,
dann können wir sagen: "Wie viele dieser

Einheitslängen ist jede Linie lang?"

Die erste Linie sieht aus
als wäre sie--

es passt eine solche Einheit hinein,
und noch eine,

es sieht also aus,
als wären das zwei Einheiten.

Wogegen dieses dritte aussieht,
als könnten wir-- lass sehen,

das sind 1, 2, 3 der Einheitslänge.

Das sind also drei Einheiten.

Hier sage ich nur: Einheiten.

Manchmal haben wir
einen Zentimeter definiert,

diese Einheit könnte
ungefähr so aussehen,

und es wird verschieden aussehen,
je nach deinem Bildschirm.

Oder wir könnten ein Zoll haben [ca.2,5 cm],
das sieht etwa so aus.

Oder wir haben ein Fuss [ca. 30 cm],
das wird nicht

auf diesen Bildschirm passen,
je nachdem wie gross ich eben

das Zoll gezeichnet habe,
oder einen Meter.

Es gibt also verschiedene Einheiten,

in denen du das messen könntest.

Jetzt lass uns aber über
mehr Dimensionen nachdenken.

Das hier ist ein
ein-dimensionales Beispiel.

Das ist 1-D.

Warum ist das eine Dimension?

Nun, ich kann nur
die Länge messen.

Jetzt gehen wir zu
einem 2-D Beispiel.

Gehen wir zu 2 Dimensionen,
wo Objekte

eine Länge und eine Breite haben könnten,
oder eine Breite und eine Höhe.

Stellen wir uns zwei Figuren vor,
die so aussehen.

Sagen wir,
das ist eine davon.

Das ist eine davon.

Schau, sie hat eine
Breite und eine Höhe.

oder du könntest sagen,
eine Breite und eine Länge,

wie immer du das
betrachten möchtest.

Sagen wir also,
das ist die eine Figur.

Und sagen wir,
das ist die andere.

Das also
ist die andere.

Ich versuche, die
halbwegs gut zu zeichnen.

Jetzt, noch einmal,
jetzt sind wir in zwei Dimensionen.

Und wir wollen fragen, gut,
wie viel Platz in zwei Dimensionen

braucht das?

Oder, wie viel Fläche
hat jede der beiden?

Noch einmal, wir könnten
einfach nur vergleichen.

Das zweite hier, wenn das
Teppiche wären oder Rechtecke,

das zweite Rechteck braucht
mehr Platz auf meinem Bildschirm

als dieses erste, aber ich
will das auch messen können.

Wie würden wir das also messen?

Na gut, noch einmal: wir würden
ein Einheits-Quadrat festlegen.

Statt einer Einheits-Länge,
jetzt haben wir zwei Dimensionen,

müssen wir ein Einheits-
Quadrat definieren.

Unser Einheitsquadrat
könnten wir so machen.

Und das Einheitsquadrat
definieren wir als das Quadrat,

dessen Breite und Höhe

jeweils eine Einheitslänge lang sind.

Das ist also die Breite, eine Einheit,
und die Höhe ist eine Einheit.

Wir werden das oft
ein Einheitsquadrat nennen.

Oft sagst du,
das ist 1 Einheit

und gibst diese 2 oben hin,
das bedeutet "1 Einheit zum Quadrat".

Anstelle von "Einheit"
hätte das

ein "Zentimeter" sein können.

Das wäre dann 1 Quadratzentimeter.

Das können wir aber jetzt verwenden,
um diese Flächen zu messen.

Und genau wie wir vorher sagten:
"Wie viele dieser Einheitslängen

passen auf diese Linien?"

könnten wir sagen: "Wie viele dieser
Einheitsquadrate passen hier hinein?"

Hier würden wir eins unserer
Einheitsquadrate nehmen

und feststellen, OK,
das braucht so viel Platz.

Da brauchen wir mehr,
um alles auszufüllen.

Gut, dann geben wir noch ein
Einheitsquadrat hier hin,

wir geben noch ein
Einheitsquadrat dort hin,

wir geben noch ein
Einheitsquadrat dort hin.

Wow, 4 Einheitsquadrate
passen genau.

Daher würden wir sagen,
dass das eine Fläche

von 4 Quadrat-Einheiten hat,
oder 4 Einheiten zum Quadrat.

Jetzt, wie sieht das
mit dieser Figur dort aus?

Schauen wir mal, ich könnte eins,
zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht,

und neun hineingeben.

Hier passen also 9 Einheiten
hinein, 9 Einheiten zum Quadrat.

Machen wir weiter.

Wir leben in einer
drei-dimensionalen Welt.

Warum uns auf nur ein oder zwei
Dimensionen beschränken?

Gehen wir also zu einem 3-D Beispiel.

Und noch einmal,
wenn die Leute 3-D sagen,

sprechen sie von drei Dimensionen.

Sie sprechen über die
verschiedenen Richtungen,

in denen du Dinge messen kannst.

Hier ist das nur die Länge.

Hier sind es Länge und Breite,
oder Breite und Höhe.

Und hier gibt es Breite
und Höhe und Tiefe.

Also noch einmal, sagen wir,
du hättest einen Gegenstand,

und jetzt sind wir in drei Dimensionen,
wir befinden uns in der Welt, in der wir

leben, und der Gegenstand sieht so aus.

Dann hast du noch einen
Gegenstand, der sieht so aus.

und es scheint, als würde der zweite
Gegenstand mehr Platz einnehmen,

mehr Raum als
dieser erste Gegenstand.

Es sieht aus, als hätte
er ein grösseres Volumen.

Aber wie messen wir das?

Erinnere dich, Volumen bedeutet bloss,
wieviel Platz etwas braucht

in drei Dimensionen.

Fläche bedeutet, wieviel Platz
etwas braucht in zwei Dimensionen.

Länge bedeutet, wieviel Platz
etwas braucht

in einer Dimension.

Aber wenn wir über Raum nachdenken,

meinen wir normalerweise
drei Dimensionen.

Wie viel Raum würdest du
in der Welt brauchen,

in der wir leben?

Genau wie vorher können wir festlegen,

anstatt einer Einheitslänge
oder Einheitsfläche,

definieren wir ein Einheitsvolumen
oder Einheitswürfel.

Lass uns das tun.

Definieren wir also unseren
Einheitswürfel.

Hier ist das ein Würfel,
daher sind die Länge, Breite und Höhe

alle gleich lang.

Mein bester Versuch,
einen Würfel zu zeichnen.

Und alles ist eine Einheit lang.

Das wird eine Einheit hoch,
eine Einheit tief,

und eine Einheit breit.

Und um ein Volumen zu messen,
können wir fragen, gut,

"Wie viele dieser Einheitswürfel passen

in diese verschiedenen Formen?"

Also, dieser hier, und du

wirst nicht alle sehen können,

ich könnte das unterteilen

in-- lass mich sehen wie gut ich das machen kann

sodass wir alle zählen können.

Es ist etwas schwieriger,
alle zu sehen,

weil einige Würfel dahinter liegen.

Aber wenn du dir das als
zwei Schichten vorstellst,

dann würde eine Schicht so aussehen.

Eine Schicht sieht so aus.

Stell dir vor, zwei solche Dinge
aufeinander gestapelt.

Dieses hier hat 1, 2, 3, 4 Würfel.

Das hat zwei von diesen

übereinander gestapelt.

Also hast du hier 8 Einheitswürfel.

Oder du hast 8 Einheiten, hoch drei, Volumen.

Wie sieht das dort aus?

Wenn wir versuchen,
dass alles hineinpasst-- lass mich

sehen, wie gut ich das zeichnen kann.

sehen, wie gut ich das zeichnen kann.

Es wird ungefähr so aussehen.

Es wird ungefähr so aussehen.

Offensichtlich ist das eine
etwas grobe Zeichnung.

Wenn wir versuchen das auseinanderzunehmen,

hättest du drei solche Abschnitte, und

jeder davon sieht ungefähr so aus.

Mein bester Zeichenversuch.

Drei Scheiben, die ungefähr so aussehen

wie ich hier gerade zeichne.

Es würde also so aussehen.

Wenn Du von denen
drei nehmen würdest,

und sie aufeinander stapeln würdest,
würdest du das da oben bekommen.

Und jede von den Abschnitten hat
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Würfel drin.

9 mal 3, du bekommst 27
Kubik-Einheiten in dem

hier.

So, hoffentlich hilft uns
das beim Überlegen,

wie wir Dinge messen können, besonders

wie wir Dinge in verschieden
vielen Dimensionen messen,

besonders in drei Dimensionen,
wo es Volumen heisst.