-
Điều ta sẽ thử làm trong video này là
-
tính phần tổng ở đây
-
tính xem chuỗi này sẽ là gì, âm 2,
-
phần n cộng 1 nhân n cộng 2, bắt đầu tại n bằng 2
-
kéo dài đến vô cực.
-
Nếu ta muốn biết nó sẽ ra gì, và nó bắt đầu từ
-
n bằng 2.
-
Vậy, khi n bằng 2, phần này sẽ bằng âm 2 trên 2
-
cộng 1, bằng 3; nhân 2 cộng 2, bằng 4.
-
Rồi khi n bằng 3, phần này là âm 2 phần 3
-
cộng 1, bằng 4, nhân 3 cộng 2, bằng 5
-
Và nó sẽ tiếp tục như thế, âm 2
-
phần 5 nhân 6.
-
Và cứ tiếp tục mãi mãi.
-
Rõ ràng là các kết quả tiếp sau đó
-
sẽ càng ngày càng nhỏ.
-
Nó nhỏ dần nhanh 1 cách đáng kể.
-
Vậy cũng hợp lí để giả sử là dù bạn có
-
vô số số hạng, nhưng kết quả
-
là 1 giá trị xác định.
-
Nhưng nó không quá rõ ràng, ít nhất
-
là ngay lúc này,
-
là tổng này sẽ có kết quả là gì,
-
hoặc làm sao để tìm được kết quả đó.
-
Điều mình muốn bạn làm là dừng video này lại.
-
Và mình sẽ cho bạn 1 gợi ý để suy nghĩ về bài này.
-
Hãy thử nhớ lại về phép khai triển phân thức đơn giản,
-
hoặc phép phân tích phân thức đơn giản,
-
để biến đổi biểu thức này thành tổng của 2 phân số.
-
Và phần tổng ở đây sẽ phần nào dễ hiểu hơn.
-
Mình sẽ cho là bạn đã thử rồi nhé,
-
Hãy thử biến đổi nó nào.
-
Và xem thử liệu có thể viết thành tổng của 2 phân số không.
-
Vậy đây là âm 2... và mình sẽ
-
dùng 2 màu khác nhé... n cộng 1
-
nhân n cộng 2.
-
Và nhớ lại trong phép khai triển phân thức đơn giản,
-
ta có thể viết phần này thành tổng của 2 phân số
-
dưới dạng A phần n cộng 1, cộng B phần n cộng 2.
-
Và tại sao điều này hợp lý?
-
Vì nếu bạn cộng 2 phân số,
-
bạn phải tìm dược mẫu số chung, chính là
-
tích của 2 mẫu số.
-
Đây rõ ràng là tích của 2 mẫu số ở đây.
-
Và ta đã học được ở phép khai triển phân thức đơn giản
-
là dù trên này là gì, đặc biệt là khi bậc
-
ở đây thấp hơn bậc dưới đây,... dù trên này là gì
-
cũng sẽ thấp hơn 1 bậc so với ở đây.
-
Vậy đây sẽ là bậc 1 đối với n,
-
và trên đây sẽ là những hằng số.
-
Cùng tìm A và B là gì nhé.
-
Nếu ta làm phép cộng...
-
à trước tiên hãy viết lại 2 phần này
-
với mẫu số chung nhé.
-
Mình viết lại A phần n cộng 1,
-
và nhân cả tử số và mẫu số cho n cộng 2.
-
Vậy ta nhân tử số cho n cộng 2 và mẫu số
-
cho n cộng 2.
-
Mình vẫn chưa thay đổi gì ở phân số đầu tiên.
-
Làm điều tương tự với B phần n cộng 2
-
Nhân cả tử số và mẫu số cho n cộng 1,
-
n cộng 1... và n cộng 1
-
Ở đây mình cũng không thay đổi giá trị của phân số.
-
Nhưng với cách này, mình đã có được mẫu số chung
-
và mình có thể cộng rồi.
-
Vậy n cộng 1 nhân n cộng 2
-
sẽ là mẫu số của ta.
-
Và tử số thì... để mình nhân phân phối nhé
-
Nếu mình nhân phân phối A thì
-
đây sẽ là An cộng 2A.
-
Mình sẽ viết ra, An cộng 2A.
-
Và nhân phân phối B, ra được Bn cộng B.
-
Điều mình muốn làm tiếp theo là viết lại
-
để n là nhân tử chung.
-
Với An cộng Bn thì mình có thể rút nhân tử chung n ra
-
Mình sẽ viết lại ở đây là A cộng B nhân n,
-
2 vế ở đây đây.
-
Và còn 2A cộng B,
-
mình sẽ viết thành cộng 2A, cộng B.
-
Và tất cả những cái đó sẽ đều chia cho n cộng 1 nhân n cộng 2.
-
Vậy làm sao để giải A và B?
-
Điều rõ ràng ở đây là phần này
-
phải bằng với âm 2.
-
2 phần này phải bằng với nhau.
-
Hãy nhớ là mình đang lập luận rằng
-
2 phần này là như nhau, và bằng nhau.
-
Đó là lí do tại sao ta đang làm thế này.
-
Vậy ta đang lập luận rằng
-
2 phần này là như nhau.
-
...
-
Vậy cả tử số sẽ bằng với âm 2.
-
Vậy giải thế nào đây?
-
Có vẻ như ta có 2 ẩn ở đây.
-
Để tìm được 2 ẩn, thông thường ta cần 2 phương trình.
-
Có thể thấy được ở đây
-
ta có vế chứa n ở bên trái.
-
Còn bên này thì không.
-
Vậy thay vì chỉ xem nó tường minh là
-
âm 2, bạn có thể xem nó
-
như là âm 2 cộng 0n.
-
0n chứ không phải từ "on" nha.
-
Mình sẽ viết lại... 0n...
-
Vậy khi bạn nhìn vào đây,
-
có thể thấy A cộng B là tỉ số của n.
-
Và nó sẽ bằng 0.
-
A cộng B phải bằng 0.
-
Đây là 1 dạng khai triển phân thức đơn giản
-
quan trọng đó.
-
Chúng mình có những video khác về đề tài này để bạn tham khảo.
-
Và phần hằng số, 2A cộng B, bằng âm 2.
-
Chúng ta đã có được 2 phương trình cho 2 ẩn.
-
Và có rất nhiều cách ta có thể dùng để giải.
-
Nhưng 1 cách thú vị là nhân cho phương trình trên
-
cho âm 1.
-
Vậy phần này sẽ thành âm A trừ B bằng...
-
âm 1 nhân 0 thì vẫn là 0.
-
Và ta có thể cộng 2 phần này lại.
-
Ta sẽ còn lại 2A trừ A là A, cộng B trừ B thì
-
sẽ triệt tiêu cho nhau.
-
A sẽ bằng âm 2.
-
Và nếu A bằng âm 2, A cộng B bằng 0 thì
-
B phải bằng 2.
-
Vì âm 2 cộng 2 bằng 0.
-
Mình đã giải được A, và mình đã thế nó vào đây.
-
Bây giờ ta có thể viết lại phần này.
-
Mình có thể viết nó lại là...
-
để minh...
-
Để mình viết nó lại là tổng xác định thay vì
-
là tổng vô định.
-
Ta sẽ lấy giới hạn đi đến vô cực.
-
Mình sẽ viết nó như thế này.
-
Đây sẽ vẫn là tổng bắt đầu từ n bằng 2,
-
thay vì vô cực mình sẽ để N in hoa.
-
Sau đó ta có thể lấy giới hạn là N tiến đến vô cực.
-
Thay vì như trên, mình sẽ viết nó như phía dưới.
-
A bằng âm 2.
-
Vậy là âm 2, phần n cộng 1.
-
Và B bằng 2... cộng B phần n cộng 2.
-
Và mình đã biểu đạt nó là 1 tổng xác định.
-
Sau đó, ta có thể lấy giới hạn N lớn tiến đến
-
vô cực để xem phần này sẽ ra được gì.
-
À để mình xóa chữ B nha.
-
B tìm được bằng 2, vậy ở đây là 2 phần n cộng 2.
-
Vậy điều này thì có ích gì?
-
Làm điều tương tự như ở trên đây nhé.
-
Để mình viết ra phần này sẽ bằng gì nhé.
-
Khi n bằng 2, phần này sẽ là
-
âm 2 phần 3... âm 2 phần 3 cộng 2 phần 4.
-
Vậy n bằng... à để mình viết ở dưới nhé
-
vì mình sắp hết chỗ rồi :D
-
Đây là trường hợp n bằng 2.
-
Vậy khi n bằng 3 thì sao?
-
Khi n bằng 3, phần này sẽ bằng âm 2 phần 4
-
cộng 2 phần 5.
-
Còn khi n bằng 4?
-
Mình nghĩ bạn bắt đầu nhận ra 1 dạng gì đó rồi.
-
Hãy làm thêm 1 cái nữa.
-
Khi n bằng 4, phần này
-
sẽ bằng âm 2 phần 5...
-
để mình viết bằng màu xanh... âm 2 phần 5 cộng 2 phần 6.
-
Và nó mình có thể tiếp tục.
-
Để mình kéo xuống tí...
-
mình có thể tiếp tục đến số hạng thứ N lớn.
-
Vậy cộng... chấm chấm chấm... cộng số hạng thứ N lớn.
-
sẽ là âm 2 phần N lớn cộng 1
-
cộng 2 phần N lớn cộng 2.
-
Mình nghĩ bạn đã thấy được dạng rồi.
-
Chú ý xem, từ đầu khi n bằng 2, ta được 2 phần 4.
-
Nhưng khi n bằng 3, ta lại được âm 2 phần 4.
-
Và 2 phần này triệt tiêu nhau.
-
Khi n bằng 3, bạn được 2 phần 5.
-
Nó sẽ bị triệt tiêu khi với n bằng 4, ta được âm 2 phần 5.
-
Vậy là số hạng thứ 2, hoặc phần thứ 2
-
tính từ n bất kỳ,
-
sẽ triệt tiêu cho số hạng trước đó.
-
Và điều này sẽ xảy ra
-
cho đến khi n nhỏ bằng N lớn.
-
Và phần này sẽ triệt tiêu với phần trước đó
-
1 số hạng.
-
Và mình sẽ còn lại
-
phần nầy... và phần này.
-
Để mình viết lại nhé.
-
Để mình thêm chỗ...
-
Phần này có thể được viết lại là tổng từ n nhỏ
-
bằng 2 đến N lớn của: âm 2
-
phần n cộng 1, cộng 2 phần n cộng 2
-
vì những phần giữa đã triệt tiêu
-
lẫn nhau.
-
Ta sẽ còn lại âm 2 phần 3
-
cộng 2 phần N lớn cộng 2.
-
Ta đã rút gọn được khá nhiều rồi nhỉ.
-
Và tổng ban đầu mà ta muốn tính
-
sẽ có giới hạn là N lớn tiến đến vô cực.
-
Vậy hãy lấy giới hạn N lớn tiến đến vô cực.
-
Để mình viết như thế này.
-
... như thế này nhé...
-
Giới hạn...
-
Giới hạn của N lớn tiến đến
-
vô cực sẽ bằng giới hạn của N lớn
-
tiến đến vô cực của...
-
ta đã biết phần này là
-
âm 2 phần 3 cộng 2 phần N lớn cộng 2.
-
Khi N lớn tiến đến vô cực, âm 2 phần 3
-
sẽ không bị ảnh hưởng.
-
Phần ở đây, 2 phần 1 số rất lớn..
-
phần 1 số rất lớn...
-
sẽ bằng với 0.
-
Và ta sẽ còn lại âm 2 phần 3.
-
Và ta đã hoàn thành.
-
Ta đã tìm được tổng của 1 chuỗi vô định.
-
Vậy phần này sẽ bằng âm 2 phần 3.
-
Dạng chuỗi thế này được gọi là chuỗi có dạng triệt tiêu...
-
triệt tiêu.
-
Đây là 1 chuỗi có dạng triệt tiêu.
-
Và 1 chuỗi có dạng triệt tiêu là 1 cụm từ tổng quát.
-
Nếu bạn muốn lấy tổng 1 phần,
-
nó sẽ có dạng thế này: mỗi số hạng
-
sẽ triệt tiêu lẫn nhau.
-
Vậy kết quả cuối cùng là 1 số
-
ở số hạng đầu và cuối.
-
Nói sao đi nữa thì đây cũng là
-
1 bài toán hơi phức tạp nhưng lại đầy
-
thú vị.
Khan Academy
