< Return to Video

Phân tích phân thức đơn giản để tìm tổng của chuỗi có dạng triệt tiêu

  • 0:01 - 0:02
    Điều ta sẽ thử làm trong video này là
  • 0:02 - 0:06
    tính phần tổng ở đây
  • 0:06 - 0:08
    tính xem chuỗi này sẽ là gì, âm 2,
  • 0:08 - 0:12
    phần n cộng 1 nhân n cộng 2, bắt đầu tại n bằng 2
  • 0:12 - 0:14
    kéo dài đến vô cực.
  • 0:14 - 0:17
    Nếu ta muốn biết nó sẽ ra gì, và nó bắt đầu từ
  • 0:17 - 0:17
    n bằng 2.
  • 0:17 - 0:20
    Vậy, khi n bằng 2, phần này sẽ bằng âm 2 trên 2
  • 0:20 - 0:24
    cộng 1, bằng 3; nhân 2 cộng 2, bằng 4.
  • 0:24 - 0:29
    Rồi khi n bằng 3, phần này là âm 2 phần 3
  • 0:29 - 0:33
    cộng 1, bằng 4, nhân 3 cộng 2, bằng 5
  • 0:33 - 0:35
    Và nó sẽ tiếp tục như thế, âm 2
  • 0:35 - 0:38
    phần 5 nhân 6.
  • 0:38 - 0:41
    Và cứ tiếp tục mãi mãi.
  • 0:41 - 0:44
    Rõ ràng là các kết quả tiếp sau đó
  • 0:44 - 0:46
    sẽ càng ngày càng nhỏ.
  • 0:46 - 0:48
    Nó nhỏ dần nhanh 1 cách đáng kể.
  • 0:48 - 0:52
    Vậy cũng hợp lí để giả sử là dù bạn có
  • 0:52 - 0:53
    vô số số hạng, nhưng kết quả
  • 0:53 - 0:55
    là 1 giá trị xác định.
  • 0:55 - 0:57
    Nhưng nó không quá rõ ràng, ít nhất
  • 0:57 - 0:58
    là ngay lúc này,
  • 0:58 - 1:00
    là tổng này sẽ có kết quả là gì,
  • 1:00 - 1:02
    hoặc làm sao để tìm được kết quả đó.
  • 1:02 - 1:04
    Điều mình muốn bạn làm là dừng video này lại.
  • 1:04 - 1:08
    Và mình sẽ cho bạn 1 gợi ý để suy nghĩ về bài này.
  • 1:08 - 1:12
    Hãy thử nhớ lại về phép khai triển phân thức đơn giản,
  • 1:12 - 1:14
    hoặc phép phân tích phân thức đơn giản,
  • 1:14 - 1:18
    để biến đổi biểu thức này thành tổng của 2 phân số.
  • 1:18 - 1:22
    Và phần tổng ở đây sẽ phần nào dễ hiểu hơn.
  • 1:22 - 1:24
    Mình sẽ cho là bạn đã thử rồi nhé,
  • 1:24 - 1:26
    Hãy thử biến đổi nó nào.
  • 1:26 - 1:29
    Và xem thử liệu có thể viết thành tổng của 2 phân số không.
  • 1:29 - 1:33
    Vậy đây là âm 2... và mình sẽ
  • 1:33 - 1:36
    dùng 2 màu khác nhé... n cộng 1
  • 1:36 - 1:38
    nhân n cộng 2.
  • 1:40 - 1:43
    Và nhớ lại trong phép khai triển phân thức đơn giản,
  • 1:43 - 1:46
    ta có thể viết phần này thành tổng của 2 phân số
  • 1:46 - 1:55
    dưới dạng A phần n cộng 1, cộng B phần n cộng 2.
  • 1:55 - 1:56
    Và tại sao điều này hợp lý?
  • 1:56 - 1:57
    Vì nếu bạn cộng 2 phân số,
  • 1:57 - 1:59
    bạn phải tìm dược mẫu số chung, chính là
  • 1:59 - 2:01
    tích của 2 mẫu số.
  • 2:01 - 2:03
    Đây rõ ràng là tích của 2 mẫu số ở đây.
  • 2:03 - 2:06
    Và ta đã học được ở phép khai triển phân thức đơn giản
  • 2:06 - 2:09
    là dù trên này là gì, đặc biệt là khi bậc
  • 2:09 - 2:13
    ở đây thấp hơn bậc dưới đây,... dù trên này là gì
  • 2:13 - 2:16
    cũng sẽ thấp hơn 1 bậc so với ở đây.
  • 2:16 - 2:18
    Vậy đây sẽ là bậc 1 đối với n,
  • 2:18 - 2:21
    và trên đây sẽ là những hằng số.
  • 2:21 - 2:23
    Cùng tìm A và B là gì nhé.
  • 2:23 - 2:26
    Nếu ta làm phép cộng...
  • 2:26 - 2:28
    à trước tiên hãy viết lại 2 phần này
  • 2:28 - 2:29
    với mẫu số chung nhé.
  • 2:29 - 2:34
    Mình viết lại A phần n cộng 1,
  • 2:34 - 2:38
    và nhân cả tử số và mẫu số cho n cộng 2.
  • 2:38 - 2:42
    Vậy ta nhân tử số cho n cộng 2 và mẫu số
  • 2:42 - 2:42
    cho n cộng 2.
  • 2:42 - 2:44
    Mình vẫn chưa thay đổi gì ở phân số đầu tiên.
  • 2:44 - 2:51
    Làm điều tương tự với B phần n cộng 2
  • 2:51 - 2:54
    Nhân cả tử số và mẫu số cho n cộng 1,
  • 2:54 - 2:58
    n cộng 1... và n cộng 1
  • 2:58 - 3:01
    Ở đây mình cũng không thay đổi giá trị của phân số.
  • 3:01 - 3:03
    Nhưng với cách này, mình đã có được mẫu số chung
  • 3:03 - 3:05
    và mình có thể cộng rồi.
  • 3:05 - 3:13
    Vậy n cộng 1 nhân n cộng 2
  • 3:13 - 3:13
    sẽ là mẫu số của ta.
  • 3:16 - 3:20
    Và tử số thì... để mình nhân phân phối nhé
  • 3:20 - 3:22
    Nếu mình nhân phân phối A thì
  • 3:22 - 3:25
    đây sẽ là An cộng 2A.
  • 3:25 - 3:32
    Mình sẽ viết ra, An cộng 2A.
  • 3:32 - 3:41
    Và nhân phân phối B, ra được Bn cộng B.
  • 3:41 - 3:43
    Điều mình muốn làm tiếp theo là viết lại
  • 3:43 - 3:44
    để n là nhân tử chung.
  • 3:44 - 3:51
    Với An cộng Bn thì mình có thể rút nhân tử chung n ra
  • 3:51 - 3:59
    Mình sẽ viết lại ở đây là A cộng B nhân n,
  • 3:59 - 4:00
    2 vế ở đây đây.
  • 4:00 - 4:04
    Và còn 2A cộng B,
  • 4:04 - 4:09
    mình sẽ viết thành cộng 2A, cộng B.
  • 4:09 - 4:18
    Và tất cả những cái đó sẽ đều chia cho n cộng 1 nhân n cộng 2.
  • 4:21 - 4:24
    Vậy làm sao để giải A và B?
  • 4:24 - 4:27
    Điều rõ ràng ở đây là phần này
  • 4:27 - 4:29
    phải bằng với âm 2.
  • 4:29 - 4:32
    2 phần này phải bằng với nhau.
  • 4:32 - 4:34
    Hãy nhớ là mình đang lập luận rằng
  • 4:34 - 4:36
    2 phần này là như nhau, và bằng nhau.
  • 4:36 - 4:39
    Đó là lí do tại sao ta đang làm thế này.
  • 4:39 - 4:40
    Vậy ta đang lập luận rằng
  • 4:40 - 4:43
    2 phần này là như nhau.
  • 4:43 - 4:44
    ...
  • 4:44 - 4:48
    Vậy cả tử số sẽ bằng với âm 2.
  • 4:48 - 4:49
    Vậy giải thế nào đây?
  • 4:49 - 4:52
    Có vẻ như ta có 2 ẩn ở đây.
  • 4:52 - 4:55
    Để tìm được 2 ẩn, thông thường ta cần 2 phương trình.
  • 4:55 - 4:57
    Có thể thấy được ở đây
  • 4:57 - 5:00
    ta có vế chứa n ở bên trái.
  • 5:00 - 5:02
    Còn bên này thì không.
  • 5:02 - 5:04
    Vậy thay vì chỉ xem nó tường minh là
  • 5:04 - 5:05
    âm 2, bạn có thể xem nó
  • 5:05 - 5:11
    như là âm 2 cộng 0n.
  • 5:11 - 5:12
    0n chứ không phải từ "on" nha.
  • 5:12 - 5:18
    Mình sẽ viết lại... 0n...
  • 5:18 - 5:19
    Vậy khi bạn nhìn vào đây,
  • 5:19 - 5:22
    có thể thấy A cộng B là tỉ số của n.
  • 5:22 - 5:25
    Và nó sẽ bằng 0.
  • 5:25 - 5:28
    A cộng B phải bằng 0.
  • 5:28 - 5:31
    Đây là 1 dạng khai triển phân thức đơn giản
  • 5:31 - 5:32
    quan trọng đó.
  • 5:32 - 5:35
    Chúng mình có những video khác về đề tài này để bạn tham khảo.
  • 5:35 - 5:43
    Và phần hằng số, 2A cộng B, bằng âm 2.
  • 5:46 - 5:51
    Chúng ta đã có được 2 phương trình cho 2 ẩn.
  • 5:51 - 5:53
    Và có rất nhiều cách ta có thể dùng để giải.
  • 5:53 - 5:55
    Nhưng 1 cách thú vị là nhân cho phương trình trên
  • 5:55 - 5:57
    cho âm 1.
  • 5:57 - 6:01
    Vậy phần này sẽ thành âm A trừ B bằng...
  • 6:01 - 6:03
    âm 1 nhân 0 thì vẫn là 0.
  • 6:03 - 6:06
    Và ta có thể cộng 2 phần này lại.
  • 6:06 - 6:11
    Ta sẽ còn lại 2A trừ A là A, cộng B trừ B thì
  • 6:11 - 6:14
    sẽ triệt tiêu cho nhau.
  • 6:14 - 6:16
    A sẽ bằng âm 2.
  • 6:16 - 6:20
    Và nếu A bằng âm 2, A cộng B bằng 0 thì
  • 6:20 - 6:22
    B phải bằng 2.
  • 6:24 - 6:28
    Vì âm 2 cộng 2 bằng 0.
  • 6:28 - 6:31
    Mình đã giải được A, và mình đã thế nó vào đây.
  • 6:31 - 6:35
    Bây giờ ta có thể viết lại phần này.
  • 6:35 - 6:38
    Mình có thể viết nó lại là...
  • 6:38 - 6:39
    để minh...
  • 6:39 - 6:43
    Để mình viết nó lại là tổng xác định thay vì
  • 6:43 - 6:44
    là tổng vô định.
  • 6:44 - 6:47
    Ta sẽ lấy giới hạn đi đến vô cực.
  • 6:47 - 6:49
    Mình sẽ viết nó như thế này.
  • 6:49 - 6:54
    Đây sẽ vẫn là tổng bắt đầu từ n bằng 2,
  • 6:54 - 6:57
    thay vì vô cực mình sẽ để N in hoa.
  • 6:57 - 7:01
    Sau đó ta có thể lấy giới hạn là N tiến đến vô cực.
  • 7:01 - 7:04
    Thay vì như trên, mình sẽ viết nó như phía dưới.
  • 7:04 - 7:06
    A bằng âm 2.
  • 7:06 - 7:11
    Vậy là âm 2, phần n cộng 1.
  • 7:11 - 7:18
    Và B bằng 2... cộng B phần n cộng 2.
  • 7:18 - 7:21
    Và mình đã biểu đạt nó là 1 tổng xác định.
  • 7:21 - 7:23
    Sau đó, ta có thể lấy giới hạn N lớn tiến đến
  • 7:23 - 7:25
    vô cực để xem phần này sẽ ra được gì.
  • 7:25 - 7:28
    À để mình xóa chữ B nha.
  • 7:28 - 7:33
    B tìm được bằng 2, vậy ở đây là 2 phần n cộng 2.
  • 7:33 - 7:38
    Vậy điều này thì có ích gì?
  • 7:38 - 7:39
    Làm điều tương tự như ở trên đây nhé.
  • 7:39 - 7:42
    Để mình viết ra phần này sẽ bằng gì nhé.
  • 7:42 - 7:47
    Khi n bằng 2, phần này sẽ là
  • 7:47 - 7:54
    âm 2 phần 3... âm 2 phần 3 cộng 2 phần 4.
  • 8:00 - 8:03
    Vậy n bằng... à để mình viết ở dưới nhé
  • 8:03 - 8:04
    vì mình sắp hết chỗ rồi :D
  • 8:04 - 8:07
    Đây là trường hợp n bằng 2.
  • 8:07 - 8:10
    Vậy khi n bằng 3 thì sao?
  • 8:10 - 8:22
    Khi n bằng 3, phần này sẽ bằng âm 2 phần 4
  • 8:22 - 8:23
    cộng 2 phần 5.
  • 8:29 - 8:31
    Còn khi n bằng 4?
  • 8:31 - 8:34
    Mình nghĩ bạn bắt đầu nhận ra 1 dạng gì đó rồi.
  • 8:34 - 8:35
    Hãy làm thêm 1 cái nữa.
  • 8:35 - 8:42
    Khi n bằng 4, phần này
  • 8:42 - 8:47
    sẽ bằng âm 2 phần 5...
  • 8:47 - 8:53
    để mình viết bằng màu xanh... âm 2 phần 5 cộng 2 phần 6.
  • 8:58 - 9:00
    Và nó mình có thể tiếp tục.
  • 9:00 - 9:03
    Để mình kéo xuống tí...
  • 9:03 - 9:05
    mình có thể tiếp tục đến số hạng thứ N lớn.
  • 9:09 - 9:14
    Vậy cộng... chấm chấm chấm... cộng số hạng thứ N lớn.
  • 9:14 - 9:24
    sẽ là âm 2 phần N lớn cộng 1
  • 9:24 - 9:28
    cộng 2 phần N lớn cộng 2.
  • 9:28 - 9:29
    Mình nghĩ bạn đã thấy được dạng rồi.
  • 9:29 - 9:33
    Chú ý xem, từ đầu khi n bằng 2, ta được 2 phần 4.
  • 9:33 - 9:36
    Nhưng khi n bằng 3, ta lại được âm 2 phần 4.
  • 9:36 - 9:37
    Và 2 phần này triệt tiêu nhau.
  • 9:37 - 9:39
    Khi n bằng 3, bạn được 2 phần 5.
  • 9:39 - 9:43
    Nó sẽ bị triệt tiêu khi với n bằng 4, ta được âm 2 phần 5.
  • 9:43 - 9:47
    Vậy là số hạng thứ 2, hoặc phần thứ 2
  • 9:47 - 9:50
    tính từ n bất kỳ,
  • 9:50 - 9:53
    sẽ triệt tiêu cho số hạng trước đó.
  • 9:53 - 9:55
    Và điều này sẽ xảy ra
  • 9:55 - 10:00
    cho đến khi n nhỏ bằng N lớn.
  • 10:00 - 10:02
    Và phần này sẽ triệt tiêu với phần trước đó
  • 10:02 - 10:03
    1 số hạng.
  • 10:03 - 10:07
    Và mình sẽ còn lại
  • 10:07 - 10:14
    phần nầy... và phần này.
  • 10:14 - 10:16
    Để mình viết lại nhé.
  • 10:16 - 10:19
    Để mình thêm chỗ...
  • 10:19 - 10:26
    Phần này có thể được viết lại là tổng từ n nhỏ
  • 10:26 - 10:31
    bằng 2 đến N lớn của: âm 2
  • 10:31 - 10:37
    phần n cộng 1, cộng 2 phần n cộng 2
  • 10:37 - 10:39
    vì những phần giữa đã triệt tiêu
  • 10:39 - 10:40
    lẫn nhau.
  • 10:40 - 10:44
    Ta sẽ còn lại âm 2 phần 3
  • 10:44 - 10:50
    cộng 2 phần N lớn cộng 2.
  • 10:50 - 10:53
    Ta đã rút gọn được khá nhiều rồi nhỉ.
  • 10:53 - 10:57
    Và tổng ban đầu mà ta muốn tính
  • 10:57 - 11:01
    sẽ có giới hạn là N lớn tiến đến vô cực.
  • 11:01 - 11:05
    Vậy hãy lấy giới hạn N lớn tiến đến vô cực.
  • 11:05 - 11:06
    Để mình viết như thế này.
  • 11:06 - 11:08
    ... như thế này nhé...
  • 11:08 - 11:11
    Giới hạn...
  • 11:11 - 11:15
    Giới hạn của N lớn tiến đến
  • 11:15 - 11:20
    vô cực sẽ bằng giới hạn của N lớn
  • 11:20 - 11:22
    tiến đến vô cực của...
  • 11:22 - 11:23
    ta đã biết phần này là
  • 11:23 - 11:33
    âm 2 phần 3 cộng 2 phần N lớn cộng 2.
  • 11:33 - 11:36
    Khi N lớn tiến đến vô cực, âm 2 phần 3
  • 11:36 - 11:38
    sẽ không bị ảnh hưởng.
  • 11:38 - 11:40
    Phần ở đây, 2 phần 1 số rất lớn..
  • 11:40 - 11:42
    phần 1 số rất lớn...
  • 11:42 - 11:44
    sẽ bằng với 0.
  • 11:44 - 11:48
    Và ta sẽ còn lại âm 2 phần 3.
  • 11:48 - 11:49
    Và ta đã hoàn thành.
  • 11:49 - 11:55
    Ta đã tìm được tổng của 1 chuỗi vô định.
  • 11:55 - 11:58
    Vậy phần này sẽ bằng âm 2 phần 3.
  • 11:58 - 12:01
    Dạng chuỗi thế này được gọi là chuỗi có dạng triệt tiêu...
  • 12:01 - 12:03
    triệt tiêu.
  • 12:03 - 12:04
    Đây là 1 chuỗi có dạng triệt tiêu.
  • 12:09 - 12:12
    Và 1 chuỗi có dạng triệt tiêu là 1 cụm từ tổng quát.
  • 12:12 - 12:14
    Nếu bạn muốn lấy tổng 1 phần,
  • 12:14 - 12:18
    nó sẽ có dạng thế này: mỗi số hạng
  • 12:18 - 12:20
    sẽ triệt tiêu lẫn nhau.
  • 12:20 - 12:23
    Vậy kết quả cuối cùng là 1 số
  • 12:23 - 12:26
    ở số hạng đầu và cuối.
  • 12:26 - 12:27
    Nói sao đi nữa thì đây cũng là
  • 12:27 - 12:29
    1 bài toán hơi phức tạp nhưng lại đầy
  • 12:29 - 12:31
    thú vị.
Title:
Phân tích phân thức đơn giản để tìm tổng của chuỗi có dạng triệt tiêu
Description:

Thêm các bài học miễn phí tại: http://www.khanacademy.org/video?v=qUNGPqCPzMg
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
12:31

Vietnamese subtitles

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.