Křivkový integrál a vektorové pole

Použití křivkových integrálů ke zjištění vykonané práce na částici, která se pohybuje ve vektorovém poli.

Jedním z nejdůležitějších pojmů
ve fyzice je pojem práce.

Když se poprvé učíte o práci, tak
si řeknete: „To je jen síla krát dráha.“.

Ale později,
když se naučíte něco o vektorech,

si uvědomíte, že síla
nebude vždy působit ve směru posunu.

Zjistíte, že práce je opravdu velikost…
Napíši to.

Je to velikost síly ve směru,
nebo složka síly ve směru, posunu.

Posun je jen vzdálenost s určitým směrem.

Ve směru posunu.

Krát velikost posunu
neboli krát vzdálenost.

Klasický příklad: máte kostku
ledu nebo nějaký blok.

Mám jen led,
proto tady není velké tření.

Možná stojí na větším jezeře nebo ledu.
A možná tu kostku táhnete pod úhlem.

Řekněme, že pod tímto úhlem.

Tohle je moje síla.

Řekněme, že moje síla se rovná…

To je můj vektor síly.

Řekněme, že jeho velikost je 10 newtonů.

A jeho směr je…
Každý vektor musí mít velikost a směr.

Řekněme, že směr má úhel 30°.
Řekněme, že má úhel 60° vodorovně.

V tomto směru tahám.
Řekněme, že ji posunu.

Tohle je snad jen opakování.

Posunujete ji silou 5 newtonů.

Tohle je vektor posunu,
a jeho velikost je 5 metrů.

Z definice práce víte,
že nemůžete říct:

„Táhnu to silou 10 newtonů
a posunu to o 5 metrů.“

Nemůžete jen vynásobit
10 newtonů krát 5 metrů.

Musíte zjistit velikost složky, která se
pohybuje stejným směrem jako posun.

V podstatě musím zjistit délku.

Délka tohoto vektoru je 10,
to je celková síla,

musíte ale ještě zjistit délku vektoru,

který se pohybuje
stejným směrem jako můj posun.

A trochu jednoduché trigonometrie,
je to 10 krát kosinus úhlu 60°,

kosinus 60° je 1/2,
takže se to rovná 5.

Takže v tomto případě je velikost síly ve
stejném směru jako posun 5 newtonů.

Pak můžete spočítat práci.
Práce se rovná 5 newtonů krát…

-- Budu psát tečku jako krát. --

5 newtonů krát 5 metrů,
což je 25 newton metrů,

nebo můžete říct,
že bylo vykonáno 25 joulů práce.

Tohle je opakování základní fyziky.

Zamyslete se ale nad tím,
co se tady stalo.

Když to napíšu abstraktně.

Práce se rovná 5 newtonů.
To je velikost vektoru síly,

takže je to velikost vektoru síly
krát kosinus tohoto úhlu.

Nazývejme ho théta.

Trochu to zobecněme.
Takže krát kosinus théta.

Toto je velikost síly ve směru posunu:
kosinus théta krát velikost dráhy.

Takže krát délka dráhy.

Nebo kdybych to chtěl přepsat,
tak bych to mohl napsat jako:

délka dráhy krát velikost síly
krát kosinus théta.

O tomhle jsem udělal několik videí v seznamu
videí o lineární algebře a fyzice,

kde mluvím o skalárním
a vektorovém součinu a podobně,

ale tohle je skalární součin
vektorů ‚d‘ a ‚f‘.

Obecně pokud chcete zjistit
práci pro rovnoběžnou dráhu

a máte konstantní sílu,

tak vezmete jen skalární součin
těchto dvou vektorů.

Jestli je pro vás
skalární součin cizí pojem,

tak byste si možná mohli pustit
videa o skalárním součinu,

kde najdete definici
a také intuitivní vysvětlení.

Ale abyste měli trochu tušení…

Skalární součin, kdy vezmu
f krát d nebo d krát f, mi dá číslo.

Mohl jsem rovnou přečíst tohle.

Myšlenkou skalárního součinu je vzít kolik z
tohoto vektoru je ve stejném směru jako tento.

V našem případě je to tolik.

A poté tyto dvě hodnoty vynásobíme.
Přesně to jsme udělali tady.

Práce tedy bude vektor síly,
část vektoru síly krát vektor posunu.

Tohle je skalární hodnota.

V budoucnu si ukážeme příklady,
na nichž uvidíte, že je to pravda.

Tohle všechno je opakování
základní fyziky.

Teď pojďme ke složitějšímu příkladu,
ale myšlenka je pořád stejná.

Pojďme si definovat vektorové pole.
Řekněme, že mám vektorové pole ‚f‘.

Za chvíli se zamyslíme nad tím,
co to znamená. Je to funkce ‚x‘ a ‚y‘,

a rovná se určité skalární funkci
‚x‘ a ‚y‘ krát i-jednotkový vektor,

nebo horizontální jednotkový vektor
plus nějaká další funkce,

skalární funkce ‚x‘ a ‚y‘ krát
vertikální jednotkový vektor.

Co by to mohlo být?
Tohle je vektorové pole.

Vektorové pole ve dvojrozměrném prostoru.

Jsme v rovině xy.
Je to vektorové pole v rovině xy.

Nebo můžete také říct v R2.

Nechci se moc
zamotat do matematiky.

Ale co to znamená?

Když nakreslím rovinu xy,
opět mám problém nakreslit rovnou čáru.

Tady to je.
Tohle je osa y a tohle osa x.

Kreslím jen první kvadrant,
ale můžete jít do minusu v obou směrech.

Co to dělá?

V podstatě to říká:

„Dej mi jakékoli ‚x‘ a ‚y‘ v rovině xy,
a tyto proměnné dostanou určitá čísla.“

Když dosadíte ‚x‘, ‚y‘ sem,
tak dostanete určitou hodnotu,

Budete mít určitou kombinaci
i a j-jednotkového vektoru.

Budete mít nějaký vektor.

Tohle definuje vektor, který je přiřazen
každému bodu v rovině xy.

Takže když vezmete
tento body v rovině xy,

a dosadíte ho sem, tak dostanete
něco krát ‚i‘ plus něco krát ‚j‘,

a kdy je sečtete,
tak dostanete třeba takový vektor.

Lze to udělat s libovolným bodem.
Toto jsou jen náhodné příklady.

Když půjdu třeba sem,
tak vektor bude vypadat takhle.

Pokud půjdu sem nahoru,
tak to bude tenhle vektor.

Když půjdu třeba sem,
tak vektor bude vypadat takhle.

Jen náhodně vybírám body.

Definuje to vektor na všech
souřadnicích ‚x‘ a ‚y‘,

kde jsou skalární funkce
správně definovány.

Proto to je vektorové pole.

Definuje, jaká by
mohla být možná síla,

nebo nějaký jiný typ síly
v jakémkoli bodě.

V jakémkoli bodě,
když tam náhodou nějaký je.

Možná o tom je ta funkce.

Mohl bych pokračovat do nekonečna,
zaplnit všechny mezery.

Ale myslím, že to chápete.

Přiřazuje vektor každému
bodu v rovině xy.

Tohle je vektorové pole,

takže zřejmě dává smysl, že se to dá
použít k popisu jakéhokoli pole.

Mohlo by to být gravitační pole,
elektrické pole, magnetické pole.

Tohle by vám mohlo v podstatě říct,
jaká síla by byla na částici v daném poli.

Přesně to popisuje.

Řekněme, že mám v tomto poli částici,
která se pohybuje v rovině xy.

Začíná tady a vlivem bláznivých
sil, které na ni působí,

a možná je na nějaké dráze,

a nebude se vždy pohybovat
přesně v tom směru,

ve kterém ji chce pohnout pole.

Řekněme, že se pohybuje
po takovéto trase.

Tahle trasa nebo také křivka,
je definovaná pozicí vektorové funkce.

Ta je daná polohovým vektorem ‚r(t)‘,
což je x(t) krát i plus y (t) krát j.

Tohle je náš polohový vektor.

Aby trasa mohla být konečná,

tak to platí, dokud ‚t‘ je větší
nebo rovno ‚a‘ a menší nebo rovno ‚b‘.

Po této trase se částice náhodou pohybuje,
díky všem těm bláznivým silám.

Takže když je částice přímo tady,

tak na ni možná působí vektorové pole,
možná na ni působí silou v tomto směru.

Ale protože částice má svoji dráhu,
tak se pohybuje tímto směrem.

A když je tady,
tak vektorové pole působí takto,

ale částice se pohybuje tímto
směrem, protože má svoji dráhu.

V tomto videu jsem udělal vše proto,
abych vyvolal zásadní otázku.

Jakou práci vykonalo pole na této částici?
Vykonaná práce na této částici.

Jakou práci vykonalo pole na této částici?

Abych na tu otázku odpověděl,
tak si to můžeme trošku přiblížit.

Přiblížím jen malý kousek naší trasy.

Pojďme zjistit, jaká práce byla
vykonaná na malém kousíčku trasy,

protože se neustále mění.

Pole mění směr.
Můj předmět mění směr.

Řekněme, že jsem tady,
a urazím kousek trasy.

Pohnu se,
tohle je nekonečně malé ‚dr‘.

Mám diferenciál,
je to diferenciální vektor,

nekonečně malý posun.

V průběhu toho vektorové pole
působí v této oblasti.

Vypadá nějak takhle.
Poskytuje sílu, která vypadá nějak takto.

Tohle je vektorové pole v této oblasti,

nebo také síla směřující na částici,
když je přesně v tomhle bodě.

Je to nepatrné množství času v prostoru.

Můžete říct: „Dobře, nad tímto
bodem máme konstantní sílu.

Jaká práce byla vykonána
za tuto krátkou dobu?“

Můžete se zeptat:
„Jaký je malý interval práce?“

Můžete říct: „d práce (dW)
nebo diferenciál práce.“

Analogicky jako to bylo
u jednoduchého příkladu,

to je velikost síly ve směru
posunu krát délka posunu.

A to známe z příkladu nahoře.
Je to skalární součin.

Skalární součin síly
a velmi malého posunu.

Rovná se skalárnímu součinu
síly a velmi malého posunu.

Jen tímto zjišťujeme práci
na opravdu malinkém ‚dr‘.

My je ale chceme všechny sečíst.
Chceme sečíst všechny ‚dr‘,

všechny f krát dr,
abychom zjistili celkovou práci.

A tady na řadu přichází integrál.
Uděláme křivkový integrál,

můžete o tom přemýšlet dvěma způsoby.

Můžete napsat jen dW,

ale můžeme udělat
i křivkový integrál dW podél křivky ‚c‘,

můžete jí říkat ‚c‘ nebo podél ‚r‘.

To nám dá celkovou práci.
Řekněme, že práce se rovná tomuto.

Nebo to můžeme napsat integrálem,

tou samou křivkou ‚f‘,
křivka f krát dr.

V tuhle chvíli se vám to může
zdát opravdu abstraktní.

Jak něco takového vlastně spočítáme?

Zvláště když máme vše
parametrizované vzhledem k ‚t‘.

Jak to spočítáme, pokud jde o ‚t‘?

Když se nad tím zamyslíte,
tak co je f krát r?

Nebo f krát dr?

Abychom to zodpověděli,
tak si připomeňme, jak vypadalo dr.

Pokud si pamatujete,
dr/dt se rovná x'(t)

krát i-jednotkový vektor plus y'(t)
krát j-jednotkový vektor.

Pokud chceme jen ‚dr‘,
tak můžeme vynásobit obě strany,

kdy trochu přimhouříme
oko nad diferenciály-

Dostaneme dr se rovná
x(t)dt krát jednotkový vektor i

plus y'(t)dt
krát jednotkový vektor j.

Tohle je ‚dr‘.
Přesně tohle je ‚dr‘.

Vzpomeňte si, co bylo vektorové pole.

Je to tady to nahoře.
Překopíruji to.

A uvidíme, že skalární součin
není vlastně tak šílený.

Kopírovat a vložit sem.
Vložím to sem dolů.

Jak bude vypadat tento integrál?

Tento integrál udává celkovou práci,

kterou vykonalo pole na částici,
jak se pohybuje po své trase.

Je to velmi důležité
pro pokročilejší fyziku,

kterou možná budete někdy dělat.

Bude to integrál, řekněme,
že od t se rovná a, k t se rovná b.

‚a‘ je začátek trasy, t se rovná a,
na konci se t rovná b.

Můžete si to představit jako načasované,
jak se částice pohybuje, čas se zvětšuje.

A co je tedy f krát dr?

Jestli si pamatujete,
co je skalární součin,

tak můžete v podstatě vzít součin odpovídajících
složek vašeho vektoru a sečíst je.

Tohle bude integrál od
‚a‘ do ‚b‘ funkce P(x(t), y(t)),

krát tahle část,
násobíme složky ‚i‘.

Takže krát x'(t)dt,
a potom plus,

to samé uděláme s funkcí ‚Q‘.

Tohle je plus ‚Q‘,
napíšu to na další řádek.

Mohl bych psát dál,
ale dochází mi místo.

Plus Q(x(t), y(t)) krát
složka y neboli složka j,

krát y'(t)dt.

A máme hotovo!

Možná se vám to pořád zdá abstraktní,
ale v dalším videu uvidíte,

že vše je nyní závislé na ‚t‘,
takže je to přímá integrace podle ‚dt‘.

Pokud chceme, tak
můžeme ‚dt‘ z rovnice vyjmout,

aby to pro vás vypadalo normálněji.

V podstatě je to ale vše,
co musíme udělat.

V dalím videu uvidíte konkrétní příklady
křivkového integrálu ve vektorovém poli,

nebo použití vektorových funkcí.