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線積分とベクトル場

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    すべての物理学の最も基本的なアイデアの 1 つ
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    すべての物理学の最も基本的なアイデアの 1 つ
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    「仕事」です。
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    さて、まず仕事について学ぶ時、あなたはこういうでしょう
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    「ああ、力と距離の掛け算ってやつでしょ」
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    しかし、後にベクトルについて少し学ぶと
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    あなたは気づくでしょう -
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    力が常に変位する距離が同じ方向にいるとは限らないと。
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    仕事というものが規模を表すものであるとわかりましたね
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    力の規模は、この方向に
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    または、この変位方向への力の分力。
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    または、この変位方向への力の分力。
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    変位は、ある方向にへの移動距離のことです。
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    変位は、ある方向にへの移動距離のことです。
  • 0:50 - 0:55
    変位の規模を掛ける、
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    または、変位した距離を掛けると言えます。
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    または、変位した距離を掛けると言えます。
  • 1:01 - 1:02
    古典的な例。
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    たぶん、あるアイス キューブ、またはブロックがあります。
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    多くの摩擦がないように、氷にしましょう。
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    それは大きい湖または氷に乗っているとします。
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    そして、アイス キューブ、斜めに引っ張っています。
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    たとえば、そのような角度でを引っ張っています。
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    それは私の力、ここです。
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    私の力は私の力ベクトルには、等しいとしましょうの
  • 1:24 - 1:25
    等しいとしましょう。
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    この力ベクトルのマグニチュードを
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    10 ニュートンとしましょう。
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    私の力のベクトルは、
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    ベクトルは、大きさと方向があります。
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    方向は、 水平から角度を60 度としましょう。
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    方向は、 水平から角度を60 度としましょう。
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    だから私は引っ張っての方向です。
  • 1:50 - 1:53
    私はそれを変位としましょう。
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    これは、既に習ったことの
    復習ですよ。
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    それを移動する場合は、
    5 m動かしたとします。
  • 1:59 - 2:03
    それでは、変位を言うは、変位ベクトルです。
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    それの大きさ 5 メートルに等しいです。
  • 2:10 - 2:13
    あなたの仕事の定義から学んだので、
  • 2:13 - 2:17
    ちょうど、10 のニュートンの力で引っ張って
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    5 メートル移動したから、
  • 2:18 - 2:23
    5 m掛ける10 ニュートンと掛け算することはできません。
  • 2:23 - 2:26
    変位と同じ方向の、力のコンポーネントの大きさを見つける必要があります。
  • 2:26 - 2:29
    変位と同じ方向の、力のコンポーネントの大きさを見つける必要があります。
  • 2:29 - 2:32
    これを見つける本質的な作業は、
  • 2:32 - 2:35
    このベクトルの長さを10と想像すると、
  • 2:35 - 2:38
    これは、合計力なので、
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    変位ベクトルと同じ行く力のコンポーネントを
  • 2:41 - 2:43
    見つけます。
  • 2:43 - 2:46
    単純な三角法を利用し、
  • 2:46 - 2:53
    これは 10掛ける 60 度のコサイン、
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    60 度のコサインは 1/2 で、それに10を掛けると
    5です。
  • 2:58 - 3:00
    これが、変位ベクトルの向きの力の大きさで
  • 3:00 - 3:02
    この場合、5 ニュートンです。
  • 3:02 - 3:05
    この場合、5 ニュートンです。
  • 3:05 - 3:08
    この場合、5 ニュートンです。
  • 3:08 - 3:10
    これで、仕事が得られるようになります。
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    つまり、仕事は 5 ニュートンに距離を掛ける
  • 3:20 - 3:21
    掛け算を点で示します。
  • 3:21 - 3:22
    掛け算を点で示します。
  • 3:22 - 3:27
    5 メートル掛ける5ニュートンは
    25 ニュートン メートル
  • 3:27 - 3:31
    25 のジュールの作業が行われていると言います。
  • 3:31 - 3:35
    これはやや基本的な物理学のすべての復習です。
  • 3:35 - 3:37
    もう一度、見直しましょう。
  • 3:37 - 3:37
    仕事とは何だったか。
  • 3:37 - 3:39
    要約をすると
  • 3:39 - 3:43
    仕事は 、力ベクターの5 ニュートンに
  • 3:43 - 3:47
    仕事は 、力ベクターの5 ニュートンに
  • 3:47 - 3:53
    つまり、この角度のコサインを
    私の力ベクトルの大きさに掛けたもの
  • 3:53 - 3:54
    この角度をシータと呼びましょう。
  • 3:54 - 3:55
    一般的に書きましょう。
  • 3:55 - 3:58
    それに、角度のコサインをかけたもの
  • 3:58 - 4:02
    これが、変位ベクトルの方向への力です。
  • 4:02 - 4:05
    その角度のコサインをかけたもの、
  • 4:05 - 4:07
    これに、変位ベクトルの量を掛けます。
  • 4:07 - 4:12
    これに、変位ベクトルの量を掛けます。
  • 4:12 - 4:16
    または書き換えると
  • 4:16 - 4:19
    変位ベクトルの量 x 力ベクトルの量 x cosθ
  • 4:19 - 4:23
    変位ベクトルの量 x 力ベクトルの量 x cosθ
  • 4:23 - 4:27
    これは、線形代数のビデオや、
  • 4:27 - 4:29
    ドット積、つまり点乗積を扱ったビデオで
    既に紹介しました。
  • 4:29 - 4:32
    ドット積、つまり点乗積を扱ったビデオで
    既に紹介しました。
  • 4:32 - 4:40
    これは、ベクトル d と f のドット積です。
  • 4:40 - 4:44
    一定の変位と一定の力での仕事を
    見つけるしようとしている場合
  • 4:44 - 4:47
    一般的に、これらのベクトルのドット積で
  • 4:47 - 4:49
    その仕事の量が得られます。
  • 4:49 - 4:51
    ドット積になじみのない人は
  • 4:51 - 4:54
    既に、4〜5個のビデオで、
  • 4:54 - 4:56
    ドット積について紹介したものがあるので、
  • 4:56 - 4:57
    それらを参考にしてください。
  • 4:57 - 4:59
    簡単に言うと
  • 4:59 - 5:04
    ドット積の  f . d または d . fは
  • 5:04 - 5:08
    その大きさの乗算です。
  • 5:08 - 5:10
    つまり
  • 5:10 - 5:14
    ドット積とは
  • 5:14 - 5:17
    このベクトルは、どの程度このベクトルと同じ方向に
    起こっている、
  • 5:17 - 5:18
    この例では、この程度です。
  • 5:18 - 5:21
    そして、この2 つの大きさを掛けます。
  • 5:21 - 5:22
    ここで行った作業です。
  • 5:22 - 5:26
    仕事は、力ベクトルと変位ベクトルとのドット部分で、
  • 5:26 - 5:29
    これは、スカラー値です。
  • 5:29 - 5:31
    これは、スカラー値です。
  • 5:31 - 5:33
    これが、確認できる例を
  • 5:33 - 5:34
    先でいくつか紹介します。
  • 5:34 - 5:39
    これはかなり初等物理学のすべての復習です。
  • 5:39 - 5:42
    今より複雑な例を見てみましょう。
  • 5:42 - 5:44
    基礎は同じです。
  • 5:44 - 5:46
    まず、ベクトル場を定義しましょう。
  • 5:46 - 5:49
    まず、ベクトル場を定義しましょう。
  • 5:49 - 5:51
    ベクトル 場 f があるとします。
  • 5:51 - 5:54
    これがどういう意味かは後で考えます。
  • 5:54 - 5:59
    X の関数は、y、これは、スカラー関数
  • 5:59 - 6:04
    関数の x と yに i-ユニットのベクトルをかけたもの
  • 6:04 - 6:09
    これは、水平方向の単位ベクトル、
    さらに他のスカラー関数
  • 6:09 - 6:14
    関数の x と y に 垂直方向の単位ベクトルjを掛けたもの。
  • 6:14 - 6:16
    これのどのようなものだろうか?
  • 6:16 - 6:17
    これはベクトル 場です。
  • 6:17 - 6:20
    これは、2 次元空間のベクトル 場です。
  • 6:20 - 6:21
    x と y 平面上のベクトル場です。
  • 6:21 - 6:31
    x と y 平面上のベクトル場です。
  • 6:31 - 6:36
    またはR2 と言うことができます。
  • 6:36 - 6:38
    いずれにせよ、あまりにも
  • 6:38 - 6:39
    数学の議論にこだわらないようにしましょう。
  • 6:39 - 6:41
    しかし、これは何ですか?
  • 6:41 - 6:47
    では、 x-y 平面を描きましょう。
  • 6:47 - 6:49
    直線を引きます。
  • 6:49 - 6:51
    いいですか?
  • 6:51 - 6:54
    これがy 軸。 これが x 軸。
  • 6:54 - 6:56
    第1象限だけ描きますが、
  • 6:56 - 6:59
    負のどちらの方向へも拡張できます。
  • 6:59 - 7:01
    これは何ですか?
  • 7:01 - 7:02
    これは、基本的には
  • 7:02 - 7:07
    x y 平面で任意の x、yを取ります。
  • 7:07 - 7:10
    すると、何らかの値が得られます。
  • 7:10 - 7:13
    x、y が、ここでは、なにかの値が得られ
  • 7:13 - 7:14
    x、y ここでは、なにかの値を得ます。
  • 7:14 - 7:17
    つまり、何かの組み合わせのiとjのベクトルが
  • 7:17 - 7:18
    得られます。
  • 7:18 - 7:20
    なにかのベクトルが得られます。
  • 7:20 - 7:23
    つまり、すべてのxy平面上の点にベクトルを定義します
  • 7:23 - 7:25
    ベクトルを定義します。
  • 7:25 - 7:29
    xy 平面上にこの点を取れば、
  • 7:29 - 7:32
    この式に入れて、
  • 7:32 - 7:35
    書く単位ベクトルに何かの値を掛けたベクトル、
  • 7:35 - 7:37
    このようなベクトルが得られるとしましょう。
  • 7:37 - 7:38
    すべてのポイントでこのように
    ベクトルが得られます。
  • 7:38 - 7:39
    ランダム サンプルを示しています。
  • 7:39 - 7:41
    ここに行くとき、たぶん、こんなベクトルです。
  • 7:41 - 7:42
    次のようになります。
  • 7:42 - 7:45
    たぶんここに行くと、ベクトルのようになり
  • 7:45 - 7:48
    ここに行くと、たぶん、ベクトルのようになります。
  • 7:48 - 7:50
    ここに行くとき、たぶんそのようなベクトル。
  • 7:50 - 7:52
    ランダムにポイントを選んでいます。
  • 7:52 - 7:57
    スカラー関数が適切に定義される
    すべてのx y 座標位置のベクトルを定義します。
  • 7:57 - 8:01
    スカラー関数が適切に定義される
    すべてのx y 座標位置のベクトルを定義します。
  • 8:01 - 8:02
    そのため、ベクトル場と呼ばれます。
  • 8:02 - 8:07
    どのような潜在的な
    なんらかの力が定義されているのでしょう。
  • 8:07 - 8:11
    どのような潜在的な
    なんらかの力が定義されているのでしょう。
  • 8:11 - 8:14
    どの点でも、何かがあれば、
  • 8:14 - 8:16
    たぶん、それが関数です。
  • 8:16 - 8:18
    この隙間に書き続けることもできますが、
  • 8:18 - 8:19
    この隙間に書き続けることもできますが、
  • 8:19 - 8:20
    アイデアは、わかったと思います。
  • 8:20 - 8:25
    xy 平面上の各点をベクトルを関連付けます。
  • 8:25 - 8:29
    これが、ベクトル 場と呼ばれ
  • 8:29 - 8:31
    任意の場を定義するに使用できることがわかりましたか?
  • 8:31 - 8:32
    任意の場を定義するに使用できることがわかりましたか?
  • 8:32 - 8:33
    重力場を表現することもでき
  • 8:33 - 8:37
    または、電界、磁界を表現することもできます。
  • 8:37 - 8:40
    これは本質的に、どのくらい力が、
  • 8:40 - 8:43
    そのフィールド内の各粒子にあるかを示せます。
  • 8:43 - 8:45
    いいですか?
  • 8:45 - 8:49
    今、このフィールドには、いくつかの粒子が
  • 8:49 - 8:52
    xy 平面上を移動しているとします。
  • 8:52 - 8:59
    奇妙な力が作用していて、
  • 8:59 - 9:04
    何かの道筋に沿って移動しているので、
  • 9:04 - 9:07
    場に作用している力に
    必ずしも一致しない動きをします。
  • 9:07 - 9:09
    場に作用している力に
    必ずしも一致しない動きをします。
  • 9:09 - 9:14
    このような道筋で移動するとしましょう。
  • 9:14 - 9:18
    この曲線は、位置ベクトル関数で定義されます。
  • 9:18 - 9:22
    この曲線は、位置ベクトル関数で定義されます。
  • 9:22 - 9:25
    それでは t の r で定義されているとしましょう。
  • 9:25 - 9:34
    tのx にiベクトルを掛け、
    tのy に j ベクトルを掛けたものを足します。
  • 9:34 - 9:35
    それが、tでのr、ここです。
  • 9:35 - 9:38
    まあ、この有限の道筋とするために、
  • 9:38 - 9:42
    tは、a以上で、b以下です。
  • 9:42 - 9:46
    tは、a以上で、b以下です。
  • 9:46 - 9:48
    これは、粒子は通った道筋です。
  • 9:48 - 9:50
    これらの風変わりな力の場に作用されています。
  • 9:50 - 9:54
    粒子がここの場合は、たぶん、ベクトル場を作用し
  • 9:54 - 9:57
    多分それには力が働いています。
  • 9:57 - 10:00
    でも、道筋に沿って動こうとしているので、
  • 10:00 - 10:00
    この方向へ、動きます。
  • 10:00 - 10:04
    ここで、ベクトル場がこのような場合は
  • 10:04 - 10:06
    何らかの道筋の影響で、この方角に動きます。
  • 10:06 - 10:07
    何らかの道筋の影響で、この方角に動きます。
  • 10:07 - 10:10
    今、すべてのこのビデオでやったことは、
  • 10:10 - 10:11
    基本的な質問には、つながります。
  • 10:11 - 10:14
    力場によって粒子に対して行われた仕事が、
    何かです。
  • 10:14 - 10:25
    力場によって、粒子に対して行われた仕事が、
    何かです。
  • 10:25 - 10:29
    この質問に答えるためには、
    もう少し詳しく見ることが必要です。
  • 10:29 - 10:31
    道筋の詳細を見てみましょう。
  • 10:31 - 10:35
    道筋の詳細を見てみましょう。
  • 10:35 - 10:38
    この限られた範囲で、
  • 10:38 - 10:40
    どのような仕事がなされたか見てみましょう。
  • 10:40 - 10:42
    力場の方向を変わり、
  • 10:42 - 10:44
    粒子の方向も変わっています。
  • 10:44 - 10:48
    ここから、ほんの少し移動したとしましょう。
  • 10:48 - 10:50
    ここから、ほんの少し移動したとしましょう。
  • 10:50 - 10:56
    これは無限に小さい動きdrです。
  • 10:56 - 10:58
    いいですか?
  • 10:58 - 11:01
    無限に小さい変位で、この差分のベクトルが得られます。
  • 11:01 - 11:03
    無限に小さい変位で、この差分のベクトルが得られます。
  • 11:03 - 11:07
    このコースで、力場の影響がこのように
  • 11:07 - 11:09
    作用しているとします。
  • 11:09 - 11:10
    いいですか?
  • 11:10 - 11:13
    このような力を提供しています。
  • 11:13 - 11:17
    これが、ここのベクトル場です。
  • 11:17 - 11:19
    その時点で粒子にかかる力です。
  • 11:19 - 11:19
    いいですか?
  • 11:19 - 11:22
    それは無限小の時間空間です。
  • 11:22 - 11:24
    この小さな時点では
  • 11:24 - 11:27
    一定の力がかかっていると言えるでしょう。
  • 11:27 - 11:30
    この小さな期間の仕事は何でしょう。
  • 11:30 - 11:32
    この小さな間隔の仕事は何ですかと
    言うこともできます。
  • 11:32 - 11:36
    d仕事、または仕事の差分を言うことができます。
  • 11:36 - 11:39
    これは、変位の方向への力の規模と、変位の大きさを
  • 11:39 - 11:44
    掛け合わせる簡単な問題と同じ論理を
  • 11:44 - 11:49
    使用します。
  • 11:49 - 11:53
    ここの例からどのようにするかわかっていますね。
  • 11:53 - 11:55
    ドット積の問題です。
  • 11:55 - 11:58
    力とこの極小の変位のドット積です。
  • 11:58 - 11:59
    力とこの極小の変位のドット積です。
  • 11:59 - 12:08
    力とこの極小の変位のドット積です。
  • 12:08 - 12:10
    力とこの極小の変位のドット積です。
  • 12:10 - 12:13
    これで、なされた仕事の量が得られます。
  • 12:13 - 12:16
    これは、非常に小さいdrですが、
  • 12:16 - 12:19
    これを合計することで、答えが得られます。
  • 12:19 - 12:22
    すべてのdrを処理します。
  • 12:22 - 12:25
    仕事の合計を把握するには、すべてのf . dr の作業します。
  • 12:25 - 12:28
    それには、積分を使用します。
  • 12:28 - 12:33
    線積分を行います。
  • 12:33 - 12:34
    2 つの方法があります。
  • 12:34 - 12:37
    ここに、dWと書くこともできます。
  • 12:37 - 12:43
    または、この曲線 CのdWの線積分を行います。
  • 12:43 - 12:46
    または、この曲線 CのdWの線積分を行います。
  • 12:46 - 12:48
    これで、すべての仕事の量が得られます。
  • 12:48 - 12:50
    仕事はこれと等しいとすると
  • 12:50 - 12:54
    同じ曲線Cのfとdrのドット積と書くこともできます。
  • 12:54 - 13:00
    同じ曲線Cのfとdrのドット積と書くこともできます。
  • 13:00 - 13:04
    これは、抽象的な感じがして
  • 13:04 - 13:05
    これは、抽象的な感じがして
  • 13:05 - 13:09
    実際にどのように、これを算出するか?
    悩む人もいるでしょう。
  • 13:09 - 13:13
    特にすべてがtのパラメーターの場合は
  • 13:13 - 13:14
    特にすべてがtのパラメーターの場合は
  • 13:14 - 13:16
    どのように tの式に直せばいいのでしょう?
  • 13:16 - 13:20
    では、、何 がf とr のドット積ですか?
  • 13:20 - 13:21
    あるいは、fとdrのドット積は何ですか?
  • 13:21 - 13:23
    それに答えるためには、何がdrであったか、
  • 13:23 - 13:26
    思い出してみましょう。
  • 13:26 - 13:36
    覚えていれば、dr/ dt は X’(t)または、dX/dt
  • 13:36 - 13:39
    それに、i単位ベクトルを掛けたものと
  • 13:39 - 13:45
    Y’(t)にj単位ベクトルを掛けたものです。
  • 13:45 - 13:49
    drを得るには、両辺をdtで掛けます。
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    おおまかに説明しています。
  • 13:52 - 13:53
    おおまかに説明しています。
  • 13:53 - 13:58
    dr=X’(t)dt * i +Y’(t)dt * j
  • 13:58 - 14:05
    dr=X’(t)dt * i +Y’(t)dt * j
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    dr=X’(t)dt * i +Y’(t)dt * j
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    これでdrが得られます。
  • 14:09 - 14:12
    これでdrが得られます。
  • 14:12 - 14:16
    何のベクトル場だった覚えています。
  • 14:16 - 14:17
    ここにありますね。
  • 14:17 - 14:20
    コピーしてきます。
  • 14:20 - 14:21
    ドット積は
  • 14:21 - 14:23
    それほど、難しいものではありません。
  • 14:23 - 14:27
    いいですか?
  • 14:27 - 14:31
    いいですか?
  • 14:31 - 14:34
    この積分はどうなるでしょう?
  • 14:34 - 14:38
    この積分は、粒子がパスに沿って移動する際、
    力場による仕事の合計です。
  • 14:38 - 14:41
    この積分は、粒子がパスに沿って移動する際、
    力場による仕事の合計です。
  • 14:41 - 14:44
    これは、実際の物理のための基礎で、
  • 14:44 - 14:47
    いつか、実際に使用する機会があると思います。
  • 14:47 - 14:48
    では、
  • 14:48 - 14:52
    この積分で、tをaからbとしましょう。
  • 14:52 - 14:55
    この積分で、tをaからbとしましょう。
  • 14:55 - 14:58
    aから、スタートし、道筋にそって、
  • 14:58 - 15:00
    bに行きます。
  • 15:00 - 15:02
    粒子が時間に沿って
  • 15:02 - 15:04
    移動していると考えてもいいでしょう。
  • 15:04 - 15:07
    では fとdrのドット積は何でしたか?
  • 15:07 - 15:11
    ドット積を覚えていれば、
  • 15:11 - 15:15
    ベクトルの対応する部分の掛け算の結果を
    集計したものです。
  • 15:15 - 15:18
    ベクトルの対応する部分の掛け算の結果を
    集計したものです。
  • 15:18 - 15:20
    この積分は、tがaからbでの、
  • 15:20 - 15:27
    xとyが tの関数である 
    P(x(t)y(t))
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    xとyが tの関数である
    P(x(t)y(t))
  • 15:31 - 15:32
    xとyが tの関数である
    P(x(t)y(t))
  • 15:32 - 15:34
    これに
  • 15:34 - 15:38
    この部分のiの部分を掛け、
  • 15:38 - 15:39
    この部分のiの部分を掛け、
  • 15:39 - 15:51
    つまり、X’(t)dt
  • 15:51 - 15:52
    q 関数にも同様に
  • 15:52 - 15:56
    +Q、行を変えて書きますね。
  • 15:56 - 15:58
    書き続けて行くと
  • 15:58 - 15:59
    場所がなくなりそうですね。
  • 15:59 - 16:10
    Q(x(t)y(t))に
  • 16:10 - 16:12
    jの部分を掛け
  • 16:12 - 16:16
    つまり、Y’(t)dtです。
  • 16:16 - 16:17
    これで、完了です。
  • 16:17 - 16:17
    これで、完了です。
  • 16:17 - 16:19
    これはまだ少し抽象的思えるかもしれませんが、
  • 16:19 - 16:23
    次のビデオでは、すべてtで表され、
  • 16:23 - 16:25
    簡単な積分です。
  • 16:25 - 16:27
    簡単な積分です。
  • 16:27 - 16:30
    dtを式の外側に置くこともできます。
  • 16:30 - 16:32
    そうすると、少しすっきりします。
  • 16:32 - 16:35
    これで、基本的に必要な作業が終わりです。
  • 16:35 - 16:38
    次のビデオで具体的に
  • 16:38 - 16:43
    ベクトル場内の線積分または関数を使っての作業を
  • 16:43 - 16:46
    行ってみましょう。
  • 16:46 - 16:46
    行ってみましょう。
Title:
線積分とベクトル場
Description:

Using line integrals to find the work done on a particle moving through a vector field

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Video Language:
English
Duration:
16:46
Nobuko Hamaguchi edited Japanese subtitles for Line Integrals and Vector Fields Aug 20, 2012, 2:57 PM
Nobuko Hamaguchi edited Japanese subtitles for Line Integrals and Vector Fields Aug 20, 2012, 2:57 PM
Nobuko Hamaguchi edited Japanese subtitles for Line Integrals and Vector Fields Aug 20, 2012, 2:57 PM
Arisa added a translation Apr 26, 2012, 7:39 AM

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