Криволинейные Интегралы и Векторные Поля

Использование интегралов для вычисления работы, совершенной векторным полем над движущейся частицей.

Одно из фундаментальных понятий в физике

это понятие работы.

Когда вы впервые изучаете понятие работы, вы говорите,

это просто сила умножить на расстояние.

Но позже, когда вы узнаёте чуть побольше о

векторах, вы понимаете, что сила не всегда имеет

то же направление что и ваше перемещение.

Вы узнаёте, что работа - это на самом деле величина--

давайте я запишу это-- величина силы в направлении,

или составляющая силы в направлении

перемещения.

Перемещение - это расстояние в некотором направлении.

Умножить на величину перемещения или, вы могли бы сказать,

умножить на расстояние.

И классический пример.

Может быть у вас есть куб льда или просто какой-то блок.

Я взял куб льда, чтобы трение было невелико.

Допустим, он стоит на какой-то поверхности, на листке или на льду.

И вы тянете этот куб льда под углом.

Скажем, вы тянете под таким углом.

Это моя сила, вот здесь.

Допустим, сила равна-- это

вектор силы--

величина моего вектора силы-- поставлю двойные прямые скобки-- величина моего вектора силы

равна 10 ньютонам.

И пусть направление вектора силы--

любой вектор должен иметь величину и направление--

и направление, пусть это угол 30 градусов, пусть

угол 60 градусов от горизонтали.

Это направление, в котором я тяну.

И допустим, я переместил его.

Надеюсь, вы с этим уже знакомы.

Если вы перемещаете его, допустим, на пять ньютонов.

Допустим, что перемещение, это вектор перемещения,

и его величина равна-- извините, не пяти ньютонам-- пяти метрам.

Вы знаете, что по определению работы, вы не можете

просто сказать, о, я тяну с силой пять ньютонов

и перемещаю его на пять метров,

вы не можете просто умножить 10 ньютонов на пять метров.

Вы должны найти величину составляющей

в направлении моего перемещения.

Что мне надо сделать - длина, если вы

представите, что длина этого вектора равна 10, это

полная сила, но вам нужно найти длину

вектора, длину составляющей силы,

в направлении моего перемещения.

И немного простой тригонометрии, вы знаете,

что это 10 умножить на косинус 60 градусов, или это равно,

косинус 60 градусов равен 1/2, так что это равно пяти.

Так что эта величина, величина силы

в направлении перемещения, в этом

случае равна пяти ньютонам.

И теперь вы можете найти работу.

Вы можете сказать, что работа - это пять ньютонов умножить--

я обозначу умножение точкой,

не хочу, чтобы вы подумали, что это векторное произведение--

умножить на пять метров, что равно 25 ньютон метров

или вы можете сказать 25 джоулей проделанной работы.

Это все повторение основ физики.

Но подумайте, что произошло здесь.

Чему равна работа?

Если я запишу в общем виде.

Работа равна пяти ньютонам--

это была величина моего вектора силы--

величина моего вектора силы умножить на косинус этого угла,

обозначим его тета.

это немного в общем виде,

умножить на косинус этого угла.

Это величина моей силы в направлении

перемещения, косинус угла между ними, умножить

на величину перемещения,

умножить на величину перемещения.

Или я мог бы записать это в виде

величина перемещения умножить на величину вектора

силы умножить на косинус тета.

И я это делал уже много раз, в видео по линейной алгебре,

в видео по физике, где я говорил

о скалярном произведении и о векторном произведении и т.п.,

это скалярное произведение d и F, векторов d и F.

В общем случае, если вы хотите найти работу при заданном

перемещении, и сила постоянна, вы просто берете

скалярное произведение этих двух векторов.

И если скалярное произведение для вас совсем не знакомое понятие,

вы можете посмотреть, я думаю, я сделал несколько, четыре или пять

видео про скалярное произведение и его смысл

и как оно соотносится.

Но просто чтобы напомнить вам немного смысл,

скалярное произведение, когда я беру F умножить на d, или d на F,

это дает мне произведение величины--

я могу это просто прочитать.

Но идея скалярного произведения - это какая часть

этого вектора идет в том же направлении что и этот вектор,

в этом случае, вот столько,

и затем перемножить две величины,

и это то, что мы делали здесь.

Работа будет равна скалярному произведению вектора силы,

берем проекцию вектора силы, на вектор перемещения,

и это конечно, скалярная величина.

И мы рассмотрим потом несколько примеров,

где вы увидите, что это верно.

Это все повторение довольно элементарной физики.

Теперь давайте рассмотрим более сложный пример,

но это на самом деле та же идея.

Давайте определим векторное поле.

Допустим у меня есть векторное поле f, и мы

сейчас подумаем, что это значит.

Это функция от x и y, и она равна некоторой скалярной

функции от x и y умножить на i - единичный вектор,

горизонтальный единичный вектор, плюс некоторая другая функция, скалярная

функция x и y, умножить на вертикальный единичный вектор.

Что же это будет такое?

Это будет векторное поле.

Это векторное поле в двумерном пространстве.

Мы находимся в плоскости x-y.

Это векторное поле в плоскости x-y,

или можно сказать в R2.

Так или так, я не хочу вдаваться

в математические подробности.

Но что оно делает?

Если я нарисую плоскость x-y,

у меня сложности с рисованием прямых линий,

хорошо, вот она.

Это моя ось y, а это моя ось x.

Я рисую только первый квадрант, но вы можете

продолжить его в отрицательную сторону по любой оси, если хотите.

Что эта вещь делает?

Она говорит, что

дайте мне любой x и любой y, дайте мне любую пару x,y на плоскости x-y,

и это будут некоторые числа, верно?

Когда вы подставите x,y сюда, вы получите некоторое число,

когда вы подставите x,y сюда, вы получите некоторое число.

Так что вы получите некоторую комбинацию

единичных векторов i и j.

Вы получите некоторый вектор.

Что делает поле, оно задает вектор

в каждой точке плоскости x-y.

Так что вы могли бы сказать, если я возьму эту точку на плоскости x-y,

и я подставлю ее сюда, я получу что-то умножить на i плюс

что-то умножить на j, и когда я сложу из оба, может быть, я получу

вектор, который выглядит например так.

И вы можете сделать это в каждой точке.

Я просто беру произвольные примеры.

Может быть, когда я пойду сюда, вектор будет

примерно такой.

Когда я иду сюда, вектор будет такой.

Вот здесь вектор будет такой.

И когда я пойду вот сюда наверх, вектор будет такой.

Я просто произвольно беру точки.

Оно определяет вектор в каждой точке x,y,

где определены эти скалярные функции.

И поэтому это называется векторным полем.

Оно определяет какая потенциальная сила была бы,

или любая другая сила, в любой точке.

В любой точке. Если окажется, что там что-то есть

может быть такое там значение функции.

И я могу продолжать это бесконечно

заполняя все промежутки.

Но я думаю, вы поняли идею.

Оно задает некоторый вектор в каждой точке плоскости x-y.

Теперь, это называется векторным полем, поэтому вероятно будет

разумно, что оно может быть использовано для описания

поля любого типа.

Это может быть гравитационное поле.

Это может быть электрическое поле, это может быть магнитное поле.

И оно могло бы по сути говорить вам, какая сила

будет действовать на некоторую частицу в этом поле.

Это ровно то, что будет описывать это выражение.

Теперь, допустим, что в этом поле, у меня есть некоторая частица,

движущаяся в плоскости x-y.

Допустим, она начинает движение здесь, и под действием всех этих сумасшедших

сил, которые действуют на нее, и может быть она на каких-то рельсах,

так что она не всегда движется точно в том

направлении, в котором поле пытается ее передвинуть.

Пусть она движется по примерно такой траектории.

И допустим, что эта траектория, или эта кривая, задается

векторной функцией положения.

Пусть это задается r от t, которое есть

x от t умножить на i плюс y от t умножить на единичный вектор j.

Это наше r от t.

Для того чтобы эта траектория была конечной,

это верно при t больше или равно a и меньше

или равно b.

Это траектория, по которой

движется частица под действием всех этих странных сил.

Когда частица находится вот здесь, может быть, векторное поле

действует на нее, может быть, прилагая вот такую силу.

Но поскольку частица на рельсах, она движется

в этом направлении.

И потом, когда она здесь, может быть, векторное поле такое,

но она движется в том направлении, потому что она

на каких-то рельсах.

Теперь, всё, что я сделал в этом видео, это для того чтобы задать

фундаментальный вопрос.

Чему была равна работа, совершенная полем над частицей?

Работа, совершенная над частицей. Чему была равна работа, совершенная полем над частицей?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем немного увеличить --

я увеличу маленький

отрезок нашей траектории.

И давайте попытаемся посчитать работу, выполненную на очень

маленьком отрезке нашей траектории, потому что она постоянно меняется:

поле меняет направление,

мой объект меняет направление.

Скажем, когда я здесь, и когда я проделываю

небольшой отрезок моего пути.

Скажем, я передвигаюсь, это бесконечно

малый dr. Верно?

У меня есть дифференциал, это дифференциальный вектор, бесконечно

малое перемещение,

и пусть при движении по этому отрезку, векторное поле,

действующее в этой области, пусть оно выглядит

примерно так.

Оно действует вот с такой силой.

Так что это векторное поле в этой области, или сила,

направленная на частицу, когда она ровно вот в этой точке.

Верно?

Это бесконечно малый отрезок во времени и в пространстве.

Так что вы можете сказать, в этой маленькой точке

у нас сила постоянна.

Чему равна работа, выполненная за этот малый отрезок времени?

Вы можете сказать, чему равно это малое приращение работы?

Вы можете сказать, dW или дифференциал работы.

По той же самой логике, как мы решали простую

задачу, это величина силы в направлении

нашего перемещения умножить на величину перемещения.

И мы знаем чему это равно, просто по вот этому образцу.

Это скалярное произведение.

Это скалярное произведение силы и нашего бесконечно малого

перемещения.

Это равно скалярному произведению нашей силы и нашего

бесконечно малого перемещения.

Теперь, просто посчитав это, мы получим работу

на очень маленьком, бесконечно малом dr.

Но что мы хотим сделать, мы хотим сложить их всех.

Мы хотим сложить вместе все dr, чтобы найти сумму,

все скалярные произведения f на dr, чтобы найти полную выполненную работу.

И вот где появляется интеграл.

Мы посчитаем криволинейный интеграл по-- то есть, вы можете

представлять это двумя способами.

Вы можете просто написать dW, но мы можем сказать, что мы

возьмем криволинейный интеграл вдоль этой кривой c, назовем ее c

или вдоль r, как вы ее назовете, от dW.

Это даст нам полную работу.

Скажем, работа равна этому.

Или мы также можем записать это через интеграл, по той же

кривой от скалярного произведения f на dr.

И это может показаться, знаете, боже мой,

это совсем абстрактно, Сэл.

Как мы на самом деле вычисляем что-то такое?

Особенно поскольку у нас все параметризовано

через t.

Как мы выразим это через t?

И если вы подумаете об этом, чему равно скалярное произведение f на r?

Или чему равно f на dr?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте вспомним

как выглядел dr.

Если вы помните, dr dt равно x штрих от t,

я мог бы написать dx dt, умножить

на единичный вектор i, плюс y штрих от t умножить на единичный вектор j.

Если мы хотим получить dr, мы можем умножить обе стороны

если мы будем не очень аккуратны

с дифференциалами, не очень строго.

Мы получим, dr равно x штрих от t dt умножить

на единичный вектор i плюс y штрих от t умножить на дифференциал dt

умножить на единичный вектор j.

Вот это наш dr.

Это наш dr.

И помните, чему было равна наша сила, наше векторное поле?

Оно было равно вот этому выражению.

Давайте я скопирую это.

И мы увидим, что скалярное произведение

на самом деле не такое ужасное.

Давайте я скопирую это сюда.

Как будет выглядеть этот интеграл?

Вот этот интеграл, который дает нам полную работу, совершенную

полем над частицей, когда она движется по той траектории.

Это основа основ практически любой серьезной области физики,

которой вам когда-нибудь придется заниматься.

Вы можете сказать,

это будет интеграл, скажем от t равного a

до t равного b.

Верно? a - это где мы начали движение по траектории, t равно а,

до t равно b.

Вы можете представить это как время, частица перемещается

с течением времени.

И что такое скалярное произведение f на dr?

Если вы помните, что такое скалярное произведение,

вы можете просто взять произведения соответствующих

компонент вашего вектора и сложить их.

Это будет интеграл от t равного a до t

равного b от P от x, на самом деле, вместо x,y

это x от t, верно? x как функция от t, y как

функция от t,

это эта компонента,

умножить на вот эту компоненту, верно?

Мы перемножаем компоненты при векторе i.

Умножить на x штрих от t dt, и затем это плюс, мы

сделаем то же самое для функции Q.

Это Q, прибавить, я перейду на другую строчку.

Надеюсь, вы понимаете, что я мог мы продолжать писать,

но мне просто не хватило места.

Плюс Q от x от t, y от t, умножить на компоненту нашего dr, умножить

на y-компоненту, или j-компоненту.

у штрих от t dt.

И мы закончили!

И мы закончили!

Это по-прежнему может казаться немного абстрактным, но мы

увидим в следующем видео, что все теперь выражено как

функция от t, так что это просто интегрирование

по dt.

Если хотим, мы можем вынести dt за скобки,

и это будет выглядеть немного более привычно для вас.

Но это ровно все, что нам нужно сделать.

И мы увидим несколько конкретных примеров вычисления

криволинейного интеграла от векторного поля, или использования

векторных функций, в следующем видео.