Çizgi İntegralleri ve Vektör Alanları

Vektör alanında hareket eden bir parçacığa etki eden işi bulmak için çizgi integrali kullanmak.

-

Fiziğin temel kavramlarından biri iştir.

-

İşi ilk öğrendiğinizde, sadece kuvvet çarpı uzaklıkmış dersiniz

-

Ama, vektörleri öğrendiğinizde, kuvvetin her zaman yer değiştirmeye aynı yönde olmadığını anlarsınız.

-

-

O zaman işin, yer değiştirme yönündeki kuvvet bileşeni olduğunu öğrenirsiniz.

-

-

-

Yer değiştirme, uzaklığın yön katılmış halidir.

-

Çarpı yer değiştirme miktarı veya uzaklık da diyebilirsiniz.

-

-

Şimdi de bunun klasik örneği.

Bir buz küpünüz veya bloğunuz var diyelim.

Buz daha iyi, çünkü sürtünmeyi azaltır.

Bu buz küpü bir donmuş gölün falan üzerinde duruyor olabilir.

Belki, bu buz küpünü belli bir açıyla çekiyorsunuz.

Şöyle bir açı diyelim.

Buradaki kuvvet.

Şu, kuvvet vektörüdür diyelim.

-

Kuvvet vektörünün büyüklüğü 10 newton olsun.

-

Kuvvet vektörünün yönü de, yatayla 60 derece açıda olsun.

-

-

-

Bu yönde çekiyorum.

Ve yerini değiştirdiğimi varsayalım.

Umarım bunların hepsi sizin için tekrardır.

Bunu 5 metre hareket ettirdiğinizi varsayalım.

Bu yer değiştirme vektörünün uzunluğunun 5 metre olduğunu söylüyoruz.

-

İşin tanımı gereği, 10 newton kuvvetle 5 metre hareket ettiriyorum diyemeyiz.

-

-

10 newtonla 5 metreyi çarpamayız.

Yer değiştirme vektörüyle aynı yöndeki bileşenin uzunluğunu bulmanız lazım.

-

Bu vektörün uzunluğunun 10 olduğunu düşünürsek, ki bu toplam kuvvet, yer değiştirme vektörüyle aynı yöndeki bileşenin uzunluğunu bulmam gerekiyor.

-

-

-

-

Basit bir trigonometrik hesapla, 10 çarpı kosinüs 60 derece diyoruz. 60 derecenin kosinüsü 1 bölü 2, yani bu 5'e eşit.

-

-

Bu durumda yer değiştirme vektörü yönündeki kuvvet bileşeni, 5 newton.

-

-

-

Buna göre işi hesaplarız.

İş eşittir 5 newton çarpı, çarpım işlemi için nokta kullanıyorum.

-

Vektör çarpımıyla karıştırmanızı istemiyorum.

Çarpı 5 metre, sonuç 25 newton metre. Veya yapılan işin 25 jul olduğunu söyleyebiliriz.

-

Bu, temel fizik tekrarı oldu.

Ama burada ne yaptığımızı bir düşünün.

İş neydi?

İş, kuvvet, yani 5 newton çarpı.

-

Kuvvet vektörünün uzunluğu çarpı bu açının kosinüsü.

-

Buna teta diyelim.

Şimdi genel olarak ifade edelim.

Çarpı açının kosinüsü.

Bu, kuvvetin yer değiştirme yönündeki miktarı. İki vektörün arasındaki açının kosinüsü çarpı yer değiştirme vektörünün uzunluğu.

-

-

Çarpı yer değiştirme vektörünün uzunluğu.

Bunu baştan yazmak istersem, yer değiştirmenin uzunluğu çarpı kuvvetin uzunluğu çarpı kosinüs teta diyebilirim.

-

-

Bunun hakkında çok video yaptım, lineer cebir listesinde, fizik listesinde. Bu videolarda iç çarpımdan ve vektör çarpımından bahsettim. Bu ifade, d ve f vektörlerinin iç çarpımına eşit.

-

-

-

Yani, genel olarak sabit bir yer değiştirme ve sabit bir kuvvet için iş hesaplamak istiyorsanız, bu iki vektörün iç çarpımını alıyorsunuz.

-

-

Eğer iç çarpımı bilmiyorsanız, bu kavram ve anlamı hakkında yaptığım 4-5 videoyu izlemek isteyebilirsiniz.

-

-

-

İsterseniz size iç çarpımın mantığını burada biraz anlatayım.

-

-

-

İç çarpımın anlamı şu: Bu vektörün şu vektör yönünde ne kadar gittiğini bulmak ve bu iki uzunluğu çarpmak.

-

-

-

Burada da bunu yaptık.

Yani iş eşittir kuvvet vektörü ile yer değiştirme vektörünün iç çarpımı. Sonuç da skaler bir değer çıkacak.

-

-

İleride bu konuda örnekler yapacağız.

-

Burada temel fizik tekrarı yapmış olduk.

Şimdi aynı kavramla ilgili daha karmaşık bir örnek yapalım.

-

Vektör alanını tanımlayalım.

-

Diyelim ki, f adında bir vektör alanımız var. Bunun anlamını birazdan konuşacağız.

-

Bu, x ve y cinsinden bir fonksiyon. x ve y cinsinden skaler bir fonksiyon çarpı i birim vektörü veya yatay birim vektörü, artı bir başka x ve y cinsinden fonksiyon, çarpı düşey birim vektörü.

-

-

-

Böyle bir şey neye benzer?

Bu bir vektör alanı.

Bu, iki boyutlu bir uzayda bir vektör alanı.

x y düzlemindeyiz.

-

R 2 de diyebiliriz.

Neyse matematiğinde çok derine dalmak istemiyorum.

-

Bunun anlamı nedir?

x y düzlemini çizelim.

-

-

Bu y ekseni, bu da x ekseni.

Sadece ilk çeyrek düzlemi çiziyorum, ama iki yönde eksi tarafa da, isterseniz, gidebilirsiniz.

-

Bunun mantığı nasıl işliyor?

Şöyle.

Düzlemde herhangi bir x y değeri için bazı sayılar elde edeceğiz, öyle değil mi?

-

Buraya x ve y'yi koyunca bir değer elde edersiniz. Şuraya x ve y koyunca da bir değer elde edersiniz.

-

i ve j birim vektörlerinin bir birleşimini bulursunuz.

-

Yani sonuçta bir vektör elde edersiniz.

Yani bu fonksiyon, x y düzlemindeki her nokta için bir vektör tanımlar.

-

x y düzleminde şu noktayı alırsak ve bu fonksiyona koyarsak, bir şey çarpı i artı başka bir şey çarpı j elde ederim. Bu ikisini topladığımda, şöyle bir vektör elde ederim.

-

-

-

Bunu her nokta için yapabiliriz.

Rastgele noktalar alıyorum.

Belki bu noktadaki vektör şöyle bir şey.

-

Bu noktada ise, şöyle bir vektör var.

Şuradaki vektör ise böyle olabilir.

Şu yukarıdaki vektör de böyle olabilir.

Gelişigüzel noktalar seçiyorum.

Skaler fonksiyonların tanımlı olduğu x y koordinatlarında, vektörler elde ediyorum.

-

Vektör alanı denilmesinin sebebi, belki de, bu.

Her noktada bir kuvvet tanımladığı için olabilir.

-

-

-

Bunu yapmaya devam edip tüm boşlukları doldurabilirim.

-

Sanıyorum bunun ne olduğunu anladınız.

x y düzlemindeki her noktaya bir vektör atar.

Bunun adı vektör alanı, aslında her türlü alanı tanımlamakta kullanabiliriz.

-

-

Yerçekimi alanı olabilir.

Elektriksel alan olabilir, manyetik alan olabilir.

Bu, bu alandaki bir parçacığın üzerindeki kuvveti ifade ediyor.

-

Bunun tanımladığı şey, tam olarak budur

Diyelim ki, x y düzleminde hareket eden bir parçacık var.

-

Şuradan başladığını düşünelim. Üzerinde etki eden bu çılgın kuvvetler nedeniyle, alanın onu hareket ettirmek istediği yönde her zaman gitmeyebilir.

-

-

-

Şöyle bir iz üzerinde gittiğini varsayalım.

Bu iz veya eğri, bir konum vektör değerli fonksiyonla tanımlanmış olsun.

-

Bu r t fonksiyonu eşittir x t çarpı i artı y t çarpı j birim vektörü.

-

r t burada.

Bunun sonlu bir iz olması için, t'nin a'dan büyük veya eşit ve b'den küçük veya eşit olması gerekiyor.

-

-

Bu kuvvetlerin etkisiyle parçacığın bu iz boyunca hareket ettiğini düşünelim.

-

Parçacık şuradayken vektör alanı şöyle bir kuvvetle parçacığı etkiliyor olabilir.

-

Ama parçacık belli bir yol üzerinde olduğu için belki bu yönde hareket ediyor.

-

Parçacık şurada olduğunda ise, belki vektör alanı böyle ama parçacık buraya doğru hareket ediyor.

-

-

Bu videoda şimdiye kadar temel bir soruyu cevaplamak için hazırlık yaptım.

-

Bu alanın parçacık üzerinde yaptığı iş nedir?

-

Bunu cevaplayabilmek için, biraz zumlayalım.

İzin küçük bir kısmına odaklanalım.

-

İzin küçük bir kısmındaki işi bulmaya çalışalım. Çünkü alan sürekli yön değiştiriyor.

-

-

Parçacık yön değiştiriyor.

Şuradayım diyelim ve izin üstünde azıcık hareket edeyim.

-

Sonsuz küçüklükte bir d r kadar hareket ediyorum. Tamam mı?

-

Bir diferansiyel vektörüm var, sonsuz küçüklükte bir yer değiştirme.

-

Bu yer değiştirme esnasında vektör alanının şöyle etki ettiğini düşünelim.

-

-

Şöyle bir kuvvet sağladığını düşünelim.

Bu noktada parçacığın üzerindeki kuvvet, bu olsun.

-

-

Uzayda sonsuz küçüklükte bir zaman aralığı.

Bu noktada şu sabit kuvvetin var olduğunu söyleyebiliriz.

-

Bu kısa dilimde yapılan işi nasıl hesaplarız?

Kısa iş aralığı nedir diye sorabilirsiniz.

d iş veya iş diferansiyeli olarak adlandırabilirsiniz.

Önceki daha basit problemde kullandığımız mantığı kullanırız.

Yer değiştirme yönündeki kuvvet miktarı çarpı yer değiştirme miktarını buluruz.

-

Şuradaki örnekten, bunun ne olduğunu biliyoruz: iç çarpım.

-

Kuvvet ile minicik yer değiştirmenin iç çarpımı.

-

Yani bu, kuvvet ile minicik yer değiştirmenin iç çarpımına eşit.

-

Bu şekilde çok küçük bir d r için işi hesaplamış oluruz. Yapmamız gereken ise, bütün bu işleri toplamaktır.

-

-

Toplam işi bulmak için, tüm f iç çarpım d r'leri toplamamız gerekir.

-

İşte burada integral işin içine girer.

Bunu iki şekilde düşünebiliriz.

-

d iç çarpım w diyebiliriz ve c veya r eğrisi boyunca d w'nun çizgi integralini alacağımızı belirtebiliriz.

-

-

Bu, bize toplam işi verir.

İş buna eşit, diyelim.

Veya bunun integralin üzerine de yazabilirim. f iç çarpım d r'nin integrali.

-

Bunun çok soyut olduğunu düşünebilirsiniz.

-

Böyle bir şeyi nasıl hesaplarız?

Özellikle de her şey t parametresi cinsinden ifade edilmiş olduğu için.

-

Bunu t cinsinden nasıl buluruz?

f'nin r ile iç çarpımı nedir?

Veya f'nin d r ile iç çarpımı nedir?

d r'nin neye benzediğini hatırlayalım.

-

Hatırlarsanız, d r d t eşittir x üssü t, istersem d x d t de yazabilirim, çarpı i birim vektörü artı y üssü t çarpı j birim vektörü.

-

-

Sadece d r'yi isteseydim, ispatını yapmamış olmama rağmen, iki tarafı diferansiyellerle çarpardım.

-

-

d r eşittir x üssü t d t çarpı i birim vektörü artı y üssü t çarpı d t çarpı j birim vektörü.

-

-

Bu, d r.

-

Vektör alanının ne olduğunu hatırlayalım.

Şuradaki şeydi.

-

İç çarpımın çok acayip bir şey olmadığını görüyoruz.

-

-

-

Bu integral neye benzeyecek?

Parçacık iz üzerinde hareket ederken, alanın parçacık üzerinde yaptığı işi bu integral verir.

-

Bu konu, herhangi bir ileri fizik dersi çok önemli bir temel oluşturur.

-

-

t eşittir a'dan t eşittir b'ye bir integral bulacağımızı söyleyebilirsiniz.

-

Tamam mı? a ize başladığımız nokta, t eşittir a'dan t eşittir b'ye giden bir integral.

-

Parçacık hareket ettikçe, zaman arttıkça diye düşünebilirsiniz.

-

Peki, f iç çarpım d r nedir?

İç çarpımın tanımını hatırlarsanız, vektörlerin karşılıklı bileşenlerini çarpıp topluyorsunuz.

-

-

Yani, şu integrali bulacağız: t eşittir a'dan t eşittir b'ye p x, x y yerine x t y t yazarız. İkisi de t cinsinden fonksiyonlar.

-

-

-

Burası böyle.

Çarpı şuradaki şey, şu bileşen.

i bileşenlerini çarpıyoruz.

Çarpı x üssü t d t artı, q fonksiyonuyla da aynı şeyi yapacağız.

-

-

-

-

Artı q x t y t çarpı d r'nin bileşeni, çarpı y bileşeni veya i bileşeni.

-

y üssü t d t.

Ve bitirdik.

Bitti.

Bu size hala soyut gelebilir, ama bir sonraki videoda göreceğimiz üzere, burada her şey t cinsinden ifade edildiği için, bu, t'ye göre gayet kolay bir integrale dönüşmüştür.

-

-

-

d t'leri denklemin dışına alırsak, belki daha normal görünebilir.

-

Yapmamız gereken sadece bu integrali almak.

Bir sonraki videoda vektör alanında çizgi integrali almak ile ilgili örnekler yapacağız.

-

-

-