间断点的类型 | 极限和连续性 | AP微积分AB | 可汗学院

一个函数在一个点是连续的意味着在这点左右两边的极限存在且等于函数在该点的值。可去间断点意味着在这点左右两边的极限存在但不等于函数在该点的值。 跳跃间断点意味着在这点左右两边的极限不相等。 无穷间断点意味着在该点极限无穷大。

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在本视频中，

我们将讨论不同的间断点，

你可能已经在代数或预科微积分课程中学习过了，

但这里相关的内容是双边极限和单边极限。

首先让我们来回顾一下间断点的分类。

看左边的这条曲线，

它代表了y等于x的平方，

除了x=3这一点。

在这一点函数值并非3的平方，

而是一个开放点，

当x=3时，函数的值是4。

除了这一点，

y等于x的平方。

这个点我们称之为可消间断点，

或者可去间断点。

理由很明显。

函数在这个点是不连续的。

但是你可以重定义函数

使得在这一点函数是连续的，

所以这个间断点是可以消除的。

但是怎么把它

跟连续性的定义联系起来呢？

这样，我们再来看看连续性的定义。

我们说函数f是连续的，

连续的，

当且仅当，

我可以这么写，函数f当x=c时是连续的，

当且仅当

x趋近c时函数f(x)的极限

等于函数f在x=c时的值。

那么为什么函数f在这个点不连续呢？

实际上，函数f在这个点的双边极限是存在的。

你会发现，对于这个曲线当c=3，

函数f(x)在x趋近3时的极限，

从图上来看，

因为我已经知道这条曲线是y等于x的平方

除了这儿这个间断点，

所以这个极限是9。

但是问题是，从图示来看，

函数在这点的值不等于9。

函数f在3这一点的值，

从图上来看，

f(3)=4。

所以这种情形是双边极限存在，

但是不等于函数的值。

还有的可能情形是

函数在该点没有定义，

即在这一点没有值，

即极限存在，

但是函数在这里没有定义。

不管是以上哪种情况，

连续性的条件都不满足。

这就是可去间断点如何，

以及为什么从连续性的

极限定义的条件来说它是不连续的。

现在我们来看第二个例子。

我们来做一个直观的测试，

如果我们沿着这条曲线画，

可以看到到了x=2这一点，

我必须要提笔到另一点以继续。

这就表明有间断点。

这儿也是一样的情况。

如果我们沿着这条曲线画，我必须要提笔

我不能画到这个开放点，

我必须跳到这个点，

然后再跳回这儿继续。

两种情况下我都得提起笔尖。

所以直观地说，函数是不连续的。

这种间断点，

我必须从一个点跳开，

往下跳到这儿以继续，

直观地，这叫做跳跃间断点，

跳跃间断点。

而这个，叫做可去间断点。

那么这跟极限有什么关系呢？

这里，左极限和右极限都存在，

但是它们不相等，

所以双边极限不存在。

以这条曲线为例，

当x小于或等于2时，

y等于x的平方。

当x大于2时

y等于x的平方根。

所以在这种情况下，

如果你求解函数f(x)在x从左边趋近2时的极限值，

你会得到4，

你将趋近这个值。

这个值也是函数在这个点的值。

但是如果你想得到当x从右边趋近2时函数f(x)的极限，

你会得到什么结果呢？

好，当从右边趋近2时，

实际上是x的平方根，

所以f的值趋近根号2。

从图上，

你可能看不出来这是根号2。

我知道这点，

因为我定义了这个函数，

把它用到了这里。

但是从图可以清楚地看出

你是在趋近两个不同的值

当你从左边

或从右边趋近时。

所以即使单边极限存在，

但是它们趋近的值不同，

那么双边极限不存在。

而如果双边极限不存在，

显然就不存在一个等于函数值的极限

即使函数在这个点是有定义的。

这就是为什么跳跃间断点不满足连续性条件。

再则，这也是直观的，

你看，这儿有一个跳跃点，

我得提起笔尖。

这两个点并没有连起来。

最后，来看这个，

当你学习预科微积分时，

我们把这叫做无穷间断点，

无穷

无穷

间断点

间断点。

直观上，这儿有一条渐近线。

这是x=2的垂直渐近线。

如果我试着从左边

沿着曲线画，

我将一直画下去，

事实上，将会永永远远画下去，

因为这是无穷的，

当我从左边越来越接近2时，

函数的值趋近无限。

如果我试着从右边趋近2时，

函数的值趋近无限大。

但是即使我能，

而当我说无限，这个值一直到无穷，

所以实际上

在有限的生命里是不可能画出这个完整的曲线。

但是，你能同样地看到，

不提笔尖你是不可能从这边画到这边的。

如果用极限表达，

那就是

左边和右边的极限都是无限的，

所以它们不存在。

如果它们不存在，这个条件自然不满足。

如果把它写下来，

当x从左边趋近2时，f(x)的极限

趋近负方向的无限。

你可能看到人们有时把它写成负无穷。

这是数学的简易表达方式。

正确的说法是它是无限的，

无限的。

同样，考虑当x从右边趋近2时f(x)的极限，

这个极限值无限趋近正无穷。

即

这种情形下极限也是无限的。

那么因为极限是无限的，所以不存在，

那么就不满足这个条件。

所以函数在这点不连续。

总结一下，这是可去间断点，

这是跳跃间断点，有跳跃点，

而这里有渐近线，垂直渐近线。

这是一个无穷间断点。