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Ojala ya tienes un poco de intuicion sobre lo que un dobleintegral es
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o como le hacemos para averiguar el volumen
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debajo de una superficie.
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Ahora hay que calcularlo, y creo que asi ya todo
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se va a volver mucho mas concreto.
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Vamos a decir que yo tengo la superficie, z, y es
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una funcion de X y Y.
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y es igual a XY quadrado
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Es una superficie en el espacio tridimensional.
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Y yo quiero saber el volumen entre esta superficie.
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Y el plano XY
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Y el dominio en el plano XY que me importa es X
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mas de o igual a 0, y menos de o igual a 2.
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y es mas de o igual a 0,
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y menos de o igual a 1
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Hay que ver como se mira para que
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tengamos una buena visualizacion
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lo tengo graficado aqui y podemos moverlo
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Esto es z es igual a xy cuadrado
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esto es la caja delimitadora, verdad? x va de 0 a
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2; y va de 0 a 1.
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literalmente queremos esto-- ya casi podemos ver,
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el volumen-- bueno, no tanto
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exactamente debe de ver lo como el volumen bajo de esta superficie
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Entre esta superficie, la superficie superior, y el plano xy.
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y yo lo voy a mover para que usted pueda tener un mejor
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sentido de el volumen real.
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Deje me girar.
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deberia usar el raton para esto
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Bueno, es este espacio, por debajo de aqui
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Es como un refugio improvisado o algo..
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Puedo girar lo un poco
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lo que esta por debajo de esto, entre los dos superficies-
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eso es el volumen.
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Whoops, lo gire
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hay lo tienes.
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Eso es el volumen que nos importa.
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Vamos a descubrir cómo hacerlo y vamos a tratar de lograr
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un poco de intuición a medida que avancemos.
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Voy a dibujar una versión no tan impresionante del gráfico,
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pero creo que va a a servirnos por ahora.
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dejame dibujar mis ejes
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esto es mi eje X, este es mi eje Y, y este es mi eje Z.
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x,y,z
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x se va de 0 a 2
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A que decir que eso es 2.
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y se va de 0 a 1.
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Entonces estamos hablando de el volumen arriba de este rectangulo
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en el plano xy.
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Y luego la superficie, voy a hacer mi mejor intento para dibujarlo
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lo voy a dibujar en un diferente color.
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Estoy mirando la foto.
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En este fin se ve como algo asi.
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...
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Y luego tiene una linea recta.
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Vamos a ver si puedo dibujar esta superficie hacia abajo asi.
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Si you fuera bueno lo podria colorear
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Se ve algo asi.
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Si lo coloreara la superficie se veria
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algo como eso.
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y esto aqui es sobre esto.
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Esto es la esquina inferior izquierda, casi se puede ver.
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Dejame solo decir el amarillo es lo de arriba de la superficie.
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Esto es lo de arriba de la superficie .
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Y esto es lo de bajo de la superficie
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lo que nos importa de esto es el volumen abajo de aqui.
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Deja me enseñarte la superficie real.
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Este volumen por abajo de aqui.
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Creo que ya tienes la idea.
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Entonces como hacemos eso?
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Bueno, en el ultimo ejemplo dijimos: bueno, hay que escojer
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un Y arbitrario y para esa Y, hay que descubrir
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el area de bajo de la curva
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Asi que si arreglamos la Y -- cuando en realidad hagas el problema
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no tienes que pensarlo en detalle, pero yo
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quiero darte la intuicion
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Asi que si escogemos una Y arbitraria aqui
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Entonces en esa Y, si ya fijamos la Y, entonces
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la función de X y Y, esto lo puedes ver casi como una función
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de solo X por esa dada Y
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Y estamos averiguando el valor de esto
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de la área debajo de la curva
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...
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Deberias verlo como una curva que va de arriba hacia abajo
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por la Y dada. Asi que si sabemos Y podemos averiguar
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(por ejemplo) si Y= 5, esta función se convertiría a Z = 25x
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Y así seria fácil averiguar el valor
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de la curva abajo
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Así que haremos el valor debajo de la curva como una función de Y
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Vamos a pretender que esto solo es un constante
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Asi que hay que hacer eso.
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Entonces, si tenemos una DX esa es nuestro cambio en la X
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Y luego nuestra altura de cada rectángulo va a ser
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una funcion---va a ser Z
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La altura va a ser Z, que es una funcion de X y Y
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Entonces podemos tomar el integral
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Y la área de cada uno de estos va a ser nuestra función
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XY al cuadrado-- Lo voy a hacer aquí porque para guardar espacio
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XY al cuadrado por lo ancho, que es DX
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Y si queremos el área de una rebanada de una Y dad, solo
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integramos a lo largo de el eje X
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Vamos a integrar desde X = 0
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hasta X = 2
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Desde X = 0 a 2
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Bueno.
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Pero ahora no solo queremos averiguar el área debajo de
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la curva en una rebanada, una particular Y, queremos
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averiguar el área entera de la curva.
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Entonces lo que hacemos es decir : Bueno,
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El área debajo de la curva, no la superficie--- debajo de esta curva
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por una Y particular, es esta expresión
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Bueno, que tal si le doy un poco de profundidad
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Si multiplico esta área por DY entonces me daría un
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poco de profundidad, verdad?
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Tendríamos una rebanada en tercera dimensión
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de el volumen que nos preocupa
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Se que es difícil de imaginar
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Déjame traer esto aquí
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Entonces se tengo una rebanada aquí, hemos averiguado el área de
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una rebanada y después la estoy multiplicando por DY para
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darle un poco de profundidad
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Así que multiplica lo por DY para darle profundidad
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y después si queremos el volumen entero debajo de la curva
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sumamos todos los DYs juntos, y tomamos la suma infinita de estos
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infinitamente pequeños volúmenes
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Y integraremos desde Y=0
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a Y=1
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Se que este gráfico es un poco difícil de entender, pero tu
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puedes, si quieres, volver a ver el primer video
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Ahí tengo una superficie mas fácil de entender
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Ahora, como evaluamos esto?
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Bueno, como dije, lo evalúas desde
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el interior y vas hacia afuera
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...
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Es tomando una derivativa parcial en reversa
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entonces estamos integrando aquí con respecto a X, entonces podemos
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tratar a Y como un constante
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Como si fuera el numero 5 o algo asi
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Así que en realidad no cambia el integral
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entonces cual es el anti derivativo de XY cuadrado
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Bueno, el anti derivativo de XY cuadrado
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--quiero estar consistente en mis colores
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Bueno, el anti derivativo de X es
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X cuadrado divido entre 2
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Y después Y cuadrado es solo en constante verdad?
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y así no tenemos que preocuparnos de +c porque
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este es integral definido
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Y vamos a evaluar eso en 2 y 0
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y todavía tenemos el integral afuera
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son respecto a Y
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entonces cuando averigüemos eso, vamos a integrarlo
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desde 0 a 1 con respecto a DY
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Ahora, esto a que evalúa?
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Hay que poner un 2 aqui
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Y si pones un 2 ahí vas a obtener 2 cuadrado dividido por 2
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...
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Eso solo es 4 dividido entre 2
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entonces es 2Y cuadrado
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...
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menos 0 cuadrado sobre 2 multiplicado por Y cuadrado
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Bueno, eso solo va a ser 0
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entonces es menos 0
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No voy a escribir eso porque espero
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que ya sepas como hacerlo
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Solo evaluamos esto en los 2 puntos finales y
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me falta espacio
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entonces si evaluamos en 2Y cuadrado y ahora evaluamos
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la integral exterior
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0, 1 DY
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Y esto es algo importante de realizar
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cuando evaluamos este integral interior, recuerda
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que es lo que estábamos haciendo?
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Estábamos tratando de averiguar por una Y dada
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el área de esta superficie
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Bueno, no esta superficie, pero el área debajo de la superficie
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de una Y dada
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Para una Y dada, esta superficie se transforma en una curva
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y estamos tratando de averiguar el área debajo de esa curva
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en un sentido tradicional
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Esto termino siendo una función de Y
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Y eso tiene sentido porque dependiendo en que Y escogemos
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vamos a tener una área diferente aquí
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Obviamente, dependiendo en que Y escogemos, el area
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como una pared hacia abajo, esa es el área que cambiara
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entonces tenemos una funcion de Y, cuando evaluemos esto y
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ahora solo integramos con respecto a Y, esto solo es simplemente
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vanilla integración definida
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Cual es el anti derivativo de 2Y cuadrado?
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bueno, eso es igual a 2 por Y al tercero sobre 3
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o 2/3Y al cubo
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vamos a evaluar eso en 1 y 0, que
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es igual a--déjame ver
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1 al cubo por 2/3
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eso es 2/3
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menos 0 al cubo por 2/3
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bueno, eso solo es 0
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entonces igual a 2/3
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si nuestras unidades fueran metros esto seria 2/3 metros
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en cubos o metros cubicos
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pero ahi esta
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Asi es como evaluas un integral doble
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No hay una nueva habilidad aqui
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Solo tienes que saber como rastrear los variables
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Tratarlos constantemente
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Ellas necesitan ser tratados como constantes, y después
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como variables de integración cuando es apropiado
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De todos modos, te veré en el siguiente vídeo :)
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