-
Hopelijk voel je een beetje aan wat een dubbele
-
integraal is of hoe we het volume
-
onder een oppervlakte vinden.
-
Dus, laten we er eens écht gaan rekenen en dan denk ik dat het allemaal
-
wat conreter wordt.
-
Dus, zeggen we dat we de oppervlakte Z hebben en het is
-
een functie van x & y.
-
en dat is gelijk aan xy²
-
Het is een oppervlakte in een 3D ruimte.
-
En ik wil het volume weten tussen dit
-
oppervlak en het en het xy- vlak.
-
En het domein in het het xy-vlak waar het mij om gaat is
-
x is groter dan of gelijk aan 0, en kleiner dan of gelijk aan 2.
-
En y is groter dan of gelijk aan 0 en
-
kleiner dan of gelijk aan 1.
-
Laten we eens kijken hoe dat eruit ziet, zodat we er een
-
goed beeld bij hebben.
-
Dus ik heb het hier getekend en we kunnen dat roteren.
-
Dit is z is gelijk aan xy².
-
Dit zijn de begrensde ruimte, ok? x gaat van 0 tot 1;
-
y gaat van 0 to 1.
-
We willen letterlijk - je zou het bijna het
-
volume... - hoewel, niet bijna.
-
Exact zien als het volume onder dit oppervlak.
-
Tussen dit oppervlak, het bovenvlak, an het xy-vlak.
-
En ik draai hem rond zo dat je een beetje
-
een idee krijgt van het eigenlijke volume.
-
Laat ik hem eens roteren.
-
Ik zou de muis hiervoor moeten gebruiken.
-
Dus, het is de ruimte hieronder.
-
Het lijkt een geïmproviseerde tent, ofzo.
-
Ik zou hem iets kunnen roteren.
-
Wat er ook maar hieronder zit, tussen de twee vlakken --
-
dát is het volume.
-
Oeps, ik heb hem omgedraaid.
-
Hier is ie.
-
Dus dat is het volume waar het ons om gaat.
-
Laten we eens gaan uitvogelen en dan proberen we er
-
gaandeweg een beetje gevoel voor te krijgen.
-
Nou, ik ga een niet zo indrukwekkende versie tekenen van
-
die grafiek, maar ik denk dat het voor nu toereikend is.
-
Laat ik eens de assen tekenen.
-
Dat is mijn x-as, dat mijn y-as, en dat is mijn z-as.
-
x, y, z.
-
x gaat van 0 tot 2.
-
Laten we zeggen dat dit 2 is.
-
y gaat van 0 tot 1.
-
Dus nu nemen we het volume boven deze rechthoek
-
in het xy-vlak.
-
En dan het oppervlak. Ik doe mijn best om het te tekenen.
-
Ik zal het in een andere kleur tekenen.
-
Ik kijk naar het plaatje.
-
Van deze kant ziet het er ongeveer zó uit.
-
En het heeft een rechte lijn.
-
Laten we eens kijken of ik dit oppervlak kan tekenen als dat zo naar beneden gaat.
-
En als ik echt goed was, dan kon ik de schaduw tekenen.
-
Het ziet er ongeveer zo uit.
-
Als ik de schaduw teken ziet het er
-
ongeveer zo uit.
-
And dit is recht boven dit hier.
-
Dit is de linker onderkant en je kunt het bijna zien.
-
Dus, stel dat de bovenkant van het oppervlak geel is.
-
Dat is de bovenkant.
-
En dan is dit de onderkant.
-
Het gaat ons om het volume hieronder.
-
Laat me je het echte volume eens zien.
-
Dus, dit volume hieronder.
-
Ik denk dat je het idee wel snapt.
-
Zo, hoe doen we dat?
-
Nou, in het vorige voorbeeld, zeiden we, laten we een
-
arbitraire y nemen en voor die y uitvissen wat
-
de oppervlakte onder de kromme is.
-
Dus als we een y nemen -- als je de opgave zelf doet,
-
hoef je hierover niet zo gedetaileerd na te denken, maar ik wil dat je er
-
iets van gaat aanvoelen.
-
We nemen dus een willekeurige y hier.
-
Dus op die y -- zou je kunnen zeggen -- als we een vaste y hebben,
-
dan is de functie van x en y - je kunt het bijna als een functie van x en y zien.
-
Of sclechts x voor deze y
-
En zo zijn we min of meer de waarde van de
-
oppervlakte onder deze kromme aan het uitvogelen.
-
Je moet dit zien als een, soort van, op en neer kromme voor een gegeven y.
-
Dus als we een y weten, kunnen we erachter komen -- bijv. als
-
y = 5, wordt deze functie; z = 25x
-
En dan is het simpel om de waarde te vinden
-
van de kromme hieronder
-
Dus wij maken de waarde onder de kromme een functie van y.
-
Doen alsof het constant is.
-
Laten we dat doen.
-
Dus als we dx hebben, dat is onze verandering van x,
-
Dan is de hoogte van elke rechthoek
-
functie -- het wordt z.
-
De hoogte is z, als functie van x en y.
-
Nu kunnen we de integraal nemen.
-
Dus, de oppervlakte van elk van deze wordt onze functie,
-
xy² -- ik doe het even hier vanwege ruimtetekort.
-
xy² keer de breedte, dat is dx
-
En als we de oppervlakte van dit plakje willen weten voor een zekere y, dan
-
integreren we gewoon langs de x-as
-
we gaan integreren van x = 0
-
tot x = 2.
-
Van x = 0 tot 2
-
Prima.
-
Wel, we willen niet alleen maar de oppervlakte vinden onder
-
de kromme bij één plakje, voor één y-waarde, we willen
-
de hele ruimte onder de kromme weten.
-
Dus wat we doen is - zo van - OK, best.
-
De ruimte onder de kromme, niet het oppervlak -- onder deze kromme
-
voor een zekere y, dat is deze vergelijking.
-
Wat als ik er wat meer inhoud aan geef?
-
Als ik dit oppervlak vermenigvuldig met dy, dan moet met dat
-
een beetje inhoud, toch?
-
We hebben een soort van 3d-plak
-
van het volume waar het ons om gaat.
-
Ik weet dat het lastig voor te stellen is.
-
Brengen we deze hier.
-
Ik had dus een plak hier. We hebben de oppervlakte van die
-
plak gevonden en nu vermenigvuldig ik dat met dy om er
-
inhoud aan te geven.
-
Dus door te vermenigvuldigen met dy geef ik er inhoud aan.
-
En als we dan het hele volume onder de curve willen, tellen
-
we alle dy's bij elkaar op, en nemen de oneindige som van deze
-
oneindig kleine volumes.
-
Met andere woorden, we integreren van y = 0
-
tot y = 1.
-
Ik snap dat deze grafiek een beetje moeilijk te begrijpen is, maar je
-
kan altijd de eerste video nog een keer bekijken.
-
Daar had ik een iets eenvoudiger te begrijpen oppervlak.
-
Dus, hoe gaan we dit uitwerken nu?
-
Nou, zoals we zeiden, je werkt uit vanaf
-
de binnenkant en werkt naar buiten.
-
Net als een partiele afgeleide, maar dan andersom.
-
Hier integreren we over x, dus we kunnen
-
y als een constante behandelen.
-
Net alsof het een getal is, 5 ofzo.
-
Het heeft geen invloed op de integraal.
-
Wat is dan nu de integraal van xy²?
-
Welnu, de integraal van xy², -- laat ik eerst
-
zorgen dat ik met de kleuren consistent blijf.
-
De integraal van x is dus, x tot de macht een half,..
-
sorry, x² delen door 2.
-
En y² is dan gewoon een constante, toch?
-
En we hoeven geen rekening te houden met 'plus C', omdat
-
dit een bepaalde integraal is.
-
En dat werken we uit op 2, en op 0.
-
Dan hebben we nog steeds de buitenste integraal
-
welke y betrekt.
