Introduction to interval notation

在这个视频里，我希望

让大家熟悉区间的表达。

讨论我们表示区间的一些方法。

或者说区间的表示法。

这里，我们有一个数轴。

我要来讲讲这个

数轴上从 -3 到 2 的区间

我关心--让我用不同的颜色。

我关心的区间就在这里。

我关心从 -3 到 2 的所有的数。

要表达得更精确，我必须讲明白，

我是要包括 -3 和 2

还是不包括 -3 和 2。

或者，是不是只包括它们中的一个。

如果我要包括 -3 和 2，

我就要把它填满，

就在这里，我要把-3 和 2 填满。

意思是 -3 和 2

是这个区间的一部分。

如果包含端点，

我们叫它闭区间。

闭区间。

我刚才已经演示过，

我怎样通过在一个数轴上填充端点来表示它。

有许多种方法

对区间进行数学表达。

我要说，

这个数轴，

表示 x 的不同的值。

这些是所有的

介于 -3 和 2 之间的 x 。

注意，这里 -3 小于等于 x ,

这告诉我们 x 可以等于，

x 可以等于 -3。

然后，x 小于等于 +2，

意思是 x 可以等于+2。

所以，这是个闭区间。

还有另一种表示闭区间的方法，

我们讨论区间时，

我们可以用方括号，

因为它是个闭区间，

-3 和 2，再说一次，

这里我用方括号，这些方括号告诉我们

区间包括，这个左边的方括号表示

我们的区间包括 -3，而右边的方括号

表示我们的区间包括 2。

有时，你还会看到一些表达方式

更加富有数学意味。

你可能会看到， x 是这样的一些实数中的一个数，

我可以在这里加上大括号。

这些大括号表示，

我们是在讨论数值的组合，

我们说所有 x 的集合，

而 x 是实数里面的一个数。

这只是一种高深的数学表达。

它是实数中的一个数，

这里我用了希腊字母 ϵ 。

它是 这样的实数里的一个数，

这个竖线意思是“这样的”，

-3 小于 ，

-3 小于等于 x

x 小于等于 2。

我也可以把它写成这种形式。

x 是这样的实数中的一个数，

x 是这个闭式组合中的一个数

我把端点包括在内。

以上就是各种

表示同一区间的不同方式。

让我们举更多的实例。

我再画一个数轴，

一个数轴。

这回，我们做一个开区间。

一个开区间，我们

可以清楚地看到它们的不同。

我们来讨论

在 -1 和 4 之间的数。

让我用不同的颜色。

在 -1 和 4 之间的数值，

但是我不想包括 -1 和 4.

这将是一个开区间。

我不想包括 4，

也不想包括 -1。

注意，我在这里画一个空心圆。

这里是一个实心圆，实心圆告诉我们

我把 -3 和 2 包括在内。

现在，这里是空心圆，意思是，

在 -1 和 4 之间的所有的数值。

包括 -0.999999

但不包括 -1。

包括 3.9999999，

但不包括 4。

那么，我们怎么--

我们怎样表示呢？

我们可以说，x 是这样的一些实数中的一个数，

这些实数， -1 --

我不能说小于等于，

因为 x 不能等于 -1。

-1 要严格地小于 x 。

x 要严格地小于 4。

注意，不是小于等于，

因为它不能等于 4，4不能被包括在内。

这是一种表达方式。

另一种方式，我写在这里。

x 是这样一些实数中的一个，

x 是一个--

现在区间是 -1 到 4。

但是我不应该用方括号。

方括号的意思是，嗨，让我把端点包括在内。

但是我不想包括它们。

所以我要在这里使用圆括号。

圆括号。

它的意思是，我们正在与开区间打交道。

就是这里，让我来把它写清楚。

这是一个开区间。

现在，你或许会想到，这个区间，

两个端点都包括在内，是个闭区间。

而这个区间，两个端点都不包括在内，

它是个开区间。

可不可以有这样的区间，一个端点包括在内，

而另一个端点不包括在内呢？答案是一定可以。

让我们看一个这样的例子。

这里，再做一个数轴。

另一个数轴。

我们要--

让我用另一种方法。

我先写出它的数学表达，然后再作图。

我们在考虑所有的 x ,

它是一些实数中的一个数，

-4 不包括在内，-4 小于 x,

x 小于等于 -1。

现在，-1 被包括在内。

我们不想包括 -4，

-4 严格地小于，

而不是小于等于 x ,

x 不能等于-4 ，这里是空心圆。

但是 x 可以等于 -1。

它要小于等于 -1 。

它可以等于 -1。

所以这里我要把它填满。

这些实数就在这两者之间的每一个数。

如果我想用这种方法表示，我可以这样写，

x 是这样的一些实数中的一个数，

x 是这个区间中的一个数，

它在 -4 和 -1 之间

但是我们不包括 -4，

这里我们用空心圆，

这里我们用圆括号。

但是我们要包括 -1 ，

我们要包括 -1 。

所以，这里我们用方括号。

这就是它的表达式。

现在，你还可以有其他

的区间表达方式。

你可以说，嗨，我要不包括某些数的其他所有的数。

我们举另一个例子。

这里是另一个例子。

我们要考虑除了 1 以外的

所有实数。

我们要包括所有的实数，

所有的实数，但是 1 除外。

1 除外， 这里，这个 1 不能包括在内。

空心圆，但是可以是其他任意一个数。

那么，我们怎样来表示呢？

我们可以这样写，x 是这样的一些实数中的一个数，

这些实数不等于 1。

我在说，x 是这样的一些实数中的一个数，

但是 x 不能等于 1 。

它可以是不等于 1 的任何其他的数。

还有其他的表达方式来表示同样的区间。

你可以说，x 是这样的一些实数中的一个数，

这些实数小于 1，

或者大于 1。

你可以这样写。

你还可以做更有意思的事情。

这是我喜欢用的方式，这是最简短的一种方式。

而且表达得非常清楚。

你可以说，嗨，除了 1 之外的所有数。

但你也可以做更花哨的事情，比方说

x 是这样的一些实数中的一个数，

x 是一个从负无穷到 1 的集合中的一个数，

但不包括 1， 或者 x 是一个集合

或者区间中的一个数，这个区间从 1，

但是不包括 1，一直到，

一直到正无穷。

当我们说到负无穷

或正无穷，你总是要用圆括号。

这是因为你永远不可能包含

到无穷的所有的数。

需要至少在那个端点是开放的。

因为无穷就是一直继续下去。

所以，对于无穷或者负无穷，

你一定要用圆括号。

实际上，这不是个端点。

它永远继续延申下去。

你要用开区间的表达方式。

至少在那一端，要用开区间的方式。注意，我们不包括

我们也不包括 1，所以 x 是

这个区间，或者那个区间中的一个数。

实质上就是，x 可以是除了 1 之外的任何数。

这是最简洁的

表达方式。