45-45-90 Triangle Side Ratios

У прошлом снимку смо показали да је однос страница у троуглу са угловима 30-60-90, под претпоставком

да је најдужа страница x, хипотенуза је x, онда је најкраћа страница два пута краћа од x, а средња страница,

она која је наспрам угла од 60 степени, једнака корен из три пута x са два.

Још један начин је да замислимо да, ако је најкраћа страница један, ја ћу да нацртам најкраћу страницу, па средњу

па најдужу страницу. Дакле, ако је страница наспрам угла од 30 степени једнака 1 тада је страница наспрам

угла од 60 степени, корен из три пута толико. То ће бити корен из три, а сада ће

хипотенуза бити два пута дужа. У прошлом снимку смо кренули са x и рекли да је наспрам угла од 30

степени страница дужине x са 2, али ако је страница наспрам 30 степени један, онда ће ова страница бити дупло већа,

биће 2. Ово је страница наспрам угла од 30 степени, наспрам 60 степени је ова страница,

а хипотенуза је наспрам угла од 90 степени.

Уопштено, ако имамо троугао који има такав однос страница, можемо да кажемо: "Хеј, ово је троугао са угловима 30-60-90."

Или, ако имамо троугао за који знамо да су углови 30-60-90, можемо да кажемо: "Хеј, ми знамо да одредимо

странице на основу овог односа овде", на пример:

ако видимо троугао који је као овај, где су странице 2, 2 корена из 3 и 4.

Још једном однос 2 и 2 корена из 3 је 1 корен из 3

Однос 2:4, је исто као и 1:2, па ово мора да буде троугао са угловима 30-60-90.

Са чиме сам још желео да вас упознам у овом снимку је једна важна врста троугла која нам пуно значи

у геометрији и много у тригонометрији. То је троугао са угловима 45-45-90.

Други начин је да посматрамо правоугли трогао који је истовремено и једнакокраки,

значи једнакокрако-правоугли троугао.

Наравно да не постоји правоугли троугао који је једнакостраничан,

зато што једнакостранични троугао има све, сви његови углови су по 60 степени.

Међутим, можемо да имамо прав угао, можемо да имамо правоугли троугао који је једнакокраки.

Једнакокраки, хајде да напишем, ово је једнакокраки-правоугли, је-дна-ко-кра-ки... троугао

Ако је једнакокраки то значи да су две странице једнаке.

Дакле, ове две странице су једнаке.

Ако су две странице једнаке, доказали смо да су тада углови на основици једнаки.

Ако означимо меру угла на основици са x, тада треба да је x+x+90

једнако са 180. x плус x плус 90 треба да је 180.

Ако одузмемо 90 са обе стране, добићемо да је x плус х је 90

Или, 2x је 90 или ако поделимо обе стране са 2 добићемо да је x једнако 45 степени.

Дакле, једнакокрако-правоугли троугао можемо да зовемо, и то је типичан назив:

можемо да га зовемо 45-45-90 троугао.

Шта желим сад да урадим, то је да видимо шта је са односом страница

у 45-45-90 троуглу, као што смо урадили за троугао 30-60-90.

И ово је заправо очигледније.

Знамо да је у сваком 45-45-90 троуглу, ако назовемо сваку, ако назовемо један крак

x, тада ће и други крак бити x.

Сада можемо да искористимо Питагорину теорему да одредимо дужину

хипотенузе.

Нека дужину хипотенузе означимо са С.

Имамо x на квадрат + x на квадрат, то су квадрати дужина оба крака.

Па када их саберемо, добићемо да је збир једнак С на квадрат.

То следи директно из Питагорине теореме.

Имао да је 2x на квадрат једнако са С на квадрат, С на квадрат.

Можемо да коренујемо обе стране.

Хоћу променим у жуту, а никако ми не да, ОК.

Добро, С на квадрат, сада ћемо кореновати обе стране.

Кореноваћемо обе стране.

Са леве стране корен из 2 остаје корен из 2.

Корен из x на квадрат ће бити само x.

Имаћемо x пута корен из два да је једнако... једнкако са С.

Дакле, ако имамо једнакокрако-правоугли троугао, без обзира колики су му краци,

они ће бити исте дужине, зато је и једнакокраки.

Хипотенуза ће бти корен из два пута толико.

Дакле, С је једнако са x корена из два.

Ако, на пример имамо троугао који изгледа овако.

Хајде да нацртам мало другачије.

Увек је добро да умемо да се снађемо сваки пут на различите начине.

Дакле, ако видимо троугао који има 90 степени, 45 степени и 45 као овај,

и у ствари увек треба само да знамо два угла да би одмах знали колики ће

бити трећи угао.

Ако нам кажу да је ова страница овде 3.

Не треба ни да вам кажем да ће и ова странца бити исто 3.

Ово је једнакокраки троугао, па два крака морају да су једнака.

Не треба чак ни да примените Питагорину теорему, ако ово знате,

и ово је добро да знате.

Да ће хипотенуза, ова страница која је наспрам 90 степени

имати дужину корен из два пута по дужина крака.

То ће бити три корена из два.

Дакле, однос страница и хипонетузе у троуглу 45-45-90

тј. у једнакокрако-правоуглом троуглу,

однос страница је: један крак може да буде 1,

тада ће и други крак бити исте мере, исте дужине.

Хипотенуза ће бити корен из два пута било која од њих.

Један, један и корен из два.

Дакле, то је 45-45-90, хајде да запишем... ово је 45-45-90.

Ово је однос. Само да се подсетимо, ако имате 30-60-90

однос страница је 1 према корен из три према два.

Сада то можете да примените у гомили проблема.