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No último vídeo, tínhamos este retângulo
e usamos uma integral tripla
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para achar seu volume.
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Sei que provavelmente pensou:
"eu poderia ter usado a minha geometria
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básica e multiplicado a largura
pela altura e pela profundidade".
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Isso é verdade porque esta
é uma função constante.
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Uma vez que integramos em relação a z,
ficamos com uma integral dupla
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que é exatamente o que teria feito
nos últimos vídeos quando aprendemos
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a calcular o volume embaixo
de uma superfície.
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Mas fizemos uma mudança
no final do vídeo.
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Dissemos: "você poderia ter calculado
o volume deste domínio retangular
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de forma direta. Mas e se o nosso objetivo
não fosse calcular o volume?"
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O nosso objetivo era calcular
a massa deste volume
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e, ainda, dizer qual era o material
-- se o volume era de um gás
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ou de um sólido --
a densidade não é constante.
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Agora, a massa fica --não sei--
mais interessante de calcular.
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E definimos uma função de densidade.
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Rho, que parece a letra p
com a parte de baixo mais curva,
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nos dá a densidade em qualquer ponto.
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No final do vídeo dizemos:
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"O que é massa?".
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Massa é densidade vezes o volume.
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Você poderia ver de outro jeito.
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Densidade é o mesmo
que massa dividido por volume.
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A massa ao redor de um ponto muito,
muito pequeno, o qual chamamos de d massa,
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o diferencial da massa,
será a densidade naquele ponto.
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Ou a densidade exatamente naquele ponto
vezes o diferencial de volume ao redor
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daquele ponto vezes o volume
deste pequeno cubo.
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Como vimos no último vídeo,
se você está usando
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as coordenadas retangulares,
este diferencial de volume poderia ser
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a distância em x vezes a distância
em y vezes a distância em z.
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A densidade era a nossa função
de densidade, definida por x, y e z,
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e queríamos calcular a massa deste volume.
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Digamos que as nossas coordenadas x, y e z
-- os seus valores-- estão em metros
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e a densisade é em quilogramas
por metros cúbicos.
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Nossa resposta será em quilogramas.
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E essas são unidades SI.
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Vamos calcular a massa deste volume
com densidade variável.
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Temos a mesma integral aqui.
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O diferencial de massa será este valor.
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Vamos escrever isso.
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É x --quero garantir
que não ficarei sem espaço--
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É xyx vezes -- e vou integrar
em relação a dz primeiro. --
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Mas você pode alterar a ordem.
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Talvez faremos isso no próximo vídeo.
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Faremos dz primeiro,
depois dy e depois dx.
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Mais uma vez, isto é a massa
em qualquer diferencial de volume.
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Se integramos z primeiro,
dissemos que z varia em que intervalo?
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Os valores de z varia de zero a dois.
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Y varia de zero a quatro.
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E x varia de zero a três.
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Como calculamos isso?
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Qual é a antiderivada
-estamos integrando em relação a z-
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Qual é a antiderivada
de xyz em relação a z?
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Vejamos.
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Isto é uma constante, então ficará xyz
ao quadrado sobre dois.
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Certo?
Sim, está certo.
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Vamos avaliar de dois até zero.
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Você obtém -- eu sei
que ficarei sem espaço.
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Você obterá dois
ao quadrado, que é quatro,
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divido por dois, que é dois.
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É dois xy menos zero.
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Quando você calcular isso,
obteremos dois xy
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e agora faltam as outras duas integrais.
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Não escrevi as outras duas integrais.
Talvez escreverei. Restam duas integrais.
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Restam o dy e o dx.
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Y vai de zero a quatro,
e x vai de zero a três.
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Eu realmente vou ficar sem espaço.
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Agora, você calcular a antiderivada
disso em relação a y.
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Qual é a antiderivada disso
em relação a y?
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--Deixe-me apagar algumas coisas
para não fazer uma confusão.--
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Deram-me a boa sugestão
de rolar, mas não rolei o suficiente.
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Acho que posso deletar isso aqui.
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Deletei um pouco a mais.
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Mas você sabe o que eu deletei.
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Ok, vamos calcular a antiderivada
em relação a y.
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Vou começar aqui em cima
onde tenho espaço.
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A antiderivada de dois xy em relação a y
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é y ao quadrado sobre dois;
os dois se cancelam.
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Você obtém xy ao quadrado.
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E y vai de zero a quatro.
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Ainda temos que calcular
a integral de fora.
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X vai de zero a três dx.
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Quando y é igual a quatro,
você obtém 16 x.
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Quando y é zero, tudo isso é zero.
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Você integra 16 x de zero a três dx.
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Isso é igual a que?
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Oito x ao quadrado.
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Você avalia de zero a três.
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Quando é três, oito vezes nove é 72.
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E oito vezes zero é zero.
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A massa da nossa figura -- o volume
que calculamos a última vez
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foi 24 metros cúbicos.--
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Eu apaguei, mas se você viu
o último vídeo, isso foi o que aprendemos.
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Mas a sua massa é 72 quilogramas.
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Fizemos isso integrando esta função
de densidade de três varáveis
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-- esta função de três variáveis.
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Ou em três dimensões você pode ver isso
como um campo escalar, certo?
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Em qualquer ponto há um valor,
mas não uma direção.
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E esse valor é uma densidade.
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Mas nós integramos
o campo escalar deste volume.
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Esse é a habilidade que ganhamos
com a integral tripla.
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No próximo vídeo mostrarei como montar
integrais triplas mais complicadas.
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A grande dificuldade
com integrais triplas é --
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acho que seu professor
fará isso várias vezes--
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quando calcular integrais triplas,
a menos que você tenha uma figura simples
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como essa, o cálculo-- se você quisesse
analiticamente avaliar uma integral tripla
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com limites de integração
mais complicados,
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ou mais complicadas
que uma função de densidade--
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A integral fica complicada.
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Geralmente é muito difícil
ou muito demorado
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para avaliá-la analiticamente
usando os métodos de cálculo tradicionais.
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Verá que em muitas provas de cálculo,
quando começam a fazer a integral tripla,
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apenas pedem para você montá-la.
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Ele acreditam que você fez tantas
integrais triplas que você é capaz
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de calcular a antiderivada.
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Às vezes, se eles quiserem
te dar algo mais complicado,
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dirão para trocar a ordem.
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Esta é a integral
com a qual estamos lidando,
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em relação a z, e a x, e a y.
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Queremos que reescreva a integral
quando muda a ordem.
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Faremos isso no próximo vídeo.
Te vejo mais tarde.
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[Legendado por: Pilar Dib]
[Revisado por: Tatiana F. D'Addio]
