Implicit differentiation when x and y are functions of t

Aşağıdakı tənlikdə diferensiallanan

x və y funskiyaları verilib.

sinus(x) üstəgəl kosinus(y)

kök altında 2-yə bərabərdir.

Həmçinin bizə x-in t-yə görə törəməsinin

5 olduğu verilib.

y pi bölünsün 4-ə bərabər, x 0-dan böyük

və pi bölünsün 2-dən kiçik olduqda,
bizdən y-in t-yə görə

törəməsi soruşulur.

Bizə x-in t-yə görə törəməsi verilib və

y-in t-yə əsasən törəməsi

istənilir,

x və y t-dən asılı funksiyalardır.

Bu tənliyi belə də yaza bilərsiniz.

Belə ki, sinus(x(t))

üstəgəl

kosinus(y(t)),

o da bərabərdir

kök altında 2-yə.

Bir az qarışdıra bilərsiniz,

siz x-i 3-cü dəyişən kimi və ya

y-i, x-dən fərqli funksiyadan
asılı olmasını

görməmisiniz.

Amma burada x və y dəyişənlərdir.

x(t) və y(t) əvəzinə burada

f(t) və ya g(t) də yazıla bilər,

bu sizə bir az daha təbii
görünə bilər.

dy böl dt-ni tapmaq üçün

bərabərliyin hər iki tərəfinin t-yə
əsasən

törəməsini almalıyıq.

Gəlin edək.

Solda bunu edəcəyik,

yəni t-yə görə

törəməsini alırıq.

t-yə əsasən hər tərəfin törəməsini alırıq.

Daha sonra sağ tərəfin də

törəməsini alırıq.

Gəlin bunlar haqqında düşünək.

Bu nədir.

Başqa rənglə edək.

Burada mavi rənglə göstərdiyim hissəni

necə yaza bilərik?

t-yə görə törəməsini tapırıq,

Sinus funksiyamız var və o da
t-dən asılıdır.

Zəncir qaydasını bura tətbiq edə bilərəm.

Birinci, x-ə görə sinus(x)-in

törəməsini

tapacam, sinus(x(t)) kimi də yaza bilərəm,

amma əvvəl verildiyi kimi sinus(x) kimi

yazacam.

Daha sonra onu ifadənin içinin törəməsinə

vuracam, t-yə əsasən törəməsini

x-in t-yə əsasən törəməsinə vuracam.

xs və ys üçün zəncir qaydasını

tətbiq etməyimiz

bir az məntiqsiz gələ bilər,

ancaq bu da mövcuddur,

x-ə əsasən sinusun törəməsini

tapırıq,

sonra isə t-yə əsasən

x-in törəməsini tapırıq.

Burada eynisini edə bilərik,

2-ci hissədə.

y-ə əsasən bunun törəməsini

alırıq, ifadənin çölü kimi də nəzərdə
tuta bilərsiniz,

kosinus(y),

onu t-yə əsasən y-in törəməsinə

vururuq.

Bunların hamsı nəyə bərabər olacaq?

Sabitin, yəni kök altında 2-nin

t-yə görə törəməsi

t-yə görə dəyişmir deyə

0 olacaq.

İndi isə bunu

həll etməliyik.

İlk olaraq, x-ə əsasən

sinus(x)-in törəməsi, kosinus(x) vurulsun

x-in t-yə görə törəməsinə bərabərdir.

x-in t-yə əsasən törəməsi.

Burada üstəgəl olacaq,

y-in t-yə əsasən törəməsi.

Beləliklə, üstəgəl y-in t-yə görə
törəməsi.

Sadəcə ardıcıllığını
dəyişirəm,

bu qarşıya keçir.

y-ə görə kosinus(y)-in törəməsi
nə edir?

Bu, mənfi sinus(y) olacaq.

Bura sinus(y) yazıram,

bunu da mənfi edirəm.

Bunu silib mənfi işarəsi əlavə edirəm.

Bunların hamsı 0-a bərabər olur.

İndi bunu necə həll edə bilərik?

Bizə deyilib ki, t-yə görə x-in

törəməsi 5-dir, burada verilib.

Bu, 5-ə bərabərdir.

t-yə görə y-in törəməsini tapmalıyıq.

y-in nəyə bərabər olduğu bizə verilib,
y pi böl 4-ə bərabərdir.

Yəni bu pi böl 4-ə bərabərdir.

Bunu həll etməliyik,

burada iki qeyri-müəyyən ifadə var.

y-in t-yə görə törəməsinin və x-in

nəyə bərabər olduğunu bilmirik.

Bunu həll etməliyik.

x neçə ola bilər?

y pi böl 4 olduqda x neçə ola bilər?

Geri qayıdıb

bizə verilmiş tənlikdən x-i tapa
bilərik.

y pi böl 4 olduqda,

gəlin yazaq.

Sinus(x)

üstəgəl kosinus(pi böl 4)

kök altında 2-yə bərabərdir.

Kosinus(pi böl 4),

çevrəni yadımıza salaq.

Birinci rübdəyik.

Dərəcə olduğunu nəzərə alsaq,

45 dərəcə olur, yəni kök altında 2,
bölünsün 2.

İndi kök altında 2-dən, kök altında 2
bölünsü 2-ni

çıxa bilərik,

kök altında 2-dən, kök altnda 2 böl 2-ni

çıxmaqla onun yarısını çıxmış olduq,

yəni onun yarısı

qalır.

Yəni kök altında 2 bölünsün 2.

x-in hansı qiymətində
sinus buna bərabər olur,

dərəcələri xatırlayaq,

birinci rübdə olduğumuzu

nəzərə alsaq, x bu bucaq aralığında

olacaq.

Bu da yenidən pi böl 4 edəcək.

Bu o deməkdir ki, y pi böl 4-ə
bərabər olduqda,

x də pi böl 4-ə bərabər olur.

Artıq bunun da pi böl 4 olduğunu
bilirik.

Gəlin bura yazaq,

çünki bir az qarışıq oldu.

5 vurulsun

kosinus(pi böl 4)

çıxılsın

dy böl dt, yəni t-yə görə y-in
törəməsi,

indi bunu tapmalıyıq,

o da vurulsun sinus(pi böl 4),

hamsı 0-a bərabərdir.

Aydın olsun deyə bura

mötərizələr əlavə edəcəm.

Gəlin baxaq.

İndi cəbrdən istifadə edəcəyik.

Kosinus(pi böl 4),

bunun kök altında 2 bölünsün 2 olduğunu
artıq bilirik.

Sinus(pi böl 4) də həmçinin kök altında 2
bölünsün 2-yə bərabərdir.

Hər iki tərəfi kök altında 2 bölünsün 2-yə

bölsək, nə baş verər?

Bu bizə nə verəcək?

Belə ki, kök altında 2 bölünsün 2,

bölünsün,

kök altında 2 böl 2,

bu da 1 edəcək.

Kök altında 2 böl 2,

bölünsün, kök altında 2 böl 2,
1 edəcək.

0 bölünsün, kök altında 2 böl 2,

elə 0 edəcək.

Bu da 5 vurulsun 1 olur,

elə 5 edəcək,

çıxılsın t-yə əsasən y-in törəməsi,

bərabərdir 0-a,

bu qədər.

Hər iki tərəfə y-in t-yə əsasən
törəməsini əlavə etsək,

y-in t-yə əsasən törəməsi

5 olacaq.

x-in t-yə görə törəməsi 5 olduqda,

y pi böl 4-ə

bərabər olacaq.