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Introduction to slope

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    直線をグラフ上に示そうとすると
  • 0:02 - 0:04
    それぞれの直線には違いがあることに
    気づくでしょう
  • 0:04 - 0:08
    例えばこの
    ピンクまたはマジェンタ色の直線は
  • 0:08 - 0:10
    青色の直線よりも傾斜が急です
  • 0:11 - 0:14
    これから一緒に見ていきたいのは
    傾斜の程度です
  • 0:14 - 0:17
    その直線がどれくらい急なのか
    どれくらい早く傾斜が増える又は減るのか
  • 0:17 - 0:19
    と傾斜について考えることは
  • 0:19 - 0:22
    数学の世界において
    とても役立つものです
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    できれば それぞれの直線に
    いやこの２つだけでなく
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    他のどんな直線にも
    どれくらい急なのか
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    どれくらい早く傾斜が増える
    又は減るのかを
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    数値で示すことができれば良いなと思います
  • 0:34 - 0:36
    それを合理的にやるには
    どうすれば良いでしょうか
  • 0:36 - 0:37
    直線の傾斜を合理的に数値で示すには
  • 0:37 - 0:40
    どうしたら良いでしょうか
  • 0:41 - 0:43
    一つの方法はですね
    ある直線が
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    水平方向にある一定の単位増えるごとに
  • 0:48 - 0:49
    垂直方向には
  • 0:49 - 0:52
    どれぐらい増えるかと
    考えることです
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    ではこれを書き出してみましょう
  • 0:54 - 0:57
    例えばこのように
  • 0:57 - 0:59
    分子に垂直方向の増加量を
    分母に水平方向の増加量を
  • 1:00 - 1:02
    書き入れると
  • 1:02 - 1:05
    一定の水平方向の増加量に対する
  • 1:05 - 1:08
    垂直方向の増加量を示すことができます
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    ある一定の水平方向の増加に対し
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    垂直方向にどれだけ増加するか
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    この式を使って得る数値とは
    どんなものか見ていきましょう
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    マジェンタ色の直線を見てみましょう
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    どこでもいいので適当に直線上の点を選んで
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    そこからスタートします
  • 1:24 - 1:25
    どこでもいいとは言っても
  • 1:25 - 1:26
    目盛りを読むのが簡単な点を選びましょう
  • 1:26 - 1:29
    目盛りを読むのが簡単な点を選びましょう
  • 1:29 - 1:31
    例えばここから始めるとして
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    そして水平方向に
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    1 単位増えると--
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    右方向に 1 進み
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    直線に戻るためには
  • 1:40 - 1:42
    垂直方向にどれだけ増やさないと
    いけないでしょうか？
  • 1:43 - 1:46
    垂直方向には 2 増やさないといけません
  • 1:47 - 1:48
    2 増やさないといけません
  • 1:48 - 1:49
    このマジェンタ色の直線に関しては
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    水平方向に 1 増えるたびに
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    垂直方向の増加量は
  • 1:55 - 1:56
    2 のようです
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    別の点からスタートしても
    同じことが言えるでしょうか
  • 2:02 - 2:03
    例えばここからスタートして
    今度は水平方向に 1 増やすのではなく
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    今度は水平方向に
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    そうだな
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    水平方向に 3 増やしてみましょう
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    水平方向の増加量は + 3 です
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    水平方向の増加量は + 3 です
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    そして直線に戻るためには
  • 2:14 - 2:16
    垂直方向にどれだけ
    増やさないといけないでしょうか
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    垂直方向には
    1 2 3 4 5 6
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    6 増やさないといけません
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    垂直方向の増加量は + 6 です
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    水平方向に 3 増えるのに対し
  • 2:28 - 2:30
    水平方向に 3 増えるのに対し
  • 2:31 - 2:33
    垂直方向には 6 増えます
  • 2:33 - 2:35
    水平方向の一定の増加に対する
  • 2:35 - 2:36
    垂直方向の増加はどれだけかを測ってみよう
  • 2:36 - 2:37
    というのが
    この式によって得られる数値です
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    1 分の 2 は
    単に 2 と同じです
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    そして 3 分の 6 も同じです
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    この直線上のどの点からスタートしたとしても
  • 2:45 - 2:47
    この直線上のどの点からスタートしたとしても
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    水平方向にある一定の量増やしたら
  • 2:51 - 2:53
    水平方向にある一定の量増やしたら
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    垂直方向には
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    その 2 倍増える
  • 2:57 - 2:59
    垂直方向には
    その 2 倍増える
  • 2:59 - 3:01
    垂直方向には
    その 2 倍増える
  • 3:02 - 3:04
    このように
  • 3:04 - 3:06
    垂直方向の増加量を
    水平方向の増加量で割ることによって
  • 3:06 - 3:09
    数学者は直線の傾斜を表しました
  • 3:09 - 3:10
    そしてこれが
  • 3:11 - 3:13
    傾き（勾配）
    と呼ばれるものです
  • 3:13 - 3:15
    ですから これは
    直線の傾き（勾配）と呼ばれます
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    おそらくみなさんは
    スキー場で
  • 3:18 - 3:22
    勾配という言葉を聞いたことがあるでしょう
  • 3:22 - 3:24
    それはスキー場は場所ごとに
    一定の勾配になっているからです
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    急な勾配のところもあれば
    緩やかな勾配のところもあります
  • 3:27 - 3:29
    ですから傾き（勾配）とは
    傾斜がどれだけ急かを示すものです
  • 3:30 - 3:33
    そして数学の慣習では
    その傾斜の具合は
  • 3:33 - 3:35
    水平方向の一定の増加量に対する
    垂直方向の増加量を測ることによって示します
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    1 分の 2 は 3 分の 6 に等く
  • 3:39 - 3:41
    それは 2 です
    この 2 というのが
  • 3:41 - 3:42
    マジェンタ色の直線の
    傾き（勾配）です
  • 3:45 - 3:46
    では書いておきましょう
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    この直線の傾き（勾配）は
  • 3:51 - 3:53
    2 です
  • 3:53 - 3:55
    見方を変えると
  • 3:55 - 3:57
    水平方向の増加量がどれだけであっても
  • 3:57 - 3:58
    垂直方向の増加量は
    その 2 倍
  • 3:58 - 4:01
    と言うことができます
  • 4:02 - 4:03
    では この青色の直線についてはどうでしょうか
  • 4:03 - 4:05
    青色の直線の傾き（勾配）は何でしょう？
  • 4:05 - 4:08
    今度はみなさんに
    他の表示を紹介しましょう
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    数学で傾き（勾配）を表すときに
    よく見かける表示です
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    これは数学者が傾き（勾配）を示すのに
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    慣習的に使った表示の仕方ですが
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    知っておく価値があります
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    水平方向の変化量に対する
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    垂直方向の変化量はどれだけか？
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    ここでみなさんに新しい記号を紹介します
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    垂直方向の変化量は
  • 4:27 - 4:28
    この座標においては
  • 4:28 - 4:30
    y 軸で示されますので
    Δy と書きます
  • 4:31 - 4:33
    割ることの
    水平方向の変化量
  • 4:34 - 4:35
    水平方向の座標は
    この座標平面では x で表されているので
  • 4:36 - 4:40
    Δx と書きます
  • 4:40 - 4:42
    ちょっと待ってよ！
    変化量と言いながら 何で三角の記号を書くの？
  • 4:42 - 4:43
    と思った人もいるでしょう
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    この記号はギリシャ文字の「デルタ」です
  • 4:46 - 4:48
    このギリシャ文字の「デルタ」は
  • 4:48 - 4:52
    数学では変化量を表すのに使われます
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    これは「デルタ」です
  • 4:57 - 4:59
    これを文字で書くと
    y の変化量
  • 5:00 - 5:02
    y の変化量
  • 5:02 - 5:04
    割ることの
    x の変化量
  • 5:05 - 5:07
    ということです
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    ですから青色の直線の傾き（勾配）を求めるには
  • 5:09 - 5:12
    x の一定の変化量に対する
    y の変化量はどれだけか
  • 5:12 - 5:13
    を求めれば良いということです
  • 5:14 - 5:16
    それで青色の直線の傾き（勾配）は--
  • 5:17 - 5:20
    いや やっぱりこうしよう
  • 5:24 - 5:26
    直線上のある点から始めましょう
    例えばここから始めて
  • 5:26 - 5:28
    例えば の変化量が 2 だとしましょう
  • 5:28 - 5:32
    Δx （デルタ x）が + 2 です
  • 5:32 - 5:33
    では Δy （デルタ y）は何でしょうか？
  • 5:33 - 5:35
    y の変化量はどれだけですか？
  • 5:35 - 5:37
    ここから右に 2 進んで
  • 5:37 - 5:38
    また直線に戻るためには
  • 5:38 - 5:40
    y 方向に 2 増やさないといけませんから
  • 5:40 - 5:44
    y の変化量もまた
    +2 ということになります
  • 5:45 - 5:46
    ですからこの青色の線の傾き（勾配）は
  • 5:47 - 5:48
    ですからこの青色の線の傾き（勾配）は
  • 5:49 - 5:52
    つまり y の変化量
    割る x の変化量です
  • 5:53 - 5:55
    今さっき見たとおり
    x の変化量が +2 の時
  • 5:56 - 5:58
    y の変化量も +2 ですから
  • 5:59 - 6:01
    この直線の傾きは
    2 割る 2 で
  • 6:01 - 6:02
    1 ということになります
  • 6:02 - 6:04
    それはつまり
    x 方向の増加量がどれだけであれ
  • 6:04 - 6:07
    y も同じ量だけ増加する
    ということです
  • 6:07 - 6:10
    それは見ての通りです
    x を 1 増やすと
  • 6:10 - 6:11
    y も 1 増えています
  • 6:11 - 6:12
    x が 1 増えるごとに
    y も 1 増えます
  • 6:12 - 6:15
    直線上のどの点から始めても
    このことが言えます
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    x を 3 増やすと
  • 6:18 - 6:20
    y も 3 増えます
  • 6:21 - 6:22
    そして逆の方向にも同じことが言えます
  • 6:22 - 6:24
    x が 1 減ると
  • 6:24 - 6:26
    y も 1 減ります
  • 6:27 - 6:29
    x が 2 減ると
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    y も 2 減ります
  • 6:31 - 6:35
    この式に当てはめてみても合点がいきます
  • 6:35 - 6:38
    x の変化量が -2 だったら--
  • 6:38 - 6:40
    さっきここでやったことですが--
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    x の変化量が -2 だったら
  • 6:42 - 6:43
    2 つ下がって
  • 6:43 - 6:45
    y の変化量も同じく -2 です
  • 6:46 - 6:48
    y の変化量も同じく -2 です
  • 6:48 - 6:50
    そして -2 割る -2 は
    1 です
  • 6:50 - 6:53
    そして繰り返しますが
    これが傾き（勾配）です
Title:
Introduction to slope
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:56
YukinoTsukiyama edited Japanese subtitles for Introduction to slope
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