Area between curves with multiple boundaries

在这个视频里，我要算出这个

我正在涂上黄色阴影的区域的面积。

具有挑战性的是，在整个区域，

我有同样的下边界的函数，

下面的边界是

y = x 平方/4 - 1，

但是我有不同的上边界，

我们的处理方法就是

是要把这个面积分成两部分，

或者说，把这个区域分成两个区域，左边的区域

和右边的区域，

对于这第一个区域--我涂成

更多黄色--对这第一个区域，

在整个的 x 的区间，

看起来 x 是在 0 到 1 之间，

y 等于 -- 当 x 等于 1 ，这个函数也等于 1，

当 x 等于 1 ，这个函数也等于 1，

所以，这个点就是 （1，1）

这是他们的交点，

所以，对这一部分，这里的这个分区域，

对整个分区域，y = 根下 x 是它的上边界，

这样我们就可以--我们可以

建立不同的--我们可以分别处理，计算出

这个区域的的面积。

从 x=1 到 x=2 ,

y = 2 - x 是上边界的函数，

我们来做一下。

我们首先来考虑第一个区域，

它就是从

x=0 到 x=1 的定积分

我们的上边界的函数是 根下 x ，x 的平方根，

我们要从它减去我们的下边界函数，

根下 x 减去 x平方/4 减去1，

当然我们有我们的 dx 。

这里，它表示黄色的区域面积。

你可以想象，这一部分，

这两个函数的差，

就是这个高度，

我用不同的颜色来做，

然后，你把它乘上 dx，

你得到一个宽度为 dx 的小矩形，

你对每一个 x 进行计算，

对不同的 x ，你得到不同的矩形，

然后，你把它们加在一起，

你求当 x 的变化趋于 0 的极限，

你就得到非常非常薄的矩形，

你有无限多的这样的矩形，

这就是我们对定积分的定义，

或者说就是黎曼定义，

这是左边区域的面积，

用完全相同的逻辑，

我们可以算出右边区域的面积，

这个右边的区域，--然后我们

只需把两个面积相加，

右边的区域，我们要从 x = 0 ，

到 x --对不起，是 x=1 到 x=2，

上面的函数 是 2 - x，

我们要从它减去下面的函数，

减去 x平方/4 -1，

现在我们只需求它的值。

这里，我们先对它进行简化，

这是

根下x - x平方/4 +1 dx从 0 到 1 的定积分，

我把它们用一个颜色来写，

加上

2 - x 减 x 平方/4 从 1 到 2 的定积分，

减去负值就是正 3，--不对，正 1，

我们把它加上这个 2，

这个 2 就变成 3，

我是说，2 减 -1 就是 3，dx

现在，我们只需要求反导数，

再求它在 1 和 0 的值。

那么，它的反导数就是，

这是 x 的 1/2 次方，

把它 加 1，

把指数加 1，你就得到 x 的 3/2次方，

然后乘以

新的指数的倒数，就从 2/3 变成 3/2，

减去-- x平方/4 的反导数

是 x 的 3 次方，除以 3，再除以 4，就是除以 12 ，

加 x 。

它就是 1 的反导数，

我们要计算它在 1 和 0 的值。

这里，反导数就是

3 x - x平方/2

- x 3次方/12，

再做一次，求它的值，--不应说再做一次--

我们要求 它在 2 和 1 的值，

在这里，你要求所有这些在 1 的值，

你得到 2/3 -1/12 + 1，

然后，你从中减去它们在 0 的值，

但它们都是 0，你啥也没得到。

这就是黄色部分简化的结果。

然后这个紫色区域，或者说这个品红色区域，

或者说浅紫色区域，不管叫它什么颜色吧，你先求它在 2 的值，

你得到 6 减去 --我们看看--2 的平方除以 2 就是 2，

减去 8/12，

然后，你要从它减去

它在 1 的值，

它就是 3乘以 1，就是 3，

减去 1/2 再减去 1/12，

现在我们剩下的工作，就是

把这些分数相加，

我们看我们是否做出来，

看起来，

12 是最明显的通用分母

这里，你有 8/12 减去1/12 加上 12/12

它就简化为 --什么？

这就是 19/12，这是黄色部分，

然后计算它，

6 减 2，就是 4，

我们可以把它写成 48/12，它就是 4，减去 8/12，

然后，我们要减去 3，也就是 36/12，

然后，我们要加上 1/2，也就是加上 6/12，

然后，我们要加上 1/12，

所有这些简化为--我们看，48 减 8，

是 40，减 36 是 4，加上 6 是 10，加1 是 11，

这样，它就成了加 11/12，

我来确认我做对了，

48 减 8 是 40，减36 是 4， 10， 11，

看起来这是正确的，

现在我们可以把它两个相加了，

19 加 11 是 30/12，

如果我们想简化它，

我们可以把分子分母除以 6 ，

它就等于 5/2 或者说 2 又 1/2，

我们就做完了。

我们算出了整个区域的面积，

它就是 2 又 1/2。