Probability with Playing Cards and Venn Diagrams

では、トランプカードを使った確率を少しやってみましょう。

この動画のために、私たちのデッキには

ジョーカーが入ってないと仮定しますよ。

きみはジョーカーを入れても、同じ問題を行うことも出来るでしょう。

少しだけ数が違っているでしょうね。

では、このやり方で

まず最初に、この通常のトランプでは

どれだけのカードがあるか考えてみましょう。

まず、四種のスーツ、

つまり、スペード、ダイヤ、

クラブ、ハートです。

この四つのスーツを持っています。

そして、それぞれのスーツには、13枚のカード、

またはランクと呼ばれているカードがあります。

つまり、それぞれのスーツには、13枚のカードがあるわけです。

まず、エース。そして、2、3、

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

そして、ジャック、キング、クィーン。

これが13枚のカードですね。

そして、それぞれのスーツのどんなカードも

持つことが出来ます。

たとえば、ダイヤのジャック、クラブのジャック、

スペードのジャックやハートのジャックなどです。

この2つのを掛け合わせるならば、

実際のトランプカードのデッキからは

それぞれ数え上げてから、ジョーカーを除き

ここでは、単純に掛け合わせて総数を出します。

4種のスーツのそれぞれの13枚のカードをです。

つまり、4 ・13 カード、

つまり通常のデッキでは、52枚のカードを持つでしょう。

他の方法で考えるならば、

１３種のランク、

または種類のカードがあり、それぞれ4種の違ったスーツの分あります。

13 × 4　= ふたたび 52枚のカードを得るわけです。

これくらいにして、では違った事象の確率について

考えてみましょう。

デッキをシャッフルします。

よく、シャッフルします。

それから、私はランダムにデッキから一枚のカードを取り出しました。

そして、この取り出したカードが、どれだけの確率かを考えたいのです。

では、ジャックを取り出す確率はどれくらいでしょう？

どれだけの均等に起こりえる事象がありますか？

この52枚のカードから、どれでも取り出せます。つまり、

カードを取り出す52の可能性があるわけです。

そこから、ジャックを取り出すのは、どれだけの可能性がありますか？

スペードのジャック、ダイヤのジャック、

クラブのジャック、ハートのジャックがありますね。

つまり、4枚のジャックがあります。

デッキには4枚のジャックがあります。

つまり、52分の4。どちらも、4で約分しましょう。

4 / 4 = 1

52 / 4 = 13

では、ほかの確率について考えてみましょう。

知っての通り、再びやり直すために、

私はこのジャックをデッキに戻してシャッフルしなおします。

つまり、再び52枚のカードになるわけです。

では、ハートをとる可能性はどれくらいでしょう？

一枚のカードをランダムに取り出したとして、

それがハートである確率は？　それがハートのスーツであるのは？

では再び、ここには52枚のカードから取り出す、

均等に起こりうる52の可能性があります。

その中から、どれだけがハートであるでしょう？

基本的にこの中では、13枚がハートですね。

それぞれのスーツには13枚ありますので、

それぞれ13枚のハート、13枚のダイヤ、

13枚のスペード、13枚のクラブがデッキにはあります。

つまり、52分の13がハートである結果です。

それぞれ分子、分母は13で割り切れます。これは

4分の1と同じです。4回のうち1回は、

あるいは 4分の1の確率で、私はハートを取り出します。

シャッフルされたデッキから、ランダムにカードを

取り出したときにです。

では、もう少し興味深いことをやってみましょう。

ひょっとしたら、少し明らかかもしれませんが、

では、取り出したカードがジャックで、かつ、ハートである確率はいくらでしょう？

カードについて知っているならば、

ここにはジャックのハートが1枚のみあるのを知っているでしょう。

文字通りにハートのジャックです。

つまり、取り出したカードがぴったりジャックのハートである

確率はいくらでしょうということです。

ここには唯一1回の事象、1枚のカードのみが条件に適ってますね。

これらの52枚のカードの中からです。

つまり、52分の1のチャンスで、ジャックのハートを取り出すのです。

ジャックで、かつハートである場合です。

では、もう少し興味深いこともしてみましょう。

では、どれだけの確率で、　きみはここで動画を止めて

私が答えを与える前に少し考えることもできますよ。

では、再び52枚のカードをシャッフルして、

ランダムに一枚取り出したとして、そのカードが

ジャックか、ハートである確率はどれくらいでしょう？

つまり、取り出したカードがハートのジャックか、ダイヤのジャックか、

スペードのジャックか、あるいは、ハートのクィーンか、

ひょっとしたらハートの2かな。つまり、それらの確率はいくらかという問題です。

そして、これは少し興味深いことです。

私たちは、52の可能性があるのを知ってます。

ですが、どれだけの可能性が、条件に適っているか、

それが、ジャックであるかハートであるか。

それらを理解するために、ベン図を描いてみましょう。

ちょっと変な名前だね。ですが、ちっとも変じゃないですよ。

では、ここで私が描いた四角形が、すべての結果だと想像してください。

つまり、ここは52の領域があると想像できますね。

この52の起こりうる結果の中で、どれだけの数が

ジャックであるでしょう？

もうすでに学んでいますね。13分の1の結果がジャックです。

つまり、私はここで小さい円を描きますよ。

そして、この領域は、

ジャックである可能性と仮定します。

つまり、おおまかに この中で、1/13 か 4/52 であるわけです。

私は単にそう描きますよ。ここが、

ジャックである可能性です。これは4です。ここには、

52枚のうちの4枚のカードがあり、つまり 4/52か　1/13です。

では、ハートを取り出す確率はどうでしょう？

ここに別の円を描きますよ。これが、

52分の13、つまり52枚のカードの中の13枚がハートを表しています。

そして実際には、その中の1枚が、ハートでかつジャックであるのを表しています。

つまり、実際には両者は重なり合っている部分があります。これが

腑に落ちることを願いますよ。

つまり、ここにはハートの13枚のカードがあります。

つまりここが、ハートである数です。

では、見やすくなるために、上のこの部分を取り去らせてください。

少し綺麗になったね。

ここが、ジャックである数、そして、重なり合っているここが、

ジャックでかつハートである数。

52枚のうちに、ジャックでかつハートである数です。

ここに、緑の円とここにオレンジの円があります。

なので、ここは、黄色で描くとしましょう。

なぜなら、問題文を黄色で描いてますしね。

ここが、ハートでかつジャックである数です。

では、ここに小さな矢印を描かせてください。ここは少し散らかってきてるね。

少し大きく描いたほうが良かったかな。

ここがジャックでかつハートである数です。

ここは、重なり合っている場所です。では、どれだけが

ジャックかハートである確率でしょうか？

これを考えるならば、事象の総数の中から、

条件に適っている事象の数が確率でしょう。

私たちは既に、事象の総数が52であるのを知ってますね。

ですが、条件に適っている数はどれくらいでしょう？

それらの数は、きみは言うことが出来るでしょう。

「見てくれ。ここの緑の円がジャックである数で、

このオレンジの円はハートの数だよ」

きみはそう言うでしょうね。

ですが単純に、緑とオレンジの円の数を足し合わす事はできません。

それだと、重なっている部分を二重に数えてしまいます。

もし、足し合わせてたら、単純に4 + 13だと、

私はなにを言っているかわかりますか？

ここには、4枚のジャックがあり、

ここには13枚のハートがある。

ですが、両方を数えていたなら、

ハートのジャックも数えるでしょう。

私たちはハートのジャックをこちらに、そしてハートのジャックをこちらにも。

つまり、私たちはハートのジャックを二回数えてしまいます。実際には一枚しかなくてもです。

つまり、私たちは、結果から二重の部分を引く必要があります。

きみは、ハートでかつジャックの部分を結果から

引く必要があるのです。

では、この1枚を引くとしましょう。

これらについて別の考え方としては、

この合計の部分を計算していくのです。

少し拡大させてください。少し描き直すとしましょう。

一つの円がこちらにあり、別の重なり合っている円も、こちらにあります。

この合計の部分を計算したいのです。

きみはこちらの円の部分を見て、

それから、こちらの円の部分を足し合わせます。

ですがそうすると、二つの領域を足し合わせたとき、

この部分を二回数えてしまいます。

一回のみ数えるようにするために、合計からこの部分を

引く必要があるのです。

この領域、こちらをAと名づけるなら、こちらの領域はB。

そして、重なっているここは、Cです。

合計した領域は、A + B マイナス 重なり合っている部分、

つまりマイナス Cです。

これで、こちらも同じ結果になりました。

私たちはハートのジャックを含めた、全てのジャックを数えます。

そして、私たちはジャックのハートも含めた全てのハートを数えます。

つまり、ハートのジャックを二回数えています。なので、そのうちの1回を引く必要があります。

そうすると、 4 + 13 - 1。

つまり、 52分の16です。この分子分母とも、4で

割ることが出来ます。

そうすると、こうなりますね。

16 ÷ 4で、4。 52 ÷ 4で、

13になります。

これが、 13分の4が、ジャックかハートになる確率です。