Completing the square

Khan Academy's video on completing the square.

اهلاً بكم في عرض اكمال المربع

ما هو اكمال المربع؟

حسناً، انها طريقة لايجاد معادلة تربيعية

وقبل --في الواقع، دعوني اكتب معادلة تربيعية، و

من ثم سأوضح لكم كيفية اكمال المربع

ثم سنقوم بحل مثال آخر، ومن ثم ربما سنتحدث

قليلاً عن سبب تسميتها باكمال المربع

دعونا نفترض ا لدي هذه المعادلة: x^2 + 16x

- 57 = 0

ما هي الادوات الموجودة لدينا والتي

يمكننا استخدامها لحل هذه المعادلة؟

حسناً، يمكننا ان نحللها الى عواملها

يمكن ان نقول، ما هما العددان اللذان مجموعهما 16، وعندما

تضربهما تحصل على -57؟

وعليك ان تفكر بهذا قليلاً

وربما انك ستحصل على اعداد كامل، لكنك لن تكون

متأكداً اذا كانت هذه الاعداد تنجح

هكذا

لهذه المسألة

لكن كما تعلمون، انه في بعض الاحيان يكون الحل عبارة عن عدد عشري

وانت لا تعرفه

لذا فإن الوقت الوحيد الذي يمكنك به ان تحلل هو اذا كنت متأكداً من انه

يمكنك ان تحلل هذه الى عبارات صحيحة

اي x + عدد صحيح او x - عدد صحيح

× x + عدد صحيح آخر

وهكذا

الخيار الثاني هو ايجاد المعادلة التربيعية

وما سنراه هو المعادلة التربيعية

وهي مختصرة باكمال المربع

المعادلة التربيعية في الواقع تثبت عن طريق استخدام

اكمال المربع

ما هو اكمال المربع؟

ماذا نفعل؟

حسناً، قبل نسير في هذا العرض، دعونا نرى ماذا يحدث

اذا قمت بتربيع هذه العبارة

دعوني افعل هذا في الاسفل

ما هو ناتج (x + a)^2

هذا يساوي x^2 + 2ax + a^2

اليس كذلك؟

فاذا رأيتم شيئ بهذه الصورة، انتم تعلمون انها

x + مربع عدد ما

اليس من الافضل لو انه بامكاننا ان نقوم بمعالجة هذه المعادلة

اذاً يمكننا ان نكتب ان (x + a)^2 = شيئ ما

ثم يمكنا ان نأخذ الجذر التربيعي

وهذا هو ما سنقوم بفعله

وهذا هو كمال المربع

دعوني اوضحه لكم بمثال

اعتقد ان المثال سيجعله اكثر وضوحاً

دعوني اضع مربعاً حوله

هذا ما تحتاج ان تتذكره

هذا كله منطقي بعد اكمال المربعات

--حتى نحصل على معادلة بهذا الشكل، على جانب واحد من

المعادلة، ولدينا عدد على الجانب الآخر، اذاَ

يمكنك ان تأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين

دعونا نرى

اولاً، دعونا نتحقق من ان هذا ليس

مربع كامل

اذا كان كذلك، فإن هذا المعامل سيكون مساوياً لـ 2a

اليس كذلك؟

اذاً a = 8، وها سيكون 64

بكل وضوح فإن هذا ليس 64، اذاً هذه ليست

عبارة مربعة

ماذا يمكن ان نفعل؟

حسناً، دعوني اتخلص من 57 عن طرق جمع 57 لكلا

طرفي المعدلة

سوف احصل على x^2 + 16x = 57

كل ما فعلته هو انني جمعت 57 لطرفي المعادلة

الآن، ماذا يمكن ان اضيف هن، حتى يصبح هذا الجانب، اي الجانب الايسر

من هذه المعادلة، عبارة عن مربع عبارة ما

مثل x + a؟

اذا اتبعت هذا النمط هنا، لدينا x^2

+ 2ax --لذا يمكنك ان تعتبر هذا على انه 2ax

اليس كذلك؟

ذلك 2ax

ومن ثم نحتاج لأن نضيف a^2 اليها

صحيح؟

+ a^2

ثم سنحصل على هذا الشكل

لكننا نعلم من الجبر الاساسي ان اي شيئ تفعله

لجانب واحد من المعادلة عليك ان تفعله للجانب الآخر

لقد اضفنا a^2 هنا، لذا دعونا نضيف

a^2 هنا كذلك

والآن يمكننا ان نعيد كتابة هذه كمربع

عبارة ما

لكن قبل ذلك علينا ان نجد كم كانت قيمة a؟

حسناً، كيف نفعل ذلك؟

ما هي قيمة a؟

اذا كانت هذه العبارة 2ax، فما هي قيمة a؟

حسناً، 2a = 16، اذاً a = 8

واحياناً يمكنك القيام بذلك عن طريق الفحص

ان تقوم بذلك ذهنياً

لكن اذا اردت ان ترى حلها جبرياً فيمكنك

ان تكتب 2ax = 16x

ومن ثم نقسم كلا الطرفين على 2x، ونحصل على a

= 16x / 2x

وعلى افتراض ان x لا يساوي 0، فإن هذا يقيم بـ 8

اذاً a = 8

اذ كان a = 8 فيمكننا ان نعيد كتابة تلك العبارة --سوف ابدل

الالوان-- لتصبح x^2 + 16x

+ a^2

حسناً، انه 64، لأن a = 8

= 57 + 64

صحيح؟

لقد قمت بتوضيحاً مملاً هنا، لكن كل

ما فعلناه لكي نصل من هنا الى هنا هو اننا اضفنا 57

لطرفي هذه المعادلة حتى نضعها في الجانب الايمن

ومن ثم اضفنا 64 لطرفي المعادلة

ولماذا قمت باضافة 64 لطرفي هذه المعادلة؟

اذاً الجانب الايسر من العبارة يتخذ هذا الشكل

الآن وبما ان الجانب الايسر يأخذ هذا الشكل

فكيف يمكنني ان اعيد كتابته؟

(x + a)^2

يمكنني ان اعيد كتابته لتصبح بهذا الشكل

ونحن نعلم ان a = 8، لذا تصبح (x + 8)^2

= --وكم ناتج 57 + 64؟

انه 121

الآن على ما يبدو ان لدينا --انها

لا تزال معادلة تربيعية، لأنه اذا

اردنا ان نوسع هذا الجانب فسوف نحصل على عبارة تربيعية

لكن يمكننا ان نجد هذا دون استخدام المعادلة التربيعية

او دون اللجوء للتحليل الى العوامل

يمكننا ان نأخذ الجذر التربيعي لطرفي هذه

واذا اخذنا الجذر التربيعي لكلا الطرفين على ماذا نحصل؟

نحصل على --سأغير الالوان مرة اخرى--

x + 8 =، وتذكروا هذا، الجذر التربيعي الموجب او

السالب لـ 121

وما هو الجذر التربيعي لـ 121؟

انه 11، اليس كذلك؟

اذاً وصلنا الى هنا

دعوني اضع مربعاً حولها بهذه الطريقة

كان هذا جانباً

اذاً نحصل على x + 8 = موجب او سالب 11

وعليه فإن x = --نطرح 8 من كلا الطرفين--

-8 موجب او سالب 11

اذاً x = -- اذاً -8 + 11 = 3

صحيح؟

دعوني اتأكد من انني فعلت هذا بشكل صحيح

x = -8 موجب او سالب 11

نعم

هذا صحيح

اذاً x يمكن ان تساوي 3

ثم اذا اخذت -8 - 11، فإن x يمكن

ايضاً ان تساوي -19

هذا جيد

ودعونا نرى اذا كان هذا منطقي

بحسب النظرية فإن هذا يجب ان يكون باستطاعتنا ان نحلله كـ (x

- 3) × (x + 19) = 0

اليس كذلك؟

لأن هذان عبارة عن حلان لهذه المعادلة

وقد نجح هذا، اليس كذلك؟

-3 × 19 = -57

و -3 + 19 = موجب 16x

يمكننا ان نحللها بهذه الطريقة، لكن اذا

لم يكن ذلك واضحاً بالنسبة لنا --لأنه كما تعلمون، ان

19 عبارة عن عدد غريب-- يمكننا القيام بذلك عن طريق

اكمال المربع

ولماذا يسمى باكمال المربع؟

لأنه يتخذ هذا الشكل ومن ثم علينا ان نضيف هذه

الـ 64 هنا حتى نكمل المربع --حتى نحول

العارة اليسرى الى عبارة مربعة

دعونا نحل مثال آخر

وسوف اقوم بالتوضيح بشكل ابسط مع حركة اكثر خلال

هذه المسألة، وهذا في الواقع ما سيجعلها ابسط

لكنها ستكون مسألة متشعبة

دعونا نفترض ان لدي 6x^2 - 7x - 3 = 0

يمكنك ان تحاول تحليلها الى عواملها، لكنني شخصياً لا

استمتع لتحليل الاشياء عندما يكون لدي معامل

ويمكنك ان تقول، حسناً، لماذا لا نقسم طرفي

هذه المعادلة على 6؟

لكن عندها ستحصل على كسر هنا وكسر هنا

وهذا سيكون اسوأ عند التحليل ذهنياً

يمكنك ان تحل معادلة تربيعية

وربما سأوضح لكم في المستقبل، ان

المعادلة التربيعية --واعتقد اننا بالفعل قد انتهينا من واحدة حيث قد اثبت

المعادلة التربيعية

لكن المعادلة التربيعية في الاساس هي

اكمال مربع

انها اختصار نوعاً ما

وهي تذكير بالصيغة

لكن دعونا نكمل المربع هنا، لأن تلك هي

النقطة المهمة من هذا العرض

لذا دعونا نضيف 3 لطرفي تلك المعادلة

يمكننا ان --حسناً، دعونا نضيف 3 اولاً

فنحصل على 6x^2 - 7x = 3

لقد اضفت 3 لكلا الطرفين

وبعض المعلمين سيتركون الـ -3 هنا، ومن ثم يحاولون

ايجاد ما يضيفونه لها وكل ذلك

لكنني افضل الخروج عن هذه الطريقة لكي يمكنني ايجاد

العدد الذي يجب ان اضعه هنا

لكنني ايضاً لا افضل وجود الـ 6 هنا

انها عبارة عن اشياء معقدة

افضل ان احصل عليها بصورة (x + a)^2، وليس معامل جذر تربيعي

على عبارة x

لذا دعونا نقسم طرفي المعادلة على 6، ونحصل على

x^2 - 7/6x = --3 ÷ 6

= 1/2

ويمكن ان نجعل هذه اولى خطواتنا

يمكننا ان نقسم على 6 في هذه الخطوة الاولى

على اي حال، دعونا الآن نحاول ان نكمل المربع

لدينا x^2 --سوف اقوم بتوسيع مكان ما--

-7/6x + شيئ ما = 1/2

ولذلك علينا ان نضيف شيئ ما هنا لكي

تصبح عبارة الجانب الايسر عبارة تربيعية

كيف نفعل ذلك؟

حسناً، ننظر الى هذا المعامل، ونبقي

في ذاكرتنا انه ليس 7/6 وحسب، وانما -7/6

نأخذ نصفه، ومن ثم نقوم بتربيعه

صحيح؟

دعوني افعل هذا

(x + a)^2 = x^2

+ 2ax + a^2

صحيح؟

هذا ما عليك ان تتذكره طوال الوقت

جميعه يرتكز على اكمال المربع

ماذا قلت الآن؟

حسناً، هذه العبارة ستكون نصف

مربع المعامل

وكيف نعرف ذلك؟

لأن a ستكون نصف هذا المعامل اذا

اجريتم بعضاً تماثل النمط

ما هو نصف هذا المعامل؟

نصف الـ -7/6 هو -7/12

فاذا اردتم يمكنكم ان تكتبوا ان a =

-7/12 بالنسبة لهذا المثال

وقد ضربت هذا بـ 1/2

اليس كذلك؟

ماذا اضيف لكلا الطرفين؟

اضيف a^2

اذاً كم ناتج 7/12^2؟

حسناً، انه 49/144

اذا فعلت هذا للجانب الايسر فعلي ان افعله

للجانب الايمن

+ 49/144

والآن كيف يمكنني ان ابسط هذا الجانب الايسر؟

ما هي الخطوة التالية؟

حسناً، نحن نعلم الآن ان هذا مربع كامل

في الحقيقة، نحن نعلم قيمة a، a = 7/12

ونعلم ان الجانب الايسر من هذه المعادلة

هو x - a --او x + a، لكن a عبارة عن عدد سالب

اذاً (x + a)^2، و a عدد سالب

واذا اردتم فيمكنكم ان تضربوا هذا وتتحققوا

انها بالفعل تساوي هذه

وهذا يساوي --دعونا نأخذ

مقاماً موحداً وهو 144

72 + 49 = 121

121/144

لدينا x - 7/12، كل ذلك مربع

= 121/144

ماذا نفعل الآن؟

حسناً، الآن نأخذ الجذر التربيعي

لطرفي هذه المعادلة

وانا احاول ان افرغ بعض المساحة

سوف استخدم اللون الاخصر

دعوني اجزئ هذه

ونحصل على x - 7/12 = موجب او سالب

الجذر التربيعي لذلك

موجب او سالب 11/12

صحيح؟

الجذر التربيعي لـ 121 هو 11

الجذر التربيعي لـ 144 هو 12

ثم يمكننا ان نضيف 7/12 لطرفي هذه المعادلة

ونحصل على x = 7/12 + او - 11/12

حسناً، هذا يساوي 7 + او - 11/12

ما ناتج الخياران؟

7 + 11 = 18، / 12

اذاً x يمكن ان يساوي 18/12، اي 3/2

او ما ناتج 7 - 11؟

= -4/12

اذاً يساوي -1/3

لقد حصلنا عليه

هذا هو اكمال المربع

اتمنى انكم قد وجدتموه منطقاً

واذا اردتم ان تثبتوا المعادلة التربيعية، فكل

ما عليكم فعله بدلاً من الحصول على اعداد هنا، اكتبوا x^2

+ bx + c = 0

ثم اكمال المربع باستخدام a, b, و c

بدلاً من الاعداد

وسوف ينتهي بكم المطاف الى معادلة تربيعية

بهذه النقطة

واعتقد انني قمت بذلك في احدى العروض

اعلموني بذلك في حال لم اقوم به وسوف افعله

على اي حال، سوف اراكم في العرض التالي