Completing the square

Khan Academy's video on completing the square.

Bienvenidos al video completar el cuadrado

¿Qué es completar el cuadrado?

Bueno, es una forma de resolver ecuaciones cuadráticas.

Y de hecho ,bueno permítanme escribir una ecuación cuadrática, y

después les mostraré como completar el cuadrado.

después haremos otro ejemplo, y puede ser que hablemos

un poco de por qué se llama completar el cuadrado.

Digamos que tengo esta ecuación: x cuadrada mas 16x

menos 57 es igual a 0

Así que, ¿cuáles son las herramientas que tenemos en este momento

que podemos usar para resolver esto?

Bueno, podríamos intentar factorizarlo.

Podríamos decir, ¿cuáles son dos números que sumados dan 16, y que

multiplicados sean menos 57?

Y tienes que pensarlo un poco.

Y podrías obtener número enteros, pero no estás

seguro de que existan dos números que funcionen

de manera correcta.

Estos son los problemas.

Pero a veces la solución es un número decimal

y no lo sabemos,

Así que la única manera de que puedas factorizar esto es que estés seguro de

que podrás expresarlo en expresiones enteras.

Como, x mas un entero o x menos algún entero

x mas otro entero.

O lo mismo.

La otra opción es hacer la ecuación cuadrática.

Y lo que estamos a punto de ver es que la ecuación cuadrática

es esencialmente un atajo para completar el cuadrado.

La ecuación cuadrática es probada usando

Completando el cuadrado.

Así que, ¿Qué es completando el cuadrado?

¿Qué hacemos?

Bueno, antes de entrar de lleno al video, veamos que sucede

si elevo al cuadrado una expresión.

Permítanme hacerlo aquí abajo.

¿Qué es x mas a al cuadrado?

Bueno, esto nos da como resultado x al cuadrado mas 2ax mas a al cuadrado.

Correcto?

Así que si alguna vez ves una expresión de esta forma, tu sabes que es

x mas algo al cuadrado.

Así que no sería agradable si pudiéramos manipular esta ecuación

para poder reescribirla como x mas a al cuadrado igual a algo,

y así poder hacer la raíz cuadrada?

Y lo que vamos a hacer, es exactamente eso.

Y eso es completar el cuadrado.

Así que permítanme mostrarles un ejemplo.

Creo que un ejemplo hará las cosas mucho más claras.

Déjenme enmarcar esto.

Esto es lo que deben recordar.

Esto es el desarrollo para completar los cuadrados

para obtener una ecuación de esta forma, de un lado de la

ecuación, y sólo tener un número del otro lado, para

que puedas sacar la raíz de ambos lados.

Veamos.

Primero, debemos revisar que no sea

un cuadrado perfecto.

Si así fuera, este coeficiente sería equivalente al 2a.

Correcto?

Así que a sería 8, y entonces esto sería 64.

Esto claramente no es 64, así que lo que tenemos aquí no es

una expresión cuadrática.

Así que, ¿qué podemos hacer?

Bueno, déjenme deshacerme del 57 sumando 57 de ambos

lados de la ecuación.

Así obtengo x al cuadrado mas 16x es igual a 57.

Todo lo que hice fue sumar 57 a ambos lados de la ecuación.

Ahora, ¿qué puedo sumar aquí, a la izquierda

de esta ecuación, para que se convierta en un expresión al cuadrado

como x mas a?

Si sigues este patrón de aquí abajo, tenemos x al cuadrado

mas 2ax, así que puedes ver esto como 2ax.

Correcto?

Esto es 2ax.

Y ahora debemos sumar una a al cuadrado a esto.

Correcto?

Mas a cuadrada.

Y después tendremos esta expresión.

Pero sabemos del álgebra básica que cualquier cosa hecha de un

lado de una ecuación lo debes hacer del otro lado.

Como sumamos una a cuadrada aquí, sumamos una a

cuadrada aquí también.

Y ahora puedes reescribir esto como un cuadrado

de alguna expresión.

Pero antes de eso debemos saber cuanto vale a.

Bueno, ¿cómo hacemos esto?

¿Qué es a?

Si esta expresión de aquí es 2ax, ¿cuánto vale a?

Bueno 2a es igual a 16, así que a es igual a 8.

Y puedes hacer esto generalmente por inspección;

hazlo en tu cabeza.

Pero si quieres verlo algebraicamente tienes que

escribir 2ax es igual a 16x.

Y dividir ambos lados por 2x, y así obtienes que a es

igual a 16x sobre 2x.

Y asumiendo que x no es igual a 0 obtenemos que es el resultado es 8.

Así que a es igual a 8.

Como a es 8 podemos reescribir la expresión-- Cambiaré

los colores arbitrariamente-- como x al cuadrado mas 16x

mas a al cuadrado.

Bueno, es 64, porque a es 8.

Es igual a 57 mas 64.

Correcto?

Hice una tediosa explicación de esto, pero lo que

realmente hemos hecho para llegar de aquí a acá, es sumar 57 a ambos

lados de esta ecuación para tenerlo del lado derecho de la ecuación

y después sumamos 64 a ambos lados de la ecuación.

Y ¿por qué sumamos 64 a ambos lados de la ecuación?

Para que la parte izquierda de la ecuación tomará esta forma.

Ahora que la parte izquierda de la ecuación tomó esta forma

Puedo reescribirla ¿cómo?

x mas a al cuadrado.

Puedo reescribirla de la siguiente manera.

Cómo sabemos que a es 8, queda x mas 8 al cuadrado,

igual a -- ¿Cuánto es 57 mas 64?

Es 121.

Ahora tenemos algo que parece bastante sencillo -- Es

aún una ecuación cuadrática, porque si

expandes este lado obtendrás una expresión cuadrática.

Pero podemos resolver esto sin usar la ecuación cuadrática

o sin tener que factorizar.

Podemos simplemente sacar la raíz cuadrada de ambos lados.

Sí obtenemos la raíz cuadrada de ambos lados ¿qué obtenemos?

Obtenemos -- otra vez, cambiando de colores arbitrariamente--

que x mas 8 es igual a, y recuerda esto, el mas

menos raíz cuadrada de 121.

Y ¿cuánto es la raíz cuadrada de 121?

Es 11, correcto?

Después venimos hasta aquí.

Déjenme enmarcar esto.

Esto fue sólo un lado.

Tenemos x mas 8 es igual a mas/menos 11.

Y por lo tanto x es igual a -- restamos 8 de ambos lados-- menos

8 mas/menos 11.

Y por lo tanto x puede ser igual-- a menos 8 mas 11 igual a 3.

Correcto?

Déjenme ver si lo hice correctamente.

x es igual a menos 8 mas/menos 11.

Sí.

Es correcto.

Así que x es igual a 3.

Ahora si tomo menos 8 menos 11, x podría

ser también igual a 19.

Todo bien.

Bien ahora veamos si esto tiene sentido.

Así que en teoría esto debería poder ser factorizado como x

menos 3 por x mas 19 es igual a 0.

Correcto?

Porque estas son las dos soluciones a esta ecuación.

y esto funciona, correcto?

menos 3 por 19 es menos 57.

y menos tres mas 19 es mas 16x.

Podríamos haber factorizado esto, pero si

no era obvio-- porque, sabes que el número

19 es un número extraño-- nosotros podemos

completar el cuadrado.

Y ¿ por qué es llamado completar el cuadrado?

Porque tienes esta ecuación y tienes que sumar este

64 aquí para completar el cuadrado-- para convertir este

lado izquierdo de la expresión en un cuadrado.

Hagamos un ejemplo mas.

Haré menos explicación durante el proceso

y tal vez de esta manera se vea mucho más simple.

Pero este será un problema mucho más difícil.

Digamos que tenemos 6x cuadrada menos 7x menos 3 es igual a 0.

Podrías tratar de factorizarlo, pero en lo personal yo no

disfruto factorizar cuando tengo un coeficiente.

o podrías decir, ¿por qué no dividir ambos lados

de esta ecuación entre 6?

Pero entonces obtienes una fracción aquí y otra aquí.

Y eso es todavía mucho más difícil de factorizar por inspección.

Podrías usar la ecuación cuadrática.

Y tal vez podría mostrarte en un futuro video, la

ecuación cuadrática-- y creo que ya hice uno donde demuestro

la ecuación cuadrática.

Pero la ecuación cuadrática es esencialmente

completar el cuadrado.

Es un tipo de atajo.

Se trata sólo de recordar la formula.

Pero completemos el cuadrado aquí, porque de eso

se trata este video.

Sumemos 3 a ambos lados de la de la ecuación.

Podríamos -- Bueno, primero sumamos el 3.

Obtenemos 6x al cuadrado menos 7x igual a 3.

Sumé 3 a ambos lados.

Y algunos profesores intentarían dejar el menos 3 aquí, e intentar después

que número sumarle y todo eso.

Pero yo prefiero quitarlo del camino para darme cuenta

de manera muy clara que número debería poner aquí.

Pero tampoco me gusta este 6 aquí.

Sólo complica las cosas.

Me gusta que sea x mas a al cuadrado y no una

raíz cuadrada de un coeficiente en el termino con x.

Así que dividamos ambos lados de la ecuación entre 6, y obtenemos

x cuadrada menos 7/6x es igual a -- 3 entre 6

es igual a 1/2.

Eso pudóser nuestro primer paso.

Podríamos haber dividido entre 6 en el primer paso.

De todas formas, intentemos completar el cuadrado.

Tenemos x al cuadrado-- Voy dejar un espacio por aquí--

menos 7/6x mas algo es igual a 1/2.

Debemos sumar algo al lado izquierdo para que

la expresión se vuelva una expresión cuadrática.

Así que ¿cómo hacemos eso?

Bueno, básicamente vemos este coefciente, y

recuerda que no sólo es 7/6 es menos 7/6.

Lo divides a la mitad, y después lo elevas al cuadrado.

Correcto?

Déjenme hacerlo.

x mas a al cuadrado, es igual a x al cuadrado mas

2ax al cuadrado.

Correcto?

Esto es lo que debes recordar todo el tiempo.

Es de lo que se trata el completar el cuadrado.

¿Qué acabo de decir?

Bueno, este término va a ser la mitad de este

coeficiente al cuadrado.

Y ¿cómo lo sabemos?

Porque a debe ser la mitad de este coeficiente si

hacemos un poco de comparación.

Así que ¿cuánto es la mitad de este coeficiente?

la mitad de menos 7/6 es menos 7/12.

Así que si quieres puedes escribir a igual a menos

7/12 para nuestro ejemplo.

Sólo multipliqué por 1/2 esto.

Correcto?

Y ¿qué sumo a ambos lados?

Sumo el cuadrado.

Así que ¿cuánto es 7/12 al cuadrado?

Bueno eso da 49/144.

Si lo hice del lado izquierdo lo debo hacer del

lado derecho.

Mas 49/144.

Y ahora, ¿cómo puedo simplificar el lado izquierdo?

¿Cuál es el siguiente paso?

Sabemos que es un cuadrado perfecto.

De hecho, sabemos cuanto vale a, a es menos 7/12.

Y entonces sabemos que el lado izquierdo de la ecuación

es x menos a -- o x mas a, pero a es un número negativo.

Así que x mas a, y a es negativo, al cuadrado.

Y si quieres puedes multiplicarlo y confirmar

que en realidad es igual a esto.

Y eso va a ser igual a -- consigamos un común

denominador, 144.

Así que 72 mas 49 es igual a 121.

121/144.

Así que tenemos x menos 7/12, todo eso al cuadrado

es igual a 121/144.

¿Qué hacemos ahora?

Tomamos la raíz cuadrada de ambos

lados de la ecuación.

Y estoy tratando de liberar un poco de espacio.

Cambio a verde.

Déjenme dividir esto.

Y obtenemos x menos 7/12 es igual a mas/menos

raíz cuadrada de esto.

Mas/menos 11/12.

Correcto?

Raíz cuadrada de 121 es 11.

Raíz cuadrada de 144 es 12.

Ahora podemos sumar 7/12 a ambos lados de la ecuación,

y obtenemos que x es igual a 7/12 mas/menos 11/12.

Eso da como resultado 7 mas/menos 11/12.

¿Cuáles son las dos opciones?

7 mas 11 es 18, sobre 12.

Así que x puede ser igual a 18/12, es 3/2.

O ¿Cuánto es 7 menos 11?

eso es menos 4/12.

Lo que da menos 1/3.

Ahí lo tienes.

Eso es completando el cuadrado.

Espero lo encuentren de ayuda.

Y si quieren probar la ecuación cuadrática, todo

lo que debes hacer es, en vez de tener números aquí, escribe x al cuadrado

mas bx mas c igual a 0.

Y completa el cuadrado usando a,b y c

en vez de números.

Y terminarás con la ecuación cuadrática

hasta este punto.

Y creo que hice eso en un video.

Háganme saber si lo hice si no, lo haré para ustedes.

De todos modos, los veo en el siguiente video.