Completamento del quadrato

Khan Academy's video on completing the square.

Benvenuto al video sul completamento del quadrato.

Cos'e' il completamento del quadrato?

Beh, è un modo per risolvere un'equazione di secondo grado.

E in realtà, fammi scrivere un'equazione di secondo grado

e poi ti mostro come completare il quadrato.

E poi facciamo un altro esempio e magari parliamo

un po' sul perche' si chiama completamento del quadrato.

Diciamo che ho questa equazione:

x^2 + 16x - 57 = 0.

Quindi quali sono gli strumenti a nostra disposizione

che potremmo usare per risolvere questo problema?

Beh, potremmo provare a fattorizzare.

Potremmo dire, quali due numeri sommati fanno 16 e

moltiplicati danno -57?

E dovresti pensarci un po'.

E potresti ottenere numeri interi, ma non sei neanche

sicuro che ci siano due numeri interi che funzionano

in questo modo.

In questo problema ci sono.

Ma sai, a volte la soluzione è un numero decimale

e tu non lo sai.

Quindi l'unica volta in cui puoi davvero fattorizzare è se sei sicuro

di poterlo scomporre tipo in una espressione intera.

Sai, x piu' qualche numero intero o x meno qualche numero intero

per, sai, x, più qualche altro intero.

O allo stesso modo.

L'altra opzione è di fare l'equazione quadratica.

E cio' che vedremo è che in realtà l'equazione quadratica

è essenzialmente solo una scorciatoia per il completamento del quadrato.

In realta' l'equazione di secondo grado viene dimostrata utilizzando

il completamento del quadrato.

Quindi che cos'e' il completamento del quadrato?

Quindi che cosa facciamo?

Beh, prima di addentrarci in questo video vediamo cosa succede

se faccio il quadrato di un'espressione.

Fammelo fare qui sotto.

Quanto fa (x + a)^2?

Beh è uguale a x^2 + 2ax + a^2.

Giusto?

Quindi, se hai mai visto qualcosa in questa forma, sai che e'

x piu' qualcosa al quadrato.

Percio' non sarebbe bello se potessimo manipolare questa equazione

in modo da poterla scrivere come (x + a)^2 = qualcosa,

e poi potressimo prenderne semplicemente la radice quadrata?

E quello che faremo è, in realtà, proprio questo.

E questo e' il completamento del quadrato.

Quindi fammiti fare un esempio.

Penso che un esempio lo renderà un po' più chiaro.

Fammelo mettere da parte.

Questo è ciò che devi ricordare.

Questa è la logica dietro il completamento del quadrato ---

per ottenere un'equazione in questa forma, su un lato

dell'equazione, e solo un numero da altro lato, così

cosi' da fare la radice quadrata di entrambe le parti.

Quindi vediamo.

Prima di tutto, controlliamo per assicurarci che questo non sia

un quadrato perfetto.

Se così fosse, questo coefficiente sarebbe equivalente a 2a.

Giusto?

Quindi a sarebbe 8 e quindi questo sarebbe 64.

Questo chiaramente non è 64, quindi questa qui non è

un'espressione al quadrato.

Percio' cosa possiamo fare?

Beh fammi sbarazzare del 57 aggiungendo 57 a entrambi

i lati di questa equazione.

Quindi otterrei x^2 + 16x = 57.

Tutto quello che fatto è aggiungere 57 a entrambi i lati di questa equazione.

Ora, cosa potrei sommare qui affinché questo, il lato sinistro

di questa equazione, diventa un quadrato di qualche espressione

come x + a?

Se segui questo modello quaggiù, abbiamo

x^2 + 2ax --- quindi potresti vedere questo qui come 2ax.

Giusto?

Questo è 2ax.

E poi ci dobbiamo aggiungere un a^2.

Giusto?

Più a^2.

E avremmo questa forma qui.

Ma sappiamo dall'algebra di base che tutto quello che fai

su un lato di un'equazione devi farlo anche all'altro.

Quindi se qui abbiamo aggiunto un a^2, aggiungiamo un

a^2 pure qui.

E ora potresti essenzialmente riscriverla come un quadrato

di qualche espressione.

Ma prima dobbiamo capire quant'e' a.

Bene come facciamo?

Beh, che cosa è a?

Se questa espressione qui è 2ax, quant'e' a?

Beh 2a sara' 16, quindi a = 8.

E di solito lo si puo' fare semplicemente guardando;

lo fai a mente.

Ma se volessi vederlo algebricamente potresti

scrivere 2ax = 16x.

E poi dividere entrambi i lati per 2x e ottieni

a = 16x / 2x.

E assumendo che x non sia 0 questo diventa 8.

Quindi a = 8.

Quindi, se a = 8 potremmo riscrivere quell'espressione --- cambio

colore arbitrariamente --- come

x^2 + 16x + a^2.

Beh, è 64, perché a = 8.

È uguale a 57 + 64.

Giusto?

Sono andato attraverso una spiegazione abbastanza noiosa qui, ma tutto quello che abbiamo

fatto per arrivare da qui a lì è solo aggiungere 57 a entrambi

i lati di questa equazione per avercelo sul lato destro

e poi abbiamo aggiunto 64 a entrambi i lati di questa equazione.

E perché ho aggiunto 64 a entrambi i lati di questa equazione?

In modo che l'espressione a sinistra prendesse questa forma.

Ora che l'espressione a sinistra utilizza ha questa forma

la posso riscrivere come che cosa?

(x + a)^2.

Posso riscriverla in questa forma.

E sappiamo che a = 8, quindi diventa (x + 8)^2

è pari a-- e quanto fa 57 + 64?

Fa 121.

Ora abbiamo quella che appare come un'abbastanza semplice --- è

ancora un'equazione di secondo grado, in realtà, perché se

espandi questo lato ottieni una quadratica.

Ma possiamo risolverla senza utilizzare l'equazione quadratica

o senza doverla fattorizzare.

Possiamo solo fare la radice quadrata di entrambe le parti.

E se facciamo la radice quadrata di entrambe le parti cosa otteniamo?

Otteniamo --- di nuovo, cambio colore arbitrariamente ---

che x + 8 è uguale a, e questo ricordatelo,

piu' o meno la radice quadrata di 121.

E quant'è la radice quadrata di 121?

Beh è 11, giusto?

Quindi arriviamo qui.

Fammi mettere questo da parte.

Questa è stato solo una parentesi.

Quindi otteniamo x + 8 = più o meno 11.

E quindi x è uguale a --- sottraiamo 8 da entrambi i lati ---

-8 più o meno 11.

E quindi x sarebbe pari a --- quindi -8 + 11 fa 3.

Giusto?

Fammi assicurare di averlo fatto giusto.

x = -8 piu' o meno 11.

Sì.

Va bene.

Quindi x potrebbe essere uguale a 3.

E poi se prendo -8 - 11, x potrebbe

anche essere uguale a -19.

Va bene.

E vediamo se questo ha un senso.

Quindi in teoria questo dovrebbe poter essere fattorizzato come

x - 3 * x + 19 = 0

Giusto?

Perché queste sono le due soluzioni di questa equazione.

E funziona, giusto?

-3 * 19 = - 57.

E -3 + 19 = +16x.

L'avremmo potuto immediatamente fattorizzare in questo modo, ma se

non fosse risultato ovvio --- perché, sai, almeno

19 è un numero tipo strano --- lo potremmo fare

completando il quadrato.

E percio perché è chiamato completamento del quadrato?

Perché lo ottieni in questa forma e poi devi aggiungere questo

64 qui per tipo completare il quadrato --- per trasformare questo

lato sinistro dell'espressione in un'espressione al quadrato.

Facciamone un altro.

E farò meno spiegazione e più pratica

il che in realtà potrebbe farlo sembrare più semplice.

Ma questo sara' un problema piu' peloso.

Quindi diciamo che ho 6x^2 - 7x - 3 = 0.

Potresti provare a fattorizzarlo, ma personalmente non mi

diverto a fattorizzare quando ho un coefficiente.

E potresti dire, oh beh perché non dividiamo entrambi i lati

di questa equazione per 6?

Ma poi otterresti una frazione qui e una frazione qui.

E fattorizzare solo dando un'occhiata è ancora peggio.

Potresti fare l'equazione quadratica.

E magari ti mostrerò in un futuro video, l'equazione

quadratica --- e penso di averne già fatto uno dove ho dimostrato

l'equazione di secondo grado.

Ma l'equazione quadratica è essenzialmente

il completamento del quadrato.

È tipo una scorciatoia.

È tipo semplicemente ricordare la formula.

Ma completiamo il quadrato qui, perché è questo

il punto di questo video.

Quindi sommiamo il 3 a entrambi i lati dell'equazione.

Potresti fare --- beh, aggiungiamo prima il 3.

Quindi ottieni 6x^2 - 7x = 3.

Ho sommato 3 a entrambe le parti.

E alcuni insegnanti lasciano il -3 qui e poi provano

a capire cosa aggiungerci e tutto il resto.

Ma a me piace togliermelo di torno in modo da poter capire

molto chiaramente che numero dovrei mettere qui.

Ma nemmeno mi piace il 6 qui.

Complica solo le cose.

Mi piace avere( x + a)^2, non un qualche coefficiente

della radice quadrata sul termine x.

Quindi dividiamo entrambi i lati di questa equazione per 6 e ottieniamo

x^2 - 7/6x = --- 3 diviso 6

è uguale a 1/2.

E avremmo potuto farlo come primo passaggio.

Avremmo potuto dividere per 6 al primo passaggio.

Comunque, ora proviamo a completare il quadrato.

Quindi abbiamo x^2 --- mi faccio solo un po' di spazio ---

- 7/6 x + qualcosa sara' uguale a 1/2.

E percio' dobbiamo aggiungere qualcosa qui così che questo lato sinistro

dell'espressione diventi un'espressione al quadrato.

Quindi come lo facciamo?

Beh essenzialmente guardiamo questo coefficiente e manteniamo

in mente che questo non è solo 7/6 è -7/6.

Ne prendi 1/2 e poi lo elevi al quadrato.

Giusto?

Fammelo fare.

(x + a)^2 è uguale a

x^2 + 2ax + a^2.

Giusto?

E' questo che devi ricordare tutto il tempo.

E' cio' su cui si basa il completamento del quadrato.

Quindi cosa ho appena detto?

Beh, questo termine sara' 1/2 di questo

coefficiente al quadrato.

E come lo sappiamo?

Perché a sara' 1/2 di questo coefficiente se

fai un po' di controlli.

Quindi quant'e' 1/2 di questo coefficiente?

1/2 di -7/6 è -7/12.

Percio' se vuoi puoi scrivere

a = -7/12 per il nostro esempio.

E l'ho solo moltiplicato per 1/2.

Giusto?

Quindi cosa aggiungo ad entrambi i lati?

Aggiungo a^2.

Quindi quanto fa (7/12)^2?

Beh, sara' 49/144.

Se l'ho fatto a sinistra devo farlo anche

al lato destro.

Più 49/144.

E ora come posso semplificare questo lato sinistro?

Qual è il nostro prossimo passo?

Bene ora sappiamo che è un quadrato perfetto.

In realtà, sappiamo quant'e' a. a = - 7/12.

E percio' sappiamo che il sinistro lato di questa equazione

è x - a --- o x + a, ma a è un numero negativo.

Quindi x + a, e a è negativo, al quadrato.

E se vuoi puoi moltiplicare e confermare

che è veramente uguale a questo.

E questo sara' uguale a --- prendiamo un denominatore

comune --- 144.

Quindi 72 + 49 = 121.

121/144.

Quindi abbiamo x - 7/12, tutto questo al quadrato

è uguale a 121/144.

Percio' adesso che facciamo?

Bene, ora facciamo semplicemente la radice quadrata di entrambi

i lati di questa equazione.

E sto cercando di liberare un po' di spazio.

Passo al verde.

Fammelo suddividere.

E otteniamo x - 7/12 = più o meno

radice quadrata di questo.

Quindi, più o meno 11/12.

Giusto?

Radice quadrata di 121 è 11.

Radice quadrata di 144 è 12.

Quindi potremmo aggiungere 7/12 a entrambi i lati di questa equazione,

e otteniamo x = 7/12 piu' o meno 11/12.

Che è uguale a 7 più o meno 11/12.

Quindi quali sono le due opzioni?

7 + 11 = 18, su 12.

Quindi x potrebbe essere uguale 18/12, cioe' 3/2.

Oppure, quanto fa 7 - 11?

Fa - 4/12.

Quindi è -1/3.

Ecco qua.

Questo e' il completamento del quadrato.

Spero tu lo abbia trovato abbastanza comprensibile.

E se vuoi provare l'equazione quadratica,

quello che devi fare fare è invece di avere numeri, scrivi

ax^2 + bx + c = 0.

E poi completi il quadrato utilizzando la a, b e c

invece di numeri.

E finisci con l'equazione quadratica

a questo punto.

E penso che l'ho fatto in un video.

Fammi sapere se non l'ho fatto e lo farò per te.

Comunque, ci vediamo nel prossimo video.