Completing the square

Khan Academy's video on completing the square.

Velkommen til videoen om å fullføre kvadratet.

Hva er å fullføre kvadratet?

Vel, det er en måte å løse en kvadratisk likning.

Og faktisk, la meg bare skrive ned en kvadratisk likning, og

da vil jeg vise deg hvordan du fullføre plassen.

Og da vil vi gjøre et annet eksempel, og så kanskje snakke

litt om hvorfor det heter å fylle plassen.

Så la oss si jeg har denne likningen: x kvadrat pluss 16x

minus 57 er lik 0.

Så hva er verktøyene i verktøysettet vårt akkurat nå at vi

kunne bruke for å løse dette?

Vel, vi kunne prøve å faktor den ut.

Vi kan si, hva to tallene legge opp til 16, og så når du

multiplisere dem de er minus 57?

Og du må tenke på det litt.

Og du kan få hele tall, men du er ikke engang

sikker på om det er to hele tall som fungerer

ut sånn.

Dette problemet er det.

Men, du vet, noen ganger løsningen er et desimaltall

og du ikke vet det.

Så den eneste gangen du kan virkelig faktor er hvis du er sikker på at

du kunne legger dette inn typen heltall uttrykk.

Du vet, x pluss noen heltall eller x minus noen heltall

ganger, du vet, x pluss noen andre heltall.

Eller liknende.

Det andre alternativet er å gjøre likningen.

Og hva vi skal se er faktisk den kvadratiske likningen

er bare egentlig en snarvei til å fullføre plassen.

Likningen er faktisk bevist ved hjelp

fullføre plassen.

Så hva er å fullføre plassen?

Så hva gjør vi?

Vel, før vi flytter inn i denne videoen får vi se hva som skjer

hvis jeg firkant et uttrykk.

La meg gjøre det i dette ned her.

Hva er x pluss, kvadrat?

Vel det er lik x kvadrat pluss 2ax pluss et kvadrat.

Akkurat

Så hvis du skulle finne noe i dette skjemaet, vet du at det er

x pluss noe kvadrat.

Så ville det ikke vært ryddig om vi kunne manipulere denne ligningen

slik at vi kan skrive det som x pluss en kvadrat er lik noe,

og så kunne vi bare ta kvadratroten?

Og hva vi skal gjøre er, faktisk, gjør nettopp det.

Og det er å fullføre plassen.

Så la meg vise deg et eksempel.

Jeg tror et eksempel vil gjøre det litt klarere.

La meg box dette bort.

Dette er hva du trenger å huske.

Dette er hele begrunnelsen bak konkurrerende rutene -

å få en ligning inn dette skjemaet, på den ene siden av

ligningen, og bare har et nummer på den andre siden, så

du kunne ta kvadratroten av begge sider.

Så la oss se.

Først av alt, la oss bare se å sørge for at dette ikke

et kvadrattall.

Hvis dette var, ville dette koeffisienten være lik 2a.

Akkurat

Så en skulle være 8, og da dette ville være 64.

Dette er helt klart ikke 64, så dette er rett her ikke

en kvadratisk uttrykk.

Så hva kan vi gjøre?

Vel la meg bli kvitt de 57 ved å legge 57 til begge

sider av denne ligningen.

Så jeg ville få x kvadrat pluss 16x er lik 57.

Alt jeg gjorde er jeg lagt 57 til begge sider av denne ligningen.

Nå, hva kan jeg legge til her, slik at dette, på venstre side

av denne ligningen, blir en firkant av enkelte uttrykk

som x pluss en?

Hvis du bare følger dette mønsteret her nede, har vi x kvadrat

pluss 2ax - så du kan se dette her som 2ax.

Akkurat

Det er 2ax.

Og da må vi legge en et kvadrat til den.

Akkurat

Pluss en kvadrat.

Og da vi ville ha med skjema her.

Men vi vet fra enkel algebra at alt du gjør til en

side av en ligning du trenger å gjøre til en annen.

Så vi lagt til en et kvadrat her, så la oss legge til en en

squared her også.

Og nå du kan egentlig skrive dette som en firkant

av enkelte uttrykk.

Men før at vi må finne ut hva en var?

Vel hvordan gjør vi det?

Vel, hva er en?

Hvis dette uttrykket her er 2ax, hva er en?

Vel 2a kommer til å like 16, så en er lik 8.

Og du kan gjerne gjøre det bare ved inspeksjon;

gjøre det i hodet ditt.

Men hvis du ønsket å se det gjøres algebraisk du kunne

faktisk skrive 2ax er lik 16x.

Og så dele begge sider med 2x, og få deg en er

lik 16x over 2x.

Og forutsatt at x ikke lik 0 denne evalueres til åtte.

Så en er 8.

Så hvis en er 8 vi kunne skrive om at uttrykket - Jeg skal bytte

farger vilkårlig - som x kvadrat pluss 16x

pluss et kvadrat.

Vel, det er 64, fordi en er 8.

Er lik 57 pluss 64.

Akkurat

Jeg gikk gjennom en ganske kjedelig forklaring her, men alt vi har

virkelig gjort å komme derfra til det vi lagt 57 til begge

sider av denne ligningen å slags få det på høyre side

side, og da vi la 64 til begge sider av denne ligningen.

Og hvorfor gjorde jeg legge 64 til begge sider av denne ligningen?

Slik at venstre side uttrykk tar dette skjemaet.

Nå som den venstre side uttrykk tar dette skjemaet

Jeg kan skrive om det som hva?

x pluss en, kvadrat.

Jeg kan skrive det i dette skjemaet.

Og vi vet at en er 8, så det blir x pluss 8, kvadrat,

er lik - og hva som er 57 pluss 64?

Det er 121.

Nå har vi det som ser ut som en ganske enkel - det er

fortsatt en kvadratisk likning, faktisk, for hvis du

var å utvide denne siden du vil få en kvadratisk.

Men vi kan løse dette uten å bruke likningen

eller uten å måtte faktor.

Vi kan bare ta kvadratroten av begge sider av dette.

Og hvis vi tar kvadratroten av begge sider hva får vi?

Vi får - nok en gang, vilkårlig bytte farger -

at x pluss åtte er lik, og huske dette, pluss eller

minus kvadratroten av 121.

Og hva er kvadratroten av 121?

Vel det er 11, ikke sant?

Så da vi kom hit.

La meg box dette bort.

Dette var bare en side.

Så vi får x pluss åtte er lik pluss eller minus 11.

Og så x er lik - trekke 8 fra begge sider - minus

8 pluss eller minus 11.

Og så x kunne like - så minus 8 pluss 11 er tre.

Akkurat

La meg sørge for at jeg gjorde det riktig.

x er lik minus 8 pluss eller minus 11.

Ja.

Det stemmer.

Så x kunne være lik tre.

Og så hvis jeg tok minus 8 minus 11, x kunne

også lik minus 19.

Ok,

Og la oss se om det er fornuftig.

Så i teorien dette skal kunne bli priset som x

minus 3 ganger x pluss 19 er lik 0.

Akkurat

Fordi disse er de to løsninger av denne ligningen.

Og det funker, ikke sant?

Minus 3 ganger 19 er minus 57.

Og minus 3 pluss 19 er pluss 16x.

Vi kunne bare ha umiddelbart factored det på denne måten, men hvis

det var ikke opplagt for oss - fordi, du vet, i hvert fall

19 er en slags merkelig tall - vi kunne gjøre det

fullføre plassen.

Og så hvorfor blir det kalt fullføre plassen?

Fordi du få det i dette skjemaet, og deretter må du legge denne

64 her å slags fullføre plassen - å snu dette

venstre uttrykk i et kvadrat uttrykk.

La oss gjøre en til.

Og jeg vil gjøre mindre forklaring og mer rettferdig tøffer gjennom

problemet, og som faktisk kan gjøre det virke enklere.

Men dette kommer til å være et risikabelt problem.

Så la oss si jeg har 6x squared minus 7 x minus 3 er lik 0.

Du kan prøve å faktor det, men personlig har jeg ikke

nyte factoring ting når jeg har en koeffisient.

Og du kan si, ja vel hvorfor ikke vi deler begge sider

av denne ligningen med 6?

Men da du får en brøkdel her og en brøk her.

Og det er enda verre å faktor kun ved inspeksjon.

Du kan gjøre likningen.

Og kanskje jeg skal vise deg i en fremtidig video, den kvadratiske

ligningen - og jeg tror jeg allerede har gjort en hvor jeg bevist

likningen.

Men likningen er egentlig

fullføre plassen.

Det er en slags snarvei.

Det er bare slags huske formelen.

Men la oss fullføre plassen her, fordi det er hva

Poenget med denne videoen var.

Så la oss legge til 3 til begge sider av denne ligningen.

Vi kunne gjøre - vel, la oss legge de 3 første.

Så du får 6 x squared minus 7x er lik tre.

Jeg har lagt 3 til begge sider.

Og noen lærere vil forlate minus 3 her, og prøv

å finne ut hva du skal legge til det og alt det der.

Men jeg liker å få det ut av veien slik at jeg kan finne ut

veldig tydelig hvilket nummer jeg skal legge her.

Men jeg liker ikke de 6 her.

Det kompliserer bare ting.

Jeg liker å ha det x pluss en kvadrat, ikke noen kvadratroten

koeffisient på x sikt.

Så la oss dele begge sider av denne ligningen med 6, og du får

x kvadrat minus 7 / 6 x er lik - 3 delt på 6

er lik 1 / 2.

Og vi kunne ha gjort at våre første skritt.

Vi kunne ha delt med 6 rette på det første skrittet.

Uansett, nå la oss prøve å fullføre plassen.

Så vi har x kvadrat - Jeg skal bare åpne opp noen plass -

minus 7 / 6 x pluss noe skal være lik 1 / 2.

Og så må vi legge til noe her, slik at denne venstre

uttrykket blir et kvadrat uttrykk.

Så hvordan gjør vi det?

Vel egentlig vi ser på denne koeffisienten, og holde

at dette er ikke bare 7 / 6 er det minus 7 / 6.

Du tar 1 / 2 av den, og så firkantet det.

Akkurat

La meg gjøre det.

x pluss, kvadrat, er lik x kvadrat pluss

2ax pluss et kvadrat.

Akkurat

Dette er hva du må huske hele tiden.

Det er alt fullføre plassen er basert off av.

Så hva gjorde jeg bare si nå?

Vel, dette begrepet kommer til å være 1 / 2 av denne

koeffisienten kvadrat.

Og hvordan kan vi vite det?

Fordi en kommer til å være 1 / 2 av denne koeffisienten hvis du bare

gjøre en liten bit av mønstergjenkjenning.

Så hva er 1 / 2 av denne koeffisienten?

1 / 2 av minus 7 / 6 er minus 7 / 12.

Så hvis du ønsker du kunne skrive en lik minus

7 / 12 for vårt eksempel.

Og jeg bare multiplisert dette med 1 / 2.

Akkurat

Så hva legger jeg til begge sider?

Jeg legger til et kvadrat.

Så hva er 7 / 12 kvadrat?

Vel det kommer til å bli 49/144.

Hvis jeg gjorde den til venstre jeg må gjøre det til

høyre side.

Plus 49/144.

Og nå hvordan kan jeg forenkle denne venstre-side?

Hva er vårt neste steg?

Vel vi nå vet det er et kvadrattall.

Faktisk vet vi hva en er. a er minus 7 / 12.

Og så vi vet at denne venstre side av denne ligningen

er x minus en - eller x pluss, men en er et negativt tall.

Så x pluss, og en er negativ, kvadrat.

Og hvis du vil kan du mangedoble dette ut og bekreft

at det tilsvarer virkelig dette.

Og det kommer til å være lik - la oss få en felles

nevneren, 144.

Så 72 pluss 49 er lik 121.

121/144.

Så vi har x minus 7 / 12, alt det kvadrerte

er lik 121/144.

Så hva gjør vi nå?

Vel nå er det bare å ta kvadratroten av begge

sider av denne ligningen.

Og jeg prøver å frigjøre litt plass.

Bytt til grønt.

La meg partisjonen dette av.

Og vi får x minus 7 / 12 er lik pluss eller minus

kvadratroten av det.

Så pluss eller minus 11/12.

Akkurat

Kvadratroten av 121 er 11.

Kvadratroten av 144 er 12 år.

Så da kunne vi legge 7 / 12 på begge sider av denne ligningen,

og vi får x er lik til 7 / 12 pluss eller minus 11/12.

Vel det tilsvarer 7 pluss eller minus 11/12.

Så hva er de to alternativene?

7 pluss 11 er 18, over 12.

Så x kunne like 18/12, er 3 / 2.

Eller, er det 7 minus 11?

Det er minus 4 / 12.

Så det er minus 1 / 3.

Det du har det.

Det er å fullføre plassen.

Forhåpentligvis har du funnet ut at rimelig innsiktsfulle.

Og hvis du ønsker å bevise likningen, alle dere

trenger å gjøre er stedet for å ha tall her, skriver øks kvadrat

pluss bx pluss c er lik 0.

Og så fullføre plassen ved hjelp av a, b, og c er

i stedet for tall.

Og du vil ende opp med likningen

av dette punktet.

Og jeg tror jeg gjorde det i en video.

Gi meg beskjed hvis jeg ikke og jeg skal gjøre det for deg.

Uansett, vil jeg se deg i neste video.