Inverse Trig Functions: Arccos

Mums jau bija video
par arksinusu un arktangensu,

tāpēc pilnam komplektam
apskatīsim arī arkkosinusu.

Tāpat kā pārējām inversajām
trigonometriskajām funkcijām

arī arkkosinusam pielietojams
tāds pats domu gājiens.
Ja es teiktu, ka arkkosinuss –

tā, šoreiz runāsim par arkkosinusu –
ja es teiktu, ka arkkosinuss no x ir vienāds ar tētu,

tas būtu tas pats, kas teikt,
ka inversais kosinuss no x
ir vienāds ar tētu.

Tie vienkārši ir divi dažādi veidi,
kā pierakstīt vienu un to pašu,

un, līdzko es ieraugu arkkosinusu
vai inverso trigonometrisko funkciju,

manas smadzenes to tūlīt pat iztulko šādi:

kosinuss leņķim tēta ir vienāds ar x.

Šādi manā prātā tiek pārvērstas
abas augšējās izteiksmes.

Ja jautājums ir,
cik ir inversais kosinuss no x,
manas smadzenes to saprot šādi:

kādam leņķim jānosaka kosinuss,
lai iegūtu x?

Labi, mēģināsim to izmantot
kādā piemērā.
Pieņemsim, ka mums ir arkkosinuss –
tā, šeit būtu jābūt diviem c burtiem –

pieņemsim, ka mums jānosaka
arkkosinuss no mīnus 1/2.

Manas smadzenes, protams, saka,
ka tas būs vienāds ar kādu leņķi,

un tas ir tas pats, kas teikt,
ka mūsu noslēpumainā leņķa kosinuss
ir vienāds ar mīnus 1/2.

Un, līdzko esam šo izteikuši šādi,
vismaz manām smadzenēm
ir daudz vieglāk to atrisināt.

Labi, uzzīmēsim vienības riņķi
un paskatīsimies, vai varam
kaut kā tikt uz priekšu.

Te būs...
tā, šo es varētu uzzīmēt mazliet taisnāk.

Patiesībā es varētu izmantot lineālu –
ar lineālu varbūt sanāktu taisnāk.

Nē, tas būs par sarežģītu.

Labi, te būs mana y ass un šeit – x ass.
Varbūt tās nav visu laiku precīzākās asis,
bet būs gana labas.

Tālāk zīmēju vienības riņķi,
kas gan vairāk izskatās pēc elipses,
bet nu priekšstatam derēs.

Leņķa kosinuss
atbilstoši vienības riņķa līnijas
definīcijai

ir x vērtība uz vienības riņķa līnijas.
Tātad – mums ir leņķis,
kura x vērtība ir vienāda ar mīnus 1/2.

Atzīmējam 1/2 šeit.

Un mums jāaprēķina leņķis tēta.
Tas ir leņķis, kas veidojas,
taisnei krustojot riņķa līniju vietā,
kur x vērtība ir mīnus 1/2.

Lūk, leņķis, ko gribam aprēķināt.

Leņķis tēta, kas mums jānosaka.
Kā to izdarīt?

Ja šeit ir mīnus 1/2,
noskaidrosim šos leņķus.

Un mana pieeja ir šāda – es mēģinu noskaidrot šo leņķi,

jo, ja tas leņķis būs zināms,
varēšu to atņemt no 180 grādiem,

lai atrastu gaišzilā leņķa platumu,
kas tad arī būtu
mūsu uzdevuma atrisinājums.

Uzzīmēšu šo trijstūri mazliet lielākā izmērā.

Tas izskatīsies apmēram šādi.

Šī mala būs 1/2, savukārt tā būs 1.

Cerams, jau ievēroji, ka šis ir trijstūris
ar 30, 60 un 90 grādu leņķiem.

Mēs varētu izrēķināt šo malu –
tā būs kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

Lai šo trešo malu izrēķinātu,
vienkārši jāizmanto Pitagora teorēma.

Patiesībā izdarīsim to.
Apzīmēsim šo malu ar a.

Un tad a kvadrātā
plus 1/2 kvadrātā – kas ir 1/4 –
būs vienāds ar 1 kvadrātā, kas ir 1.

Sanāk, ka a kvadrātā ir vienāds ar 3/4
un a ir kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

Tātad ir skaidrs, ka šis ir trijstūris
ar 30, 60 un 90 grādu leņķiem,

jo šādā trijstūrī hipotenūza ir 1
un malas ir 1/2
un kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

Tāpat mēs zinām,
ka pretī kvadrātsaknei no 3 dalīts ar 2
atrodas 60 grādu leņķis.

Šeit ir 60 grādi,
te ir taisnais 90 grādu leņķis,
un šis augšējais ir 30 grādi.

Bet mūs interesē šis leņķis,
un tikko noskaidrojām,
ka tas ir 60 grādus plats,

Tātad cik liels ir šis platākais leņķis?

Cik liels ir 60 grādu leņķa blakusleņķis?
Tā blakusleņķis ir 180 grādus plats,

tātad arkkosinuss jeb inversais kosinuss –
šo pierakstīsim –

arkkosinuss no mīnus 1/2
ir vienāds ar 120 grādiem.
Šeit nez kāpēc uzrakstīju 180 –
nē, pareizi būs 180 grādi mīnus 60 grādi.

Kopējais platums ir 180 grādi,
tātad šis leņķis ie 120 grādi.
120 plus 60 būs 180.

Ja gribam šo izteikt radiānos,
120 grādi jāpareizina ar pī radiāniem
uz katriem 180 grādiem.

Grādus varam noīsināt.
12 dalīts 18 būs 2/3,
tātad šis būs vienāds
ar 2 pī dalīts ar 3 radiāniem.

Šis ir vienāds
ar 2 pī dalīts ar 3 radiāniem.

Tāpat kā arksinusa un arktangensa video
arī šeit varam jautāt

ja 2 pī dalīts ar 3 radiāniem
ir kosinuss no mīnus 1/2 –

varam pierakstīt,
ka kosinuss no 2 pī dalīts ar 3 radiāniem
ir vienāds ar mīnus 1/2 –

tas ir tas pats, kas šajā izteiksmē –
taču mēs varētu turpināt
riņķot ap vienības riņķi.

Piemēram, šis punkts –

arī šī punkta kosinuss,
ja leņķis ir šādā platumā,

būtu mīnus 1/2.
Tālāk varam apmest 2 pī loku un atkal nokļūt šeit,

tātad ir vesela rinda vērtību,
leņķu, kuru kosinuss būs mīnus 1/2.

Tāpēc mums sevi jāierobežo –
mums jāierobežo
arkkosinusa funkcijas vērtības,

būtībā jāierobežo
funkcijas vērtību apabals.

Funkcijas vērtību apgabals
būs šī augšējā puslode –

pirmais un otrais kvadrants.

Ja sakām, ka arkkosinuss no x
ir vienāds ar tētu,

funkcijas vērtību apgabals
atradīsies šeit, augšpusē.

Tēta būs lielāka vai vienāda ar 0
un mazāka vai vienāda ar 102 pī –
atvaino, nevis 2 pī,
bet mazāka vai vienāda ar pī.

Šo varam izteikt arī grādos –
0 grādu un 180 grādi.

Vērtību apgabals atrodas šajā puslodē,

un šis ir vienīgais punkts,
kurā leņķa kosinuss
būs vienāds ar mīnus 1/2.

Šo leņķi nevaram izmantot,
jo tas ir ārpus vērtību apgabala.

Un kādas ir iespējamās x vērtības?