-
Mums jau bija video
par arksinusu un arktangensu,
-
tāpēc pilnam komplektam
apskatīsim arī arkkosinusu.
-
Tāpat kā pārējām inversajām
trigonometriskajām funkcijām
-
arī arkkosinusam pielietojams
tāds pats domu gājiens.
Ja es teiktu, ka arkkosinuss –
-
tā, šoreiz runāsim par arkkosinusu –
ja es teiktu, ka arkkosinuss no x ir vienāds ar tētu,
-
tas būtu tas pats, kas teikt,
ka inversais kosinuss no x
ir vienāds ar tētu.
-
Tie vienkārši ir divi dažādi veidi,
kā pierakstīt vienu un to pašu,
-
un, līdzko es ieraugu arkkosinusu
vai inverso trigonometrisko funkciju,
-
manas smadzenes to tūlīt pat iztulko šādi:
-
kosinuss leņķim tēta ir vienāds ar x.
-
Šādi manā prātā tiek pārvērstas
abas augšējās izteiksmes.
-
Ja jautājums ir,
cik ir inversais kosinuss no x,
manas smadzenes to saprot šādi:
-
kādam leņķim jānosaka kosinuss,
lai iegūtu x?
-
Labi, mēģināsim to izmantot
kādā piemērā.
Pieņemsim, ka mums ir arkkosinuss –
tā, šeit būtu jābūt diviem c burtiem –
-
pieņemsim, ka mums jānosaka
arkkosinuss no mīnus 1/2.
-
Manas smadzenes, protams, saka,
ka tas būs vienāds ar kādu leņķi,
-
un tas ir tas pats, kas teikt,
ka mūsu noslēpumainā leņķa kosinuss
ir vienāds ar mīnus 1/2.
-
Un, līdzko esam šo izteikuši šādi,
vismaz manām smadzenēm
ir daudz vieglāk to atrisināt.
-
Labi, uzzīmēsim vienības riņķi
un paskatīsimies, vai varam
kaut kā tikt uz priekšu.
-
Te būs...
tā, šo es varētu uzzīmēt mazliet taisnāk.
-
Patiesībā es varētu izmantot lineālu –
ar lineālu varbūt sanāktu taisnāk.
-
Nē, tas būs par sarežģītu.
-
Labi, te būs mana y ass un šeit – x ass.
Varbūt tās nav visu laiku precīzākās asis,
bet būs gana labas.
-
Tālāk zīmēju vienības riņķi,
kas gan vairāk izskatās pēc elipses,
bet nu priekšstatam derēs.
-
Leņķa kosinuss
atbilstoši vienības riņķa līnijas
definīcijai
-
ir x vērtība uz vienības riņķa līnijas.
Tātad – mums ir leņķis,
kura x vērtība ir vienāda ar mīnus 1/2.
-
Atzīmējam 1/2 šeit.
-
Un mums jāaprēķina leņķis tēta.
Tas ir leņķis, kas veidojas,
taisnei krustojot riņķa līniju vietā,
kur x vērtība ir mīnus 1/2.
-
Lūk, leņķis, ko gribam aprēķināt.
-
Leņķis tēta, kas mums jānosaka.
Kā to izdarīt?
-
Ja šeit ir mīnus 1/2,
noskaidrosim šos leņķus.
-
Un mana pieeja ir šāda – es mēģinu noskaidrot šo leņķi,
-
jo, ja tas leņķis būs zināms,
varēšu to atņemt no 180 grādiem,
-
lai atrastu gaišzilā leņķa platumu,
kas tad arī būtu
mūsu uzdevuma atrisinājums.
-
Uzzīmēšu šo trijstūri mazliet lielākā izmērā.
-
Tas izskatīsies apmēram šādi.
-
Šī mala būs 1/2, savukārt tā būs 1.
-
Cerams, jau ievēroji, ka šis ir trijstūris
ar 30, 60 un 90 grādu leņķiem.
-
Mēs varētu izrēķināt šo malu –
tā būs kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.
-
Lai šo trešo malu izrēķinātu,
vienkārši jāizmanto Pitagora teorēma.
-
Patiesībā izdarīsim to.
Apzīmēsim šo malu ar a.
-
Un tad a kvadrātā
plus 1/2 kvadrātā – kas ir 1/4 –
būs vienāds ar 1 kvadrātā, kas ir 1.
-
Sanāk, ka a kvadrātā ir vienāds ar 3/4
un a ir kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.
-
Tātad ir skaidrs, ka šis ir trijstūris
ar 30, 60 un 90 grādu leņķiem,
-
jo šādā trijstūrī hipotenūza ir 1
un malas ir 1/2
un kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.
-
Tāpat mēs zinām,
ka pretī kvadrātsaknei no 3 dalīts ar 2
atrodas 60 grādu leņķis.
-
Šeit ir 60 grādi,
te ir taisnais 90 grādu leņķis,
un šis augšējais ir 30 grādi.
-
Bet mūs interesē šis leņķis,
un tikko noskaidrojām,
ka tas ir 60 grādus plats,
-
Tātad cik liels ir šis platākais leņķis?
-
Cik liels ir 60 grādu leņķa blakusleņķis?
Tā blakusleņķis ir 180 grādus plats,
-
tātad arkkosinuss jeb inversais kosinuss –
šo pierakstīsim –
-
arkkosinuss no mīnus 1/2
ir vienāds ar 120 grādiem.
Šeit nez kāpēc uzrakstīju 180 –
nē, pareizi būs 180 grādi mīnus 60 grādi.
-
Kopējais platums ir 180 grādi,
tātad šis leņķis ie 120 grādi.
120 plus 60 būs 180.
-
Ja gribam šo izteikt radiānos,
120 grādi jāpareizina ar pī radiāniem
uz katriem 180 grādiem.
-
Grādus varam noīsināt.
12 dalīts 18 būs 2/3,
tātad šis būs vienāds
ar 2 pī dalīts ar 3 radiāniem.
-
Šis ir vienāds
ar 2 pī dalīts ar 3 radiāniem.
-
Tāpat kā arksinusa un arktangensa video
arī šeit varam jautāt
-
ja 2 pī dalīts ar 3 radiāniem
ir kosinuss no mīnus 1/2 –
-
varam pierakstīt,
ka kosinuss no 2 pī dalīts ar 3 radiāniem
ir vienāds ar mīnus 1/2 –
-
tas ir tas pats, kas šajā izteiksmē –
taču mēs varētu turpināt
riņķot ap vienības riņķi.
-
Piemēram, šis punkts –
-
arī šī punkta kosinuss,
ja leņķis ir šādā platumā,
-
būtu mīnus 1/2.
Tālāk varam apmest 2 pī loku un atkal nokļūt šeit,
-
tātad ir vesela rinda vērtību,
leņķu, kuru kosinuss būs mīnus 1/2.
-
Tāpēc mums sevi jāierobežo –
mums jāierobežo
arkkosinusa funkcijas vērtības,
-
būtībā jāierobežo
funkcijas vērtību apabals.
-
Funkcijas vērtību apgabals
būs šī augšējā puslode –
-
pirmais un otrais kvadrants.
-
Ja sakām, ka arkkosinuss no x
ir vienāds ar tētu,
-
funkcijas vērtību apgabals
atradīsies šeit, augšpusē.
-
Tēta būs lielāka vai vienāda ar 0
un mazāka vai vienāda ar 102 pī –
atvaino, nevis 2 pī,
bet mazāka vai vienāda ar pī.
-
Šo varam izteikt arī grādos –
0 grādu un 180 grādi.
-
Vērtību apgabals atrodas šajā puslodē,
-
un šis ir vienīgais punkts,
kurā leņķa kosinuss
būs vienāds ar mīnus 1/2.
-
Šo leņķi nevaram izmantot,
jo tas ir ārpus vērtību apgabala.
-
Un kādas ir iespējamās x vērtības?
-
Jebkura leņķa kosinuss
var būt vērtība starp mīnus 1 un plus 1,
-
tātad mūsu kosinusa funkcijas
definīcijas apgabals x
-
būs mazāks vai vienāds ar 1
un lielāks vai vienāds ar mīnus 1.
-
Arī šoreiz pārbaudīsim,
vai mūsu iegūtā vērtība,
-
vai arkkosinuss no mīnus 1/2
patiešām ir 2 pī dalīts ar 2.
-
Slēdzam iekšā kalkulatoru.
-
Mums tātad jānoskaidro,
cik ir inversais kosinuss jeb arkkosinuss
no mīnus 1/2 – no mīnus 0,5.
-
Iegūstam šādu decimāldaļskaitli.
-
Pārbaudīsim, vai tas ir tas pats,
kas 2 pī dalīts ar 3.
2 reiz pī dalīts ar 3
ir vienāds ar tieši to pašu skaitli,
-
tātad ar kalkulatoru
rezultāts sanāk tāds pats.
-
Taču ar kalkulatoru iegūtais skaitlis,
-
lai gan pareizs,
tomēr nav tik īss un precīzs.
-
Es, piemēram, nezinu, ka šis ir tas pats,
kas 2 pī dalīts ar 3 radiāni.
-
Ar vienības riņķa palīdzību
mēs ieguvām atbildi šādā formā.
-
Noslēgumā kāds interesants jautājums,
kas attiecināms
uz visām inversajām funkcijām.
-
Ja es tev jautātu...
ņemsim arkkosinusu no x
un atradīsim tā kosinusu.
-
Ar ko tas būs vienāds?
-
No šīs izteiksmes varam izspriest,
ka arkkosinuss no x ir vienāds ar tētu.
-
Tas nozīmē, ka kosinuss no tētas
ir vienāds ar x.
-
Tātad, ja arkkosinuss no x
ir vienāds ar tētu,
mēs varam aizvietot šo ar tētu,
-
un tālāk jau kosinuss no tētas ir x.
-
Viss šis ir vienāds ar x.
-
Ceru, ka nesamulsināju tevi ar šo.
Arkkosinuss no x ir tēta.
-
Atbilstoši definīcijai tas nozīmē,
ka kosinuss no tētas ir vienāds ar x.
-
Šīs izteiksmes ir ekvivalentas.
-
Ja šeit liekam tētu
un meklējam kosinusu no tētas,
tam jābūt vienādam ir x.
-
Uzdošu vēl vienu,
mazliet āķīgāku jautājumu.
-
Ja nu es jautātu...
Šis būs patiesi ar jebkuru x vērtību.
-
Šis būs patiesi ar jebkuru x vērtību –
jebkuru vērtību starp mīnus 1 un 1,
ieskaitot abus galapunktus.
-
Labi, ja nu es tev jautātu –
ar ko ir vienāds arkkosinuss
no kosinusa no tētas?
-
Atbilde būtu – tas atkarīgs no tētas.
-
Ja tēta ietilpst
funkcijas vērtību apgabalā,
-
ja tēta ir starp 0 un pī,
proti, mūsu vērtību apgabalā,
-
arkkosinusa vērtību apgabalā,
tad šis būs vienāds ar tētu.
-
Ja attiecībā uz tētu tiek ņemts vērā šis.
Bet ja nu mūsu tēta
būtu ārpus šī apgabala?
-
Pamēģināsim.
Sāksim ar tētu, kas ietilpst
šajā vērtību apgabalā.
-
Ņemsim arkkosinusu no kosinusa –
ņemsim tādu, ko mēs jau zinām, –
-
ņemsim kosinusu no 2 pī dalīts ar 3.
-
Kosinuss no 2 pī dalīts ar 3
ir tas pats, kas arkkosinuss no mīnus 1/2, –
-
kosinuss no 2 pī dalīts ar 3 ir mīnus 1/2,
to mēs redzējām iepriekš šajā pašā video.
-
Ejam tālāk un atrisinām šo –
tas ir vienāds ar 2 pī dalīts ar 3.
-
Tātad funkcijas vērtību apgabalā,
ja tēta ir starp 0 un pī, tas darbojas.
-
Un tas ir tāpēc,
ka arkkosinusa funkcijas vērtības
var atrasties tikai starp 0 un pī.
-
Bet ja nu es jautātu,
cik ir arkkosinuss
no kosinusa no, piemēram, 3 pī.
-
Uzzīmēsim vienības riņķi. Lūk, arī asis.
-
Kur būs 3 pī?
2 pī būs viens pilns
loks ap vienības riņķi,
-
un tad jāapmet vēl viens pusloks jeb pī.
Esam nonākuši šeit –
-
tas ir 1,5 reizes apkārt vienības riņķim.
Tātad 3 pī ir šeit.
-
Kāda ir šī punkta x koordināta?
Mīnus 1.
Tātad kosinuss no 3 pī ir mīnus 1.
-
Cik būs arkkosinuss no mīnus 1?
Arkkosinuss no mīnus 1.
-
Atceramies, ka funkcijas vērtību apgabals
jeb arkkosinusa vērtību kopa
atrodas šajā augšējā puslodē,
-
tas var atrasties tikai starp pī un 0.
Tātad arkkosinuss no mīnus 1
būs vienkārši pī.
-
Šis būs pī.
Arkkosinuss no mīnus 1 ir pī.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-