Inverse Trig Functions: Arccos

Mums jau bija video par arksinusu

un arktangensu,

tāpēc pilnam komplektam
apskatīsim arī arkkosinusu.

Tāpat kā pārējām inversajām
trigonometriskajām funkcijām

arī arkkosinusam pielietojams
tāds pats domu gājiens.

Ja es teiktu, ka arkkosinuss –

tā, šoreiz runāsim par arkkosinusu –

ja es teiktu, ka arkkosinuss no x
ir vienāds ar tētu,

tas būtu tas pats, kas teikt,
ka inversais kosinuss no x

ir vienāds ar tētu.

Tie vienkārši ir divi dažādi veidi,
kā pierakstīt vienu un to pašu,

un, līdzko es ieraugu kaut ko ar "ark"
vai inverso trigonometrisko funkciju,

manas smadzenes to tūlīt pat iztulko šādi:

kosinuss leņķim tēta ir vienāds ar x.

Šādi manā prātā tiek pārvērstas
abas augšējās izteiksmes.

Ja jautājums ir,
cik ir inversais kosinuss no x,

manas smadzenes to saprot šādi:

kādam leņķim jānosaka kosinuss,
lai iegūtu x?

Labi, mēģināsim to izmantot
kādā piemērā.

Pieņemsim, ka mums ir arkkosinuss –

te vajag divus c –

pieņemsim, ka mums jānosaka

arkkosinuss no mīnus 1/2.

Manas smadzenes, protams, saka,
ka tas būs vienāds ar kaut kādu leņķi,

un tas ir tas pats, kas teikt,
ka mūsu noslēpumainā leņķa kosinuss

ir vienāds ar mīnus 1/2.

Un, līdzko esam šo izteikuši šādi,

vismaz manām smadzenēm
ir daudz vieglāk to atrisināt.

Labi, uzzīmēsim vienības riņķi

un paskatīsimies, vai varam
kaut kā tikt uz priekšu.

Te būs...

tā, šo es varētu uzzīmēt mazliet taisnāk.

Patiesībā es varētu izmantot lineālu –
ar lineālu varbūt sanāktu taisnāk.

Nē, tas būs par sarežģītu.

Labi, te būs mana y ass,

un šeit – x ass.

Varbūt tās nav visu laiku precīzākās asis,
bet būs gana labas.

Tālāk zīmēju vienības riņķi,

kas gan vairāk izskatās pēc elipses,
bet nu priekšstatam derēs.

Leņķa kosinuss

atbilstoši vienības riņķa līnijas
definīcijai

ir x vērtība uz vienības riņķa līnijas.

Tātad – mums ir leņķis,
kura x vērtība ir vienāda ar mīnus 1/2.

Atzīmējam mīnus 1/2 šeit.

Un mums jāaprēķina leņķis tēta,

kas veidojas, taisnei krustojot
riņķa līniju vietā,

kur x vērtība ir mīnus 1/2.

Lūk, leņķis, ko gribam aprēķināt.

Leņķis tēta, kas mums jānosaka.

Kā to izdarīt?

Ja šeit ir mīnus 1/2,
noskaidrosim šos leņķus.

Un mana pieeja ir šāda –
es mēģinu noskaidrot šo leņķi,

jo, ja tas leņķis būs zināms,
varēšu to atņemt no 180 grādiem,

lai atrastu gaišzilā leņķa platumu,

kas tad arī būtu
mūsu uzdevuma atrisinājums.

Uzzīmēšu šo trijstūri
mazliet lielākā izmērā.

Tas izskatīsies apmēram šādi.

Šis attālums, šī mala būs 1/2 –

1/2 –

savukārt tā būs 1.

Cerams, jau ievēroji, ka šis ir trijstūris
ar 30, 60 un 90 grādu leņķiem.

Mēs varētu izrēķināt šo malu –
tā būs kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

Lai šo trešo malu izrēķinātu,
vienkārši jāizmanto Pitagora teorēma.

Patiesībā izdarīsim to.

Apzīmēsim šo malu ar a.

Un tad a kvadrātā
plus 1/2 kvadrātā – kas ir 1/4 –

būs vienāds ar 1 kvadrātā, kas ir 1.

Sanāk, ka a kvadrātā ir vienāds ar 3/4

un a ir kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

Tātad ir skaidrs, ka šis ir trijstūris
ar 30, 60 un 90 grādu leņķiem,

jo šādā trijstūrī, ja hipotenūza ir 1,

malas ir 1/2
un kvadrātsakne no 3 dalīts ar 2.

Tāpat mēs zinām,

ka pretī kvadrātsaknei no 3 dalīts ar 2

atrodas 60 grādu leņķis.

Šeit ir 60 grādi,

te ir taisnais 90 grādu leņķis,

un šis augšējais ir 30 grādi.

Bet mūs interesē šis leņķis,

un tikko noskaidrojām,
ka tas ir 60 grādus plats.

Tātad cik liels ir šis platākais leņķis?

Cik liels ir 60 grādu leņķa blakusleņķis?

Tā blakusleņķis ir 180 grādus plats,

tātad arkkosinuss jeb inversais kosinuss –

šo pierakstīsim –

arkkosinuss no mīnus 1/2

ir vienāds ar 120 grādiem.

Šeit nez kāpēc uzrakstīju 180 –

pareizi būs 180 grādi mīnus 60 grādi.

Kopējais platums ir 180 grādi,
tātad šis leņķis ir 120 grādi.

120 plus 60 būs 180.

Ja gribam šo izteikt radiānos,

120 grādi jāpareizina

ar pī radiāniem
uz katriem 180 grādiem.

Grādus noīsinām.

12 dalīts 18 būs 2/3,

tātad šis būs vienāds
ar 2 pī dalīts ar 3 radiāniem.

Šis ir vienāds
ar 2 pī dalīts ar 3 radiāniem.

Tāpat kā arksinusa un arktangensa video

arī šeit varam jautāt...

ja 2 pī dalīts ar 3 radiāniem
ir kosinuss no mīnus 1/2 –

varam pierakstīt,
ka kosinuss no 2 pī dalīts ar 3

ir vienāds ar mīnus 1/2 –

tas ir tas pats, kas šajā izteiksmē –

bet var taču turpināt
riņķot ap vienības riņķi.

Piemēram, šis punkts –

arī šī punkta kosinuss,
ja leņķis ir šādā platumā,

būtu mīnus 1/2.

Tālāk varam apmest 2 pī loku
un atkal nokļūt šeit,

tātad ir vesela rinda vērtību,
leņķu, kuru kosinuss būs mīnus 1/2.

Tāpēc mums sevi jāierobežo –

mums jāierobežo funkcijas vērtības,

būtībā jāierobežo
funkcijas vērtību apabals.

Funkcijas vērtību apgabals
būs šī augšējā puslode –

pirmais un otrais kvadrants.

Ja sakām,

ka arkkosinuss no x
ir vienāds ar tētu,

funkcijas vērtību apgabals
atradīsies šeit, augšpusē.

Tēta būs lielāka vai vienāda ar 0

un mazāka vai vienāda ar 100...

2 pī -

atvaino, nevis 2 pī,
bet mazāka vai vienāda ar pī.

Šo varam izteikt arī grādos –
0 grādu un 180 grādi.

Vērtību apgabals atrodas šajā puslodē,

un šis ir vienīgais punkts,

kurā leņķa kosinuss
būs vienāds ar mīnus 1/2.

Šo leņķi nevaram izmantot,
jo tas ir ārpus vērtību apgabala.

Un kādas ir iespējamās x vērtības?

Jebkura leņķa kosinuss
var būt vērtība starp mīnus 1 un plus 1,

tātad mūsu arkkosinusa funkcijas
definīcijas apgabals atbilst

x mazāks vai vienāds ar 1

un lielāks vai vienāds ar mīnus 1.

Arī šoreiz pārbaudīsim,
vai mūsu iegūtā vērtība,

vai arkkosinuss no mīnus 1/2
patiešām ir 2 pī dalīts ar 3,

ja rēķinām ar kalkulatoru.

Slēdzam iekšā kalkulatoru.

Mums tātad jānoskaidro,
cik ir inversais kosinuss jeb arkkosinuss

no mīnus 1/2 –

no mīnus 0,5.

Iegūstam šādu decimāldaļskaitli.

Vai tas ir tas pats, kas 2 pī dalīts ar 3?

2 reiz pī dalīts ar 3

ir vienāds ar tieši to pašu skaitli,

tātad ar kalkulatoru
rezultāts sanāk tāds pats.

Taču ar kalkulatoru iegūtais skaitlis,

lai gan pareizs,
tomēr nav tik īss un precīzs.

Es, piemēram, nezinu, ka šis ir tas pats,
kas 2 pī dalīts ar 3 radiāni.

Ar vienības riņķa palīdzību
mēs ieguvām atbildi šādā formā.

Noslēgumā kāds interesants jautājums,

kas attiecināms
uz visām inversajām funkcijām.

Ja es tev jautātu...

ņemsim arkkosinusu no x

un atradīsim tā kosinusu.

Ar ko tas būs vienāds?

No šīs izteiksmes varam izspriest,

ka arkkosinuss no x ir vienāds ar tētu.

Tas nozīmē, ka kosinuss no tētas
ir vienāds ar x.

Tātad, ja arkkosinuss no x
ir vienāds ar tētu,

mēs varam aizvietot šo ar tētu,

un tālāk jau kosinuss no tētas ir x!

Viss šis ir vienāds ar x.

Ceru, ka nesamulsināju tevi ar šo.

Arkkosinuss no x ir tēta.

Atbilstoši definīcijai tas nozīmē,
ka kosinuss no tētas ir vienāds ar x.

Šīs izteiksmes ir ekvivalentas.

Ja šeit liekam tētu
un meklējam kosinusu no tētas,

tam jābūt vienādam ir x.

Uzdošu vēl vienu,
mazliet āķīgāku jautājumu.

Ja nu es jautātu...

Šis būs patiesi ar jebkuru x vērtību.

Šis būs patiesi ar jebkuru x vērtību –

jebkuru vērtību starp mīnus 1 un 1,
ieskaitot abus galapunktus.

Labi, ja nu es tev jautātu –

ar ko ir vienāds arkkosinuss

no kosinusa no tētas?

Ar ko būs vienāds šis?

Atbilde būtu – tas atkarīgs no tētas.

Ja tēta ietilpst
funkcijas vērtību apgabalā,

ja tēta ir starp 0 un pī,

proti, mūsu vērtību apgabalā,

arkkosinusa vērtību apgabalā,

tad šis būs vienāds ar tētu.

Ja attiecībā uz tētu tiek ņemts vērā šis.

Bet ja nu mūsu tēta
būtu ārpus šī apgabala?

Pamēģināsim.

Sāksim ar tētu, kas ietilpst
šajā vērtību apgabalā.

Ņemsim arkkosinusu no kosinusa –

ņemsim tādu, ko mēs jau zinām, –

ņemsim kosinusu no 2 pī dalīts ar 3.

Arkkosīnuss no kosinusa no
2 pī dalīts ar 3 radiāniem

ir tas pats, kas arkkosinuss
no mīnus 1/2, –

kosinuss no 2 pī dalīts ar 3 ir mīnus 1/2,

to mēs redzējām iepriekš šajā pašā video.

Ejam tālāk un atrisinām šo –

tas ir vienāds ar 2 pī dalīts ar 3.

Tātad funkcijas vērtību apgabalā,
ja tēta ir starp 0 un pī, tas darbojas.

Un tas ir tāpēc,
ka arkkosinusa funkcijas vērtības

var atrasties tikai starp 0 un pī.

Bet ja nu es jautātu,

cik ir arkkosinuss

no kosinusa no, piemēram, 3 pī.

3 pī.

Uzzīmēsim vienības riņķi.

Lūk, arī asis.

Kur būs 3 pī?

2 pī būs viens pilns
loks ap vienības riņķi,

un tad jāapmet vēl viens pusloks jeb pī.

Esam nonākuši šeit –
tas ir 1,5 reizes apkārt vienības riņķim.

Tātad 3 pī ir šeit.

Kāda ir šī punkta x koordināta?

Mīnus 1.

Tātad kosinuss no 3 pī ir mīnus 1.

Cik būs arkkosinuss no mīnus 1?

Arkkosinuss no mīnus 1.

Atceramies, ka funkcijas vērtību apgabals
jeb arkkosinusa vērtību kopa

atrodas šajā augšējā puslodē,

tas var atrasties tikai starp pī un 0.

Tātad arkkosinuss no mīnus 1
būs vienkārši pī.

Šis būs pī.

Arkkosinuss no mīnus 1 ir pī.

Un tas ir loģiski,

jo vienīgā atšķirība starp 3 pī un pī
ir vēl viens loks ap vienības riņķi.

Mēs savā ziņā nonākam
ekvivalentā vienības riņķa punktā.

Man šķita, ka ir vērts uzdot tev
šos divus jautājumus.

Šis patiesībā ir visai noderīgs.

Kosinuss no arkkosinusa no x
vienmēr būs x.

To pašu varam izdarīt ar sinusu.

Sinuss no arksinusa no x

arī būs vienāds ar x.

Tās ir noderīgas lietas,

ko vērts ne tikai iemācīties no galvas,
jo iemācīties var nepareizi.

Ir vērts par tām mazliet padomāt,
tad tās nekad neaizmirsīsies.