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Parametric curve arc length

  • 0:01 - 0:03
    그래프를 한 번 봅시다
  • 0:03 - 0:05
    x 좌표와
    y 좌표가 각각
  • 0:05 - 0:07
    x 좌표와
    y 좌표가 각각
  • 0:07 - 0:10
    세 번째 변수인 t의
    함수입니다
  • 0:10 - 0:13
    x는 t의 함수이며
  • 0:13 - 0:17
    y도 t의 함수입니다
  • 0:17 - 0:20
    이 내용이
    이해가 안된다면
  • 0:20 - 0:23
    칸아카데미에서
    매개 방적식 동영상을
  • 0:23 - 0:24
    복습하세요
  • 0:24 - 0:26
    이 문제에 대해
    생각을 해보면
  • 0:26 - 0:28
    이번 영상에서는
    대략적으로 설명하겠습니다
  • 0:28 - 0:30
    다음 영상에서
  • 0:30 - 0:33
    더 정확한 예제로
    설명을 드리겠습니다
  • 0:33 - 0:35
    이번 문제에서 볼 내용은
  • 0:35 - 0:36
    t = a일 경우의
  • 0:36 - 0:39
    값을 구하는 것입니다
  • 0:39 - 0:42
    따라서 이게 t = a일
    경우의 위치입니다
  • 0:42 - 0:46
    이런 경우에는
    점이 x(a)
  • 0:46 - 0:49
    y(a)입니다
  • 0:49 - 0:50
    이게 좌표입니다
  • 0:50 - 0:53
    그리고 t = a에서
  • 0:53 - 0:56
    t = b로 증가하면
  • 0:56 - 1:00
    곡선이 다음과 같습니다
  • 1:00 - 1:02
    따라서 이 경우가
    t = b일 경우입니다
  • 1:02 - 1:03
    t = b
  • 1:03 - 1:06
    따라서 이 점의
    좌표가 x(b)
  • 1:06 - 1:09
    그리고 y(b)입니다
  • 1:09 - 1:11
    실제 곡선의 길이를
  • 1:11 - 1:13
    어떻게 구할지 봅시다
  • 1:13 - 1:17
    t(a)부터 t(b)까지의
    호의 길이이죠
  • 1:17 - 1:18
    이를 생각해보면
  • 1:18 - 1:21
    곡선을 확대해서
    t의 값에 작은 변화가
  • 1:21 - 1:25
    있을 경우
    어떻게 될까요?
  • 1:25 - 1:26
    아주 작은 값의 변화요
  • 1:26 - 1:29
    여기 이 점에서 시작하여
  • 1:29 - 1:31
    t의 값에 작은 변화가
    있을 것입니다
  • 1:31 - 1:35
    따라서 이 점부터
    이 점까지 움직입니다
  • 1:35 - 1:37
    t의 값에 아주 작은
    값의 변화가 있죠
  • 1:37 - 1:38
    이는 보이는 것보다 더
    작을 것입니다
  • 1:38 - 1:39
    이보다 더 작게 그리면
  • 1:39 - 1:40
    잘 안보이겠죠
  • 1:40 - 1:43
    이는
    저희가 보는 호에서
  • 1:43 - 1:48
    아주 작은 변화이고
  • 1:48 - 1:50
    이 길이를
    찾고 싶습니다
  • 1:50 - 1:52
    이제 이를 x축 방향
  • 1:52 - 1:54
    그리고 y축 방향으로
  • 1:54 - 1:57
    움직인 것으로
    문제를 분할해 봅시다
  • 1:57 - 1:59
    여기 이
    x축 방향으로는
  • 1:59 - 2:00
    여기 이
    x축 방향으로는
  • 2:00 - 2:03
    아주 작은 x값의
    변화가 있으며
  • 2:03 - 2:05
    이는 어떤 값과 같나요?
  • 2:05 - 2:06
    이는 t에 대하여
  • 2:06 - 2:09
    x가 t에 대하여
    변하는 변화율에
  • 2:09 - 2:12
    x가 t에 대하여
    변하는 변화율에
  • 2:12 - 2:14
    t의 변화량을
    곱한 것입니다
  • 2:14 - 2:16
    이는 약간 복잡합니다
  • 2:16 - 2:18
    미분 표기법을 사용했으며
  • 2:18 - 2:20
    미분 표기법은
  • 2:20 - 2:24
    변수에서 무한히 작은
  • 2:24 - 2:26
    변화를 나타냅니다
  • 2:26 - 2:27
    이는 정식적인 증명이 아니지만
  • 2:27 - 2:29
    이는 매개 방정식을
    구할 경우
  • 2:29 - 2:31
    호의 길이를 구하는 법을
  • 2:31 - 2:33
    알려줍니다
  • 2:33 - 2:36
    따라서 이는
  • 2:36 - 2:37
    dx입니다
  • 2:37 - 2:38
    이렇게 적을 수도 있습니다
  • 2:38 - 2:43
    dx/dt, 이는
    x'(t) · dt와 같습니다
  • 2:43 - 2:45
    그리고 y의 변화량은
  • 2:45 - 2:47
    같은 방법으로 구합니다
  • 2:47 - 2:50
    y의 변화량은
    무한히 작은 y의 변화량은
  • 2:50 - 2:52
    t의 변화량이
    무한히 작을 경우
  • 2:52 - 2:53
    이는 t에 대한
  • 2:53 - 2:55
    y의 변화율에
  • 2:55 - 2:57
    t의 변화량을 곱한 것으로
  • 2:57 - 2:59
    아주 작은 t의 변화량입니다
  • 2:59 - 3:01
    이는
  • 3:01 - 3:05
    y'(t)dt입니다
  • 3:05 - 3:08
    이에 따라서
    여기에 있는
  • 3:08 - 3:12
    무한히 작은 호의
    길이는 얼마인가요?
  • 3:12 - 3:15
    이는 피타고라스의
    정의를 사용하면 됩니다
  • 3:15 - 3:18
    이는 여기 직각 삼각형의
  • 3:18 - 3:20
    빗변의 제곱근입니다
  • 3:20 - 3:21
    빗변의 제곱근입니다
  • 3:21 - 3:22
    따라서 이는
    이 값의 제곱에
  • 3:22 - 3:24
    이 값의 제곱을
    더한 것의 제곱근입니다
  • 3:24 - 3:26
    공간을 조금
    더 만들겠습니다
  • 3:26 - 3:28
    공간을 조금
    더 만들겠습니다
  • 3:28 - 3:30
    공간이 많이 필요하겠네요
  • 3:30 - 3:32
    따라서 이 파란색 제곱
  • 3:32 - 3:36
    dx 제곱
    이를 x'(t)로
  • 3:36 - 3:39
    다시 적겠습니다
  • 3:39 - 3:48
    이 값 제곱을 더하는데
    이는 y'(t)dt^2이죠
  • 3:48 - 3:51
    이제 이를
    간단히 해봅시다
  • 3:51 - 3:53
    이는 여기 이
    무한히 작은 호의
  • 3:53 - 3:54
    길이라는 것을
    잊지 맙시다
  • 3:54 - 3:59
    dt^2으로 묶어내고
  • 3:59 - 4:01
    이는 이 두 항
    모두에 들어있죠
  • 4:01 - 4:03
    따라서 이를
  • 4:03 - 4:06
    다시 적어봅시다
  • 4:06 - 4:08
    큰 제곱근을 적고
  • 4:08 - 4:11
    dt^2 · x'(t)^2에
  • 4:11 - 4:14
    dt^2 · x'(t)^2에
  • 4:14 - 4:20
    dt^2 · x'(t)^2에
  • 4:20 - 4:26
    y'(t)^2을 더합니다
  • 4:26 - 4:27
    이는
  • 4:27 - 4:30
    여기 이 값에
  • 4:30 - 4:31
    여기 모든 값을
    곱한 것입니다
  • 4:31 - 4:35
    dt^2이 제곱근 안에 있다면
  • 4:35 - 4:36
    밖으로 뺄 수 있습니다
  • 4:36 - 4:37
    따라서 dt가 됩니다
  • 4:37 - 4:41
    따라서 이는
    제곱근 아래에
  • 4:41 - 4:44
    남은 값 제곱근인
  • 4:44 - 4:50
    x'(t)^2 + y'(t)^2이고
  • 4:50 - 4:55
    x'(t)^2 + y'(t)^2이고
  • 4:55 - 4:58
    그리고 dt를 밖으로 뺍니다
  • 4:58 - 5:00
    그리고 dt를 밖으로 뺍니다
  • 5:00 - 5:03
    여기에 적을 수 있죠
  • 5:03 - 5:04
    하지만 다른 쪽에 적겠습니다
  • 5:04 - 5:06
    2를 곱합니다
  • 5:06 - 5:09
    따라서 다시 말하지만
    무한히 작은
  • 5:09 - 5:13
    호의 길이의 식을
    다시 적는 것입니다
  • 5:13 - 5:16
    운이 좋게도 미적분학에선
  • 5:16 - 5:18
    무한히 작은 값을
  • 5:18 - 5:22
    더하는 방법이 있고
  • 5:22 - 5:24
    그게 바로 정적분입니다
  • 5:24 - 5:26
    이를 더하고 싶다면
  • 5:26 - 5:28
    이 값에 이 값과
    이 값을 더해야 합니다
  • 5:28 - 5:30
    그리고 이는 무한히 작은
    변화량입니다
  • 5:30 - 5:32
    무한히 작은 값으로
    표현하진 않았지만
  • 5:32 - 5:34
    이해를 돕기 위함입니다
  • 5:34 - 5:36
    하지만 모든 값을 더한다면
  • 5:36 - 5:39
    적분을 해야 합니다
  • 5:39 - 5:41
    그리고 t에 대하여
    적분을 합니다
  • 5:41 - 5:44
    t = a에서 시작하여
  • 5:44 - 5:47
    t = b까지 합니다
  • 5:47 - 5:51
    이렇게 하면
    호의 길이의 공식을
  • 5:51 - 5:53
    구한 것입니다
  • 5:53 - 5:56
    구한 것입니다
  • 5:56 - 5:59
    매개 방정식을
    구할 경우 말이죠
  • 5:59 - 6:01
    다음 영상에서는
  • 6:01 - 6:04
    이를 적용하여
    호의 길이를 구해 봅시다
Title:
Parametric curve arc length
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:05
한국 칸아카데미번역 edited Korean subtitles for Parametric curve arc length
한국 칸아카데미번역 edited Korean subtitles for Parametric curve arc length
한국 칸아카데미번역 edited Korean subtitles for Parametric curve arc length

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