Egyenlő szárú háromszög területe | Geometria | Khan Academy

Egyenlő szárú háromszög területének kiszámítása Pitagorasz tételének alkalmazásával

Matematika a Khan Academyn: https://hu.khanacademy.org/math

Mi a Khan Academy? A Khan Academy gyakorló feladatokat, oktatóvideókat és személyre szabott tanulási összesítő táblát kínál, ami lehetővé teszi, hogy a tanulók a saját tempójukban tanuljanak az iskolában és az iskolán kívül is. Matematikát, természettudományokat, programozást, történelmet, művészettörténetet, közgazdaságtant és még más tárgyakat is tanulhatsz nálunk. Matematikai mesterszint rendszerünk végigvezeti a diákokat az általános iskola első osztályától egészen a differenciál- és integrálszámításig modern, adaptív technológia segítségével, mely felméri az erősségeket és a hiányosságokat.

Küldetésünk, hogy bárki, bárhol világszínvonalú oktatásban részesülhessen.

A magyar fordítás az Akadémia Határok Nélkül Alapítvány (akademiahataroknelkul.hu) csapatának munkája.

Iratkozz fel a Khan Academy magyar csatornájára:

https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademymagyar

Kövess minket a Facebook-on: https://www.facebook.com/khanacademymagyar/

Állítsd meg a videót,
és próbáld meg kiszámítani

ennek a háromszögnek a területét!

Két segítséget adok hozzá:

elsőként figyeld meg,
hogy a háromszög egyenlő szárú,

másodszor pedig a Pitagorasz-tétel

esetleg használható valahogy.

Rendben, akkor vezessük le
együtt az egészet!

Mindannyian emlékszünk,
hogy egy háromszög területe

egyenlő 1/2-szer az egyik oldal
szorozva a hozzátartozó magassággal.

Itt megadtak egy oldalt,

ennek az alapnak a hosszát,

ami 10 egység.

De vajon mekkora a magasság?

Íme a magasság

– amit más színnel jelölök –,

a magasság éppen ez a szakasz itt.

Ha ki tudnánk számolni a hosszát,

akkor a terület is meglenne abból,

hogy 1/2-szer az oldal
és a hozzá tartozó magasság szorzata.

De hogy kaphatnánk meg ezt a magasságot?

Nos, most lesz hasznos az a felismerés,

hogy ez egy egyenlő szárú háromszög,

így van két egyenlő oldala,

és az alapon fekvő szögei is ugyanakkorák.

Ha berajzoljuk ezt a magasságot itt

– ami az egész dolog lényege –,

akkor tudjuk, hogy
ezek a szögek itt derékszögek.

Márpedig ha két háromszögről tudjuk,

hogy két-két szögük ugyanakkora,

akkor a harmadik is megegyezik,

így ez ugyanakkora, mint ez.

Ha van két ilyen háromszög

– valószínűleg már ránézésre is nyilvánvalónak látod –,

ezeknek két-két szögük egyenlő,

és egy megfelelő oldaluk is ugyanakkora,

tehát ezek a háromszögek

egybevágóak egymással.

És amiért annyira hasznos,

hogy ezek a háromszögek egybevágóak,

az az, hogy mindegyiknek van
egy 13 hosszúságú oldala,

és mindegyiknek van egy ilyen kék oldala,
akármennyi is a hossza,

és mindkettőnek lesz egy oldala,

amelynek a hossza
10-nek a felével egyenlő.

Így ez itt 5 lesz, és ez is itt 5 lesz.

De hogy jött ez ki?

Mondhatjuk, hogy ránézésre igaznak tűnik,

de ha kicsit pontosabban akarunk fogalmazni,

akkor a két egybevágó háromszögre
hivatkozhatunk,

és a 10-et megfelezzük, mert

ez itt ugyanakkora, mint ez itt,

és a kettő együtt 10 egység.

Rendben, akkor most alkalmazhatjuk
a Pitagorasz-tételt

a kék szakasz, azaz a magasság
hosszának meghatározására.

Legyen ez a hossz h, ekkor Pitagorasz tétele alapján

h a négyzeten plusz 5 a négyzeten
egyenlő 13 a négyzetennel,

h² + 5² = 13²,

azaz a leghosszabb oldal négyzetével,

ami nem más, mint az átfogó négyzete.

Nézzük csak,

5 a négyzeten az 25,

13 a négyzeten az 169,

majd mindkét oldalból 25-öt kivonva

kifejezzük h a négyzetent.

Végezzük is el!

Mit kaptunk így?

Azt kaptuk, hogy h a négyzeten

egyenlő 169 mínusz 25-tel, ami 144.

Ha most ezt tisztán algebrailag oldod meg,

akkor h plusz vagy mínusz 12 is lehetne,

mivel azonban távolságról beszélünk,

csak a pozitív megoldást vesszük figyelembe,

ezért h egyenlő lesz négyzetgyök 144-gyel,

azaz h egyenlő 12-vel.

Még nem vagyunk készen,

hiszen ne felejtsd el,

nem a magasság volt a kérdés,

hanem a háromszög területe,

ami 1/2-szer az oldal és a
hozzá tartozó magasság szorzata.

Azt már megbeszéltük, hogy

az oldal 10 egység,
azaz ennek az alapnak a hossza

– be is rajzolom egy másik színnel –,

szóval az oldal ez a szakasz, ami 10 egység,

és az előbb meghatároztuk a magasságot,

a magasság 12 lett, most már csak
annyi a dolgunk,

hogy kiszámoljuk
az 1/2-szer 10-szer 12 szorzat értékét,

ami tehát annyi, mint

félszer 10, ami 5,

5-ször 12 egyenlő 60-nal,

60 területegység, az egység bármi lehet,

tehát megkaptuk a területet.