A fórmula de Euler e a identidade de Euler | Séries de potência | Matemática | Khan Academy

RKA8JV - Já falei bastante sobre
o uso de polinômios

como aproximações de funções,

mas neste vídeo, eu quero mostrar

que a aproximação está
de fato acontecendo.

Então bem aqui, eu estou usando

o Wolfram Alpha, um site muito bacana.

Você pode fazer muita coisa
relacionada com Matemática.

O site é "wolframalpha.com",

eu copiei isso de lá e colei aqui.

Eu encontrei o Stephen Wolfram
em uma conferência

e disse para ele que tinha
usado o site em algum vídeo

e eu estou fazendo isso agora.

Isso é muito útil porque,

apesar de poder fazer em
uma calculadora gráfica,

aqui a gente pode fazer
com apenas um passo.

Veja como podemos aproximar o seno de "x"

usando o que podemos chamar
de expansão em série de Maclaurin,

ou podemos chamar de expansão
em série de Taylor,

em "x = 0",

usando mais e mais termos

e tendo uma boa noção do fato de que
quanto mais termos adicionamos,

melhor o ajuste à curva do seno.

Então, isso aqui em laranja
é o seno de "x".

Isso deve ser bastante
familiar para você.

Em vídeos anteriores, nós descobrimos

qual é a expressão de Maclaurin
para o seno de "x".

E o Wolfram Alpha faz isso também,

eles explicitam o fatorial.

Então 3! é 6,

5! é 120, e assim por diante.

O interessante é que aqui
você pode escolher

quantos termos da aproximação
você quer no gráfico.

E assim, se você quiser
um termo da aproximação,

então, se não tivéssemos isso tudo,

se disséssemos que o nosso polinômio
é igual a "x",

com o que isso se parece?

Bem, isso vai ser este gráfico bem aqui.

Eles nos dizem quantos termos nós usamos,

pelo número de pontos
que existem no gráfico,

o que eu acho bem inteligente.

Então, isso aqui é uma
função de ''P(x) = x".

Isso é uma aproximação grosseira,

embora para seno de "x"
ele não seja tão mal,

ele se ajusta à curva do seno bem aqui.

Então, ele começa a se afastar
da curva do seno novamente.

Adicione outro termo,
então, temos x - x³/6.

Agora temos dois termos na expansão,

então, acho que devemos dizer
que estamos no termo da terceira ordem,

porque é como estão numerados os pontos,

eles não designam o número de temos,
eles citam a ordem dos termos.

Então, é um ponto aqui, porque temos
um termo de primeiro grau.

Quando temos dois temos aqui,

quando você faz a expansão do seno de "x",

ela não possui um termo do segundo grau.

Agora temos a aproximação por um
polinômio de terceiro grau.

então, olhemos para o terceiro grau.

Devemos ter 3 pontos.

Acho que é esta curva bem aqui.

Então, se temos apenas o primeiro termo,

temos uma linha reta.

Adicionamos àquele "x",
o -x³/6,

e agora você tem uma curva
que se parece com isso aqui.

Note que a curva se ajusta
ao seno um pouco mais cedo,

e continuou se ajustando

por uma distância maior.

Então, de novo, adicionar aquele
segundo termo ajuda bastante,

ele se ajusta à curva do seno muito bem,

principalmente ao redor da origem.

Adicione outro termo

e obtemos agora um polinômio de ordem 5,

bem aqui.

x - x³/6 + x⁵/120.

Vamos procurar pelos 5 pontos,

este bem aqui.

1, 2, 3, 4, 5,
esta curva aqui.

Note que ela começa a se ajustar à linha

um pouco mais cedo que a versão magenta,

e permanece ajustada por mais tempo,

então, ela vira para cima, desse jeito,

e ela se ajusta por mais tempo.

E você pode ver, eu irei continuar.

Se você tiver esses 4 primeiros termos,

temos um polinômio de sétimo grau.

Vamos procurar pelos 7 pontos bem aqui.

Então temos isto, eles vêm assim
e de novo se ajustam à curva

mais cedo do que quando tínhamos
apenas os 3 primeiros termos,

e continua se ajustando à curva
por todo este caminho até aqui.

Então, temos o último termo.

Se tomarmos todos esses temos até x⁹,

o resultado é ainda melhor.

Você começa aqui,

se ajusta à curva por mais tempo
que os outros e sai.

Se pararmos para pensar, faz sentido,

porque o que acontece aqui,

é que cada termo sucessivo
que adicionamos à expansão

tem um grau maior de "x"

sobre um número muitíssimo maior.

Então, para pequenos valores de "x"
próximo à origem,

este denominador irá dominar o numerador,

especialmente abaixo de 1,

porque quando você toma algo

que tem um valor absoluto menor
que 1 a uma potência positiva,

você está diminuindo esse valor.

Então, perto de origem,

esses últimos termos não importam muito,

você não está perdendo muita coisa

da precisão dos outros termos.

Quando estes termos de ajustes entram,

quando o numerador domina o denominador,

então, este último termo começa
a se tornar relevante aqui fora,

onde x⁹ começa a dominar 362.880.

O mesmo acontece no lado negativo.

Espero ter dado algum sentido.

Temos apenas 1, 2, 3, 4, 5 termos aqui.

Então, imagina o que aconteceria
se somássemos

isso a um número infinito de termos.

Acho que você percebeu que ele iria
se ajustar à curva do seno até o infinito.

Espero que isso te faça
sentir melhor a respeito.

Por diversão, você pode digitar a expansão

em Taylor na origem do seno de "x",

ou expansão de Maclaurin

ou série de Maclaurin para o seno de "x"
ou cosseno de "x"

no site aqui que eu falei,

e tentar um monte de funções diferentes.

E você pode tentar
adicionar ou retirar termos

para ver como eles se ajustam às curvas.