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RKA8 - Já falei bastante sobre o uso
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de polinômios como aproximações de funções,
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mas neste vídeo, eu quero mostrar
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que a aproximação está de fato acontecendo.
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Então bem aqui, eu estou usando
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o Wolfram Alpha, um site muito bacana. Você
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pode fazer muita coisa relacionada
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com matemática. O site é wolfranalpha.com,
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e eu copiei isso de lá e colei aqui.
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Eu encontrei o Steven Wolfram
em uma conferência
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e disse para ele que tinha usado o site
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em algum vídeo e eu estou fazendo isso agora.
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Isso é muito útil porque, apesar de poder
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fazer em uma calculadora gráfica, aqui a gente
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pode fazer com apenas um passo.
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Veja como podemos aproximar o "senx"
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usando o que podemos chamar
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de expansão em série de Maclaurin,
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ou podemos chamar de expansão em série
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de Taylor, em "x = 0",
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usando mais e mais termos e tendo uma boa
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noção do fato de que quanto mais termos
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adicionamos, melhor o ajuste à curva do seno.
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Então, isso aqui em laranja é o "senx".
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Isso deve ser bastante familiar
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para você. Em vídeos anteriores, nós
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descobrimos qual é a expressão de Maclaurin
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para o "senx". E o Wolfram
Alpha faz isso também,
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eles explicitam o fatorial. Então 3!
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é 6, 5! é 120 e assim
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por diante.
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O interessante é que aqui você pode escolher
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quantos termos da aproximação você quer
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no gráfico. E assim, se você quiser
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um termo da aproximação, então se não
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tivéssemos isso tudo, se disséssemos
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que o nosso polinômio é igual 'x", com quê isso
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se parece? Bem, isso vai ser este gráfico
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bem aqui.
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Eles nos dizem enquanto os termos
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nós usamos, pelo número de pontos que existem
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no gráfico, o que eu acho bem inteligente.
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Então isso daqui é uma função de ''P(x) = x".
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Isso é uma aproximação
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grosseira, embora para "senx" ele
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não seja tão mal, ele se ajusta à curva
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do seno bem aqui. então ele começa
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a se afastar da curva do seno novamente.
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Adicione outro termo, então temos x - x³/6.
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Agora temos dois termos na expansão,
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então, acho que devemos dizer que estamos
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no termo da terceira ordem, porque é como
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estão numerados os pontos, eles não
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designam o número de temos, eles citam
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a ordem dos termos.
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Então, é um ponto aqui, porque temos
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um termo de primeiro grau. Quando temos dois
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temos aqui, quando você faz a expansão
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do "senx", ela não possui um termo
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do segundo grau.
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Agora temos a aproximação por um polinômio
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de terceiro grau, então olhamos
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para o terceiro grau. Devemos ter 3 pontos.
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Acho que é esta curva bem aqui. Então,
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se temos apenas o primeiro termo, temos
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uma linha reta. Adicionamos aquele "x", o -x³/6,
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e agora você tem
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uma curva que se parece com isso daqui.
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Note que a cor você ajusta ao seno
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um pouco mais cedo, e continuou se ajustando
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por uma distância maior.
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Então de novo, adicionar aquele segundo
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termo ajuda bastante, ele se ajusta curva
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do seno muito bem, principalmente
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ao redor da origem. Adicione outro termo
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e obtemos agora um polinômio de ordem 5,
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bem aqui.
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x - x³/6 + x⁵/120.
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Vamos procurar pelos 5 pontos,
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este bem aqui. 1, 2, 3, 4, 5, esta curva aqui.
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Note que ela começa a se ajustar
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à linha um pouco mais cedo que a versão
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magenta, e permanece ajustada por mais
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tempo, então, ela vira para cima, desse
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jeito, e ela se ajusta por mais tempo.
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E você pode ver, eu irei continuar.
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Se você tiver esses 4
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primeiros termos, temos um polinômio de 7º grau.
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Vamos procurar pelos 7 pontos
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bem aqui. Então temos isto, eles
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vêm assim e de novo se ajustam à curva
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mais cedo do que quando tínhamos apenas
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os 3 primeiros termos, e continua
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se ajustando à curva por todo este caminho
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até aqui. Então, temos o último termo.
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Se tomarmos todos esses temos até x⁹,
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o resultado é ainda melhor.
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Você começa aqui, se ajusta à curva
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por mais tempo que os outros e sai.
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Se pararmos para pensar, faz sentido,
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porque o que acontece aqui,
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é que cada termo sucessivo que adicionamos
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à expansão tem um grau maior de "x"
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sobre um número muitíssimo maior. Então
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para pequenos valores de "x" próximo
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à origem, este denominador irá dominar
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a do numerador, especialmente abaixo de 1,
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porque quando você toma algo que tem
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um valor absoluto menor que 1 a uma
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potência positiva, você está diminuindo
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esse valor.
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Então, perto de origem, esses últimos
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termos não importam muito,
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você não está perdendo muita coisa
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da precisão dos outros termos. Quando estes
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termos de ajustes entram, quando
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o numerador domina o denominador,
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então este último termo começa
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a se tornar relevante aqui fora, onde x⁹
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começa a dominar 362.880. O mesmo
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acontece no lado negativo. Espero ter
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dado algum sentido.
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Temos apenas 1, 2, 3, 4, 5
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termos aqui. Então, imagina o que
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aconteceria se somássemos isso
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a um número infinito de termos. Acho que você
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percebeu que ele iria se ajustar à curva
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do seno até o infinito. Espero que isso
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te faça sentir melhor a respeito.
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Por diversão, você pode digitar a expansão
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em Taylor na origem do "senx",
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ou expansão de Maclaurin ou série
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de Maclaurin para o ''senx" ou "cosx"
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no site aqui que eu falei, e tentar
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um monte de funções diferentes. E você pode
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tentar adicionar ou retirar termos
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para ver como eles se ajustam às curvas.
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