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RKA8 - Já falei bastante sobre o uso
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de polinômios como aproximações de funções,
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mas neste vídeo, eu quero mostrar
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que a aproximação está de fato acontecendo.
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Então bem aqui, eu estou usando
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o Wolfram Alpha, um site muito bacana. Você
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pode fazer muita coisa relacionada
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com matemática. O site é wolfranalpha.com,
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e eu copiei isso de lá e colei aqui.
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Eu encontrei o Steven Wolfram
em uma conferência
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e disse para ele que tinha usado o site
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em algum vídeo e eu estou fazendo isso agora.
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Isso é muito útil porque, apesar de poder
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fazer em uma calculadora gráfica, aqui a gente
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pode fazer com apenas um passo.
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Veja como podemos aproximar o "senx"
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usando o que podemos chamar
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de expansão em série de Maclaurin,
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ou podemos chamar de expansão em série
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de Taylor, em "x = 0",
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usando mais e mais termos e tendo uma boa
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noção do fato de que quanto mais termos
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adicionamos, melhor o ajuste à curva do seno.
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Então, isso aqui em laranja é o "senx".
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Isso deve ser bastante familiar
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para você. Em vídeos anteriores, nós
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descobrimos qual é a expressão de Maclaurin
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para o "senx". E o Wolfram
Alpha faz isso também,
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eles explicitam o fatorial. Então 3!
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é 6, 5! é 120 e assim
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por diante.
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O interessante é que você pode escolher
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quantos temos da aproximação você quer
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no gráfico e assim se você quiser um
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tema da aproximação então se não
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tivéssemos isso tudo se disséssemos que
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nosso poli nome é igual x com que isso
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se parece bem isso vai ser esse gráfico
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bem aqui
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eles nos dizem enquanto os termos nós
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usamos pelo número de pontos que existe
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no gráfico o que eu acho bem inteligente
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então isso daqui é uma função de peixes
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e guaches e isso é uma aproximação
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grosseira embora para cenas de x ele não
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seja tão mal ele se ajusta curva do
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sendo bem aqui então ele começa a se
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afastar da curva do senado novamente
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adicione outro termo então temos x - x
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ao cubo sobre seis
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agora temos dois termos na expansão
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então acho que devemos dizer que estamos
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no
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temos a terceira ordem porque é como
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estão numerados os pontos eles não
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designa o número de temos eles citam
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ordem dos temas
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então é um ponto aqui porque temos um
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termo de primeiro grau quando temos dois
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temos aqui quando você faz a expansão do
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centro x ela não possui um tema do
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segundo grau
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agora temos aproximação por um pólo em
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nome de terceiro grau então olhamos para
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o terceiro grau e vamos ter três pontos
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acho que essa curva bem aqui então se
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temos apenas o primeiro tema temos uma
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linha reta adicionamos aquele x 1 - x
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okubo sobre seis e agora você tem uma
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curva que se parece com isso daqui
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note que a cor você ajusta sendo um
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pouco mais cedo e continuou se ajustando
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por uma distância maior
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então de novo adicionar aquele segundo
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termo ajuda bastante ele se ajusta curva
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do sendo muito bem principalmente ao
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redor da origem adiciona outro tema e
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obtemos agora um pólo em nome de ordem 5
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bem aqui
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x - x ao cubo sobre seis mas x a quinta
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potência sobre 120
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vamos procurar pelos cinco pontos este
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bem aqui 12345 esta curva aqui
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e note que ela começa a se ajustar à
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linha um pouco mais cedo que a versão a
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genta e permanece ajustada por mais
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tempo então ela vira pra cima desse
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jeito e ela se ajusta por mais tempo e
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você pode ver eu irei continuar
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então se você tiver esses quatro
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primeiros temos temos um povo em nome de
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7º grau vamos procurar pelos sete os
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pontos bem aqui então temos isso eles
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vêm assim e de novo se ajustam a curva
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mais cedo do que quando tínhamos apenas
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os três primeiros temos e continuou se
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ajustando a curva por todo esse caminho
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até aqui então temos o último tema se
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tomamos todos esses temos até xx a nona
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o resultado ainda melhor
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você começa aqui se ajusta curva por
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mais tempo que os outros e saem e se
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pararmos para pensar faz sim
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tido porque o que acontece aqui é que
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cada termo sucessivo que adicionamos a
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expansão ele tem um grau maior de x
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sobre um número muitíssimo maior então
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para pequenos valores de x próximo
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origem esse denominador era dominada no
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meio da dor especialmente abaixo de 1
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porque quando você toma algo que tem um
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valor absoluto menor que 1 a uma
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potência positiva você está diminuindo
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esse valor
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então perto de origem esses últimos
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temos não importam muito
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você não está perdendo muita coisa da
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precisão dos outros temos quando estes
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termos de ajustes em tron quando o
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numerador domina o denominador
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então este último tema começa a se
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tornar relevante que fora onde x a nona
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começa a dominar 362 1880 e o mesmo
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acontece no lado negativo espero ter
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dado algum sentido
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temos apenas um dois três quatro cinco
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termos aqui então imagina o que
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aconteceria se somássemos isso há um
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número infinito de temos acho que você
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percebeu que ele iria se ajustar a curva
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do senado até o infinito espero que isso
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se faça sentir melhor respeita e por
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diversão você pode digitar da expansão a
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entender na origem do centro de x ou
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expressões de uma córnea ou série d
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matou limpa do centro de x o consenso x
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no site aqui que eu falei e tentar um
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monte de funções diferentes e você pode
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tentar adicionar ou retirar temos para
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ver como ele se ajusta às curvas
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