Partial fraction decomposition to find sum of telescoping series

O que faremos nesta aula

é avaliar esta soma bem aqui,

avaliar o que significa
esta série, dois negativo

dividido por n mais um vezes
n mais dois, começando com n igual a dois

até o infinito.

Vamos começar com n igual a dois

Quando n é igual a dois, teremos
dois negativo dividido por dois

mais um, que é três, vezes dois
mais dois, que é quatro.

Quando n é igual a três, temos
dois negativo dividido por três

mais um, que é quatro, vezes
três mais dois, que é cinco.

A série continua dois negativo

dividido por cinco vezes seis.

E continua desta forma até o infinito.

Agora, está bem claro
que cada termo sucessivo

está ficando cada vez menor.

E está ficando menor
relativamente rápido.

Portanto, é razoável aceitar
que apesar de termos um

número infinito, é possível

obter um valor finito.

Porém, não me é claro,
ao menos da maneira

como fizemos esta análise inicial,

qual o verdadeiro
resultado

ou como descobriremos este valor.

Portanto, o que farei
é pausar o vídeo.

E eu lhes darei uma dica de
como pensar este problema.

Tente procurar em sua memória algo
sobre expansão por frações parciais,

ou decomposição por
frações parciais,

para transformarmos esta expressão
em uma soma de duas frações.

Esta forma pode nos ajudar
a descobrir qual o valor desta soma.

Portanto, assumo
que tenha tentando lembrar.

Vamos tentar manipular
esta soma

vamos tentar reescrever
como uma soma de duas frações.

Então isto é dois negativo dividido,
-- e eu vou escrever

isto em duas cores
diferentes -- por n mais um

vezes n mais dois.

E nós lembramos de nossa
expansão for frações parciais

que podemos reescrever isto
como uma soma de duas frações,

como A dividido por n mais um,
mais B dividido por n mais dois.

por que fazemos isto?

Se você adicionarmos duas frações,

obteremos um
denominador comum,

que seria múltiplo
dos dois denominadores.

Este é claramente um múltiplo
de ambos os denominadores.

E nós aprendemos em
frações parciais que

não importa o que tenhamos aqui,
especialmente porque o grau

aqui é menor do que o grau de baixo,
qualquer valor que tenhamos

aqui em cima será um grau
menor do que o que temos aqui.

este é um termo de primeiro grau,

Então os termos de cima
serão constantes.

Vamos descobrir os valores
de A e B.

Se efetuarmos as somas

vamos simplesmente
reescrever estes ambos

com o mesmo denominador comum.

Vamos reescrever A dividido por n mais um,

mas vamos multiplicar o numerador
e o denominador por n mais 2.

não mudei os valores da primeira fração.

faremos B dividido por n mais dois.

Multiplicamos o numerador e
o denominador por n mais um, então

n mais um dividido por n mais um.

Novamente, eu não mudei
o valor desta fração.

ao fazer isto,
terei um denominador comum,

e então posso somá-los.

Então este será igual a
n mais um vezes n mais dois,

nosso denominador.

E nosso numerador,
vou expandi-lo.

Nosso numerador será,
se eu distribuir o A,

teremos um An mais 2A.

Vou escrever isto, An mais 2A.

Vamos então distribuir o B,
e obteremos Bn mais B.

Agora, desejo
reescrever isto

para que tenha todos
os termos n.

Então por exemplo, An mais Bn
-- eu posso colocar o n em evidência.

Logo, posso reescrever
na forma (A+B) vezes n

estes termos aqui.

E estes dois termos, o 2A mais B,

Eu posso reescrevê-los
desta forma, mais 2A mais B.

E é claro, todos os termos estarão
divididos por n mais um vezes n mais 2.

E agora, como fazemos para
resolver A e B?

Bem, vemos aqui que
esta equação

deve ser igual a dois negativo.

Estes dois termos
têm de ser iguais.

estamos afirmando
o fato de que isto,

que é o mesmo que isto,
é igual a isto.

Este é o principal motivo
de iniciarmos este processo.

Portanto, estamos
afirmando que

estes dois termos
são equivalentes.

Estamos afirmando isto.

tudo que tivermos no numerador
deve ser igual a dois negativo.

E como fazemos isto?

Parece que temos duas
incógnitas aqui.

Para descobrir duas incógnitas
precisamos de duas equações.

Bem, o que podemos perceber aqui,

é que temos um termo n
no lado esquerdo da equação.

Não temos nenhum termo n aqui.

Então podemos
ver isto, além de dois negativo

um dois negativo mais zero n,
mais zero vezes n.

zero vezes n.

desta forma, torna-se claro

que A mais B é o
coeficiente de n.

E isto deve ser igual a zero.

A mais B deve ser igual a zero.

E isto é basicamente
uma expansão

por frações parciais.

Temos outros vídeos sobre isto
se for necessário revisar.

E a parte constante, 2A mais B,
é igual a dois negativo.

Agora, portanto, temos duas
equações e duas incógnitas.

E podemos resolver isto
de diversas formas.

podemos multiplicar a equação de cima

por menos um.

Então isto se torna A negativo
menos B, enquanto

um negativo vezes zero ainda é zero.

Agora podemos adicionar
estes dois termos.

E restam assim 2A menos A, que é
igual a A, mais B menos B,

que se cancelam.

A é igual a dois negativo.

E se A é igual a dois negativo,
A mais B é igual a zero,

portanto B é igual a dois.

Dois negativo mais dois
é igual a zero.

Resolvemos para A. E então pude
substituir aqui em cima.

Agora podemos reescrever todo
este conjunto bem aqui.

Podemos reescrever isto
como a soma

Vou escrever esta soma como
uma soma finita, em vez

de uma soma infinita.

E então podemos tomar o limite
a medida que vamos para o infinito.

Portanto, esta será a soma de n igual
a dois -- em vez de infinito,

vou trocar por N.
Depois, podemos

usar o limite a medida que
a soma tende ao infinito -- bem,

em vez de escrever isto,
posso escrever tal soma aqui.

Então A é igual a dois negativo.

Logo, temos dois negativo
dividido por n mais um.

E se B é igual a dois, temos
mais B dividido por n mais dois.

Novamente, eu expressei esta soma
como uma soma finita.

Posteriormente, podemos obter
o limite de quando N se aproxima

do infinito para descobrirmos
o valor da soma.

Perdão, não vou
escrever B aqui.

Sabemos que B é igual a dois,
então temos dois dividido por n mais dois.

Agora, de que forma este
fracionamento nos ajuda?

faremos o que
fizemos em cima.

Vamos na verdade escrever ao
que isto vai ser igual.

quando n é igual a dois,

isto será 2/3 negativo, então
2/3 negativo mais 2/4.

Assim, n é igual a
-- vou escrever aqui embaixo,

porque o espaço está acabando.

Isto é quando n é igual a dois.

E quando n é igual a três?

Assim. este termo
será igual a 2/4 negativo mais 2/5

E quando n é igual a 4?

Acho que você já percebeu
um padrão se formando.

Quando n é igual a quatro, então isto

será 2/5 negativo -- deixe-me

escrever isto em azul --
2/5 negativo mais 2/6.

E nós simplesmente
vamos continuando.

iremos continuar até
o termo N.

Então mais três pontinhos mais
o nosso termo final N,

que será dois negativo dividido
por N mais um mais dois

dividido por N mais dois.

Então acredito que
temos um padrão.

Perceba, do nosso primeiro termo,
quando n é dois, nós tivemos 2/4.

quando n igual a três
obtivemos 2/4 negativo.

Isto cancela com aquilo.

Quando n igual a três,
temos 2/5.

Então quando temos n igual a quatro,
isto cancela com o 2/5 negativo.

Então o segundo termo cancela
com -- a segunda parte,

acredito que, para cada n,
para cada índice,

é cancelado com a primeira parte
do índice seguinte.

E isto sempre
continuará acontecendo

até que n seja igual a N.

E isto irá se cancelar com
o termo imediatamente

antes dele.

E tudo que nos restará

será este termo e este logo aqui.

Portanto, vamos reescrever
nossa soma.

Nós teremos --
vamos aumentar o espaço.

Esta soma pode se reescrita
como a soma de n

igual a doisaté N, de dois negativo

dividido por n mais um mais
dois dividido por n mais dois.

A soma é igual a -- todos os
termos do meio são cancelados.

Sobram apenas 2/3 negativo

mais dois dividido
por N mais dois.

Então tivemos uma enorme
simplificação bem aqui.

E lembre-se, na soma original que
desejávamos calcular,

temos N igual a infinito.

vamos pegar o limite
de quando N tende ao infinito.

Vou reescrever.

O limite de quando N tende

ao infinito será igual
ao limite de quando N

tende ao infinito de --
bem, nós acabamos de

determinar que

Isto é 2/3 negativo mais
dois dividido por N mais dois.

Quando n tende ao infinito,
este 2/3 negativo

não tem impacto algum.

Este termo aqui, dois dividido
por um número ainda maior,

dividido por um termo
bem maior,

será igual a zero.

Nos restará 2/3 negativo.

E terminamos.

Nós estamos aptos a determinar
esta soma de uma série infinita.

Então esta expressão bem aqui
é igual a 2/3 negativo.

Este tipo de série é chamado
de série telescópica.

Esta é uma série ou soma telescópica.

Série/Soma Telescópica.

E série telescópica é um termo geral.

Portanto, se você toma as somas parciais,

temos este padrão aqui,
onde, em cada termo,

você começa a cancelar termos.

Portanto, o que sobram
são apenas alguns

termos fixos ao final da conta.

De qualquer forma,
pode-se dizer

o problema foi complicado mas

interessante.

Legendado por [Bernardo Blasi Villari]