-
-
אחד הרעיונות הבסיסיים ביותר בפיזיקה
-
הוא הרעיון של עבודה.
-
כעת, כשלראשונה אתה לומד לעבוד, אתה אומר לעצמך, בסדר, זה
-
רק כוח התלוי במרחק.
-
אבל אז, אחר כך, כשאתם לומדים קצת על
-
וקטורים, אתם מבינים שהכוח לא תמיד הולך יחד
-
באותו כוון של התנועה.
-
אז אתם לומדים שלעבודה יש חשיבות. תן לי
-
לרשום זאת: הגודל של הכוח,
-
או המרכיב של הכוח, בכיוון
-
של התנועה.
-
תנועה זה רק מרחק עם קצת כיוון.
-
-
אם מגדילים את התנועה, אז ניתן להגיד
-
שהגדילו את המרחק שעבר הגוף.
-
-
והנה דוגמא קלאסית:
-
אולי יש לכם קוביית קרח, או איזו בלטה.
-
או רק קרח, כי שלא יהיה הרבה חיכוך.
-
אולי זה צף על אגם גדול או על גבי קרחון או משהו דומה.
-
וייתכן שאתם דוחפים את קובית הקרח הזו בזווית.
-
בואו נגיד, שאתם יוצרים זווית באופן כזה.
-
זה הכוח, ממש כאן!
-
בואו נגיד שהכוח שווה, אוקי זה
-
וקטור הכוח שלנו
-
בואו נגיד שהגודל של וקטור הכוח, נגיד...
-
10 ניוטון.
-
ובואו נגיד שהכוון של וקטור הכוח, אוקי,
-
לכל וקטור יש כיוון וגודל,
-
ולגבי הכוון, בואו נגיד שיש לו זווית של 30 מעלות, כלומר 60 מעלות
-
מעל האופק.
-
אז זה הכוון שאני דוחף אליו.
-
ובואו נגיד שאני מזיז את זה.
-
זה הכל חזרה, אני מקווה.
-
אם אתם מזיזים את זה, בואו נגיד שאתם מזיזים את זה בכוח של 5 ניוטון.
-
אז בואו נגיד שהתנועה, זה וקטור התנועה
-
ממש כאן, והגודל שלו שווה ל5 מטרים.
-
אז למדתם מהגדרת העבודה, שאתם לא יכולים
-
בואו נגיד, אההה, אני דוחף עם כוח של 10 ניוטון
-
וזה זז 5 מטרים.
-
אתם יכולים פשוט להכפיל את עשרת הניוטונים 5 פעמים (פעם אחת לכל מטר)
-
אתם צריכים למצוא את הגודל של הרכיב
-
שנמצא באותו הכוון כמו של התנועה.
-
אז מה שלמעשה אני צריך לעשות הוא, האורך, אם אתה
-
מדמיין את האורך של הוקטור הזה כ-10, זה
-
הכוח הכולל, אבל אתם צריכים לגלות את האורך של
-
הוקטור, זה למעשה הרכיב של הכוח, שהולך באותו
-
הכוון כמו של התנועה.
-
עם טריגונומטריה פשוטה, אתם יודעים
-
שזה 10 פעמים הקוסינוס של 60 מעלות, שזה שווה
-
(קוסינוס של 60 זה חצי) ולכן התוצאה היא 5.
-
אז הגודל הזה, הגודל של הכוח שהולך
-
באותו הכוון של התנועה
-
במקרה הזה, הוא 5 ניוטון.
-
-
וכעת ניתן לגלות מהי העבודה.
-
אתם יכולים להגיד שעבודה שווה ל5 ניוטון
-
(ונרשום נקודה לזמן עבור הכפל)
-
אני לא רוצה שתחשבו שתחשבו שהכוונה למכפלה וקטורית
-
כפול 5 מטרים, שזה 25 ניוטון כפול מטר. או שניתן להגיד
-
25 ג'אול של עבודה הושקעו.
-
וכל זה חזרה בסיסית בפיזיקה.
-
אבל רק תחשבו לרגע מה קורה כאן.
-
מה הייתה העבודה?
-
אם אני כותב באופן מופשט
-
העבודה שווה לחמשת הניוטונים.
-
זה היה הגודל של וקטור הכוח, אז זה
-
הגודל של וקטור הכוח, כפול הקוסינוס של הזווית הזו.
-
אז אתם יודעים, בואו נקרא לזווית הזו טטה.
-
בואו נגיד זאת באופן כללי.
-
אז כפול הקוסינוס של הזווית.
-
זה הגודל של הכוח בכוון של
-
התנועה, הקוסינוס של הזווית שביניהם, כפול
-
הגודל של המרחק.
-
אז כפול הגודל של המרחק.
-
או אם רציתי לרשום זאת מחדש, הייתי יכול לרשום זאת פשוט כך,
-
הגודל של המרחק כפול הגודל של
-
הכוח כפול קוסינוס טטה.
-
ויש לי מספר סרטונים של זה, בתוך הפליליסט
-
של אלגברה ליניארית, בתוך הפלייליסט של פיזיקה, שם אני מדבר על
-
ההבדל בין מכפלה וקטורית למכפלה סקלרית וכל זה, אבל
-
כאן זו מכפלה סקלרית של הוקטורים d ו f.
-
אז באופן כללי, אם אתם מנסים למצוא את העבודה עבור תנועה שוות תאוצה
-
ויש לכם כוח קבוע, אתם פשוט לוקחים את
-
המכפלה הסקלרית של שני הוקטורים הללו
-
ואם המכפלה הסקלרית היא דרך שלגמרי זרה
-
לכם, אני חושב שאני אעשה עוד,
-
4 או 5 סרטונים על מכפלות סקלריות, ועל הדרכים שבה,
-
ואיך זה משתמשים בה.
-
אבל רק כדי לתת לכם מושג כללי ואינטואיציה נכונה
-
על המכפלה הסקלרית, אז כאשר אני לוקח f כפול d, או d כפול f,
-
מה שזה אומר זה שאני מכפיל את הגודל,
-
טוב אני יכול פשוט לקרוא את זה.
-
אבל הרעיון של מכפלה סקלרית, הוא לקחת את הגודל מהוקטור
-
שהולך באותו הכיוון של הווקטור הזה,
-
מקרה הזה, הגודל הזה.
-
ואז להכפיל את שני הגדלים הללו.
-
וזה מה שעשינו ממש כאן.
-
אז העבודה הולכת להיות וקטור הכוח, כלומר לקחת את
-
החלק הסקלרי של וקטור הכוח כפול וקטור התנועה,
-
וזה, כמובן, ערך סקלרי.
-
אז אנחנו נדגים מספר דוגמאות
-
ואתם תראו שזה נכון.
-
אז כל זה חזרה על פיסיקה בסיסית ויסודית ביותר.
-
כעת בואו ניקח דוגמא יותר מסובכת, אבל
-
היא באמת מתבססת על אותו הרעיון.
-
בואו נגדיר שדה וקטורי.
-
-
אז בואו נגיד שיש לי שדה וקטורי f, ואנחנו
-
הולכים לחשוב לרגע, מה זה אומר.
-
זו פונקציה של X ו Y, וזה שווה לסקלר כלשהו.
-
רכיב וקטורי אופקי, ועוד איזושהי פונקציה אחרת, או
-
רכיב וקטורי אנכי, ועוד איזושהי פונקציה שונה, פונקציה
-
סקלרית של X ושל Y, כפול הרכיב הווקטורי האופקי.
-
אז מה משהו כזה יהיה?
-
זהו שדה וקטורי.
-
זהו שדה וקטורי דו ממדי.
-
אנחנו במרחק X-Y.
-
-
או שאתה יכול להגיד, על R2.
-
בכל מקרה, אני לא רוצה להיכנס יותר מדי
-
לתוך החלק הזה.
-
אבל מה זה עושה?
-
אוקי, אם הייתי צריך לשרטט את מרחק X-Y שלי, אז תהיה לי שוב
-
בעיה לשרטט קו ישר.
-
אוקי, הנה אנחנו ממשיכים.
-
זה ציר הY שלי, וזה ציר הX שלי.
-
אני כעת משרטט את הרביע הראשון, אבל אתה יכול
-
להמשיך לכוון השלילי בכל אחד מהצירים, אם את רוצה.
-
אז מה הדבר הזה עושה?
-
טוב, זה למעשה אומר, הסתכל.
-
אתה נותן לי X כלשהו, ו Y כלשהו, בתוך מרחב X-Y,
-
הם הרי יהיו מספרים כלשהם, נכון?
-
כאשר אתה שם X ו Y כאן, אתה הולך לקבל ערך כלשהו. כאשר אתה
-
שם X ו Y כאן, אתה הולך לקבל ערך אחר.
-
אז אתה הולך לקבל איזשהו צירוף של הרכיבים הוקטורים של i
-
ושל j.
-
אז אתה הולך לקבל כמה ווקטורים.
-
אז מה שזה עושה, זה מגדיר ווקטור אשר משויך
-
לכל נקודה במרחב X-Y.
-
אז אתה יכול להגיד, אם אני לוקח את הנקודה הזו במרחב X-Y,
-
ואני מותח את זה לכאן, אני אקבל כפולה של הוקטור i
-
ועוד מספר פעמים j, וכשאתה מחבר בין השניים הללו, אולי אני אקבל
-
וקטור שנראה משהו כזה.
-
ואתה יכול לעשות את זה לגבי כל נקודה.
-
אני פשוט לוקח דגימות אקראיות.
-
אולי כשאני מגיע לכאן, הווקטור נראה
-
משהו כזה.
-
אולי כשאני הולך לכאן, הווקטור נראה כך.
-
אולי כשאני הולך לכאן, הווקטור נראה שונה.
-
ואולי כאשר אני עולה כאן למעלה, הוקטור הולך כך.
-
אני רק בוחר נקודות באופן אקראי.
-
זה מגדיר וקטור בכל הקורדינטות של x,y שבהן
-
הפונקציות הסקלריות מוגדרות בצורה נכונה.
-
וזו הסיבה שזה נקרא שדה ווקטורי.
-
זה מגדיר מה הפוטנציאל, ואולי מהו הכוח הזה,
-
או כל סוג אחר של כוח, בכל נקודה.
-
בכל נקודה, אם יש לך משהו שם.
-
זה למעשה הפונקציה.
-
ואני אמשיך לעשות את זה לעולם,
-
ואמלא את כל הפערים.
-
אבל אני חושב שהבנתם את הרעיון.
-
זה מכיל כל ווקטור אשר כל הנקודות שלו נמצאות במרחב X-Y.
-
כעת, זה נקרא שדה ווקטורי, אז סביר
-
שהגיוני שזה ישמש כדי לתאר
-
כל סוג של שדה.
-
זה יכול להיות שדה כבידה.
-
זה יכול להיות שדה חשמלי, וזה יכול להיות שדה מגנטי.
-
וזה חיוני לספר לך כמה כוח
-
יושקע באיזשהו גוף בשדה הזה.
-
זה בדיוק מה שזה יתאר.
-
כעת, בואו נגיד שבשדה הזה, יש לי גוף מסוים
-
הנע במרחב X-Y.
-
בואו נגיד שזה מתחיל כאן, ובגלל כל
-
הכוחות המשוגעים הפועלים על הגוף, ואולי הגוף גם נמצא על איזה מסלול
-
או משהו, אז זה לא תמיד ינוע בדיוק
-
בכיוון שהשדה מנסה להזיז אותו אליו.
-
בואו נגיד שזה נע במסלול שזז כמו משהו כזה.
-
ובואו נגיד שהמסלול הזה, או העקומה הזו, מוגדרת
-
על ידי פונקציה וקטורית.
-
אז בואו נגיד שמה שמוגדר על ידי r או t, אשר
-
זה אומר x של t כפול i ועוד y של t כפול גורם היחידה j.
-
זה r או t ממש כאן.
-
אוקי, על מנת שזו תהיה דרך סופית
-
נגדיר את t כך שיהיה גדול או שווה ל a, וקטן
-
או שווה ל b.
-
זה המסלול שהגוף נוטה לקחת,
-
בעקבות כל הכוחות המטורפים הללו הפועלים עליו.
-
אז כאשר הגוף נמצא כאן, אז השדה הווקטורי
-
פועל עליו, ואולי מפעיל עליו כוח כזה.
-
אבל כיוון שהגוף נמצא על מסלול כלשהו, הוא זז
-
בכיוון הזה.
-
ואז כאשר הוא נמצא כאן, אולי השדה הווקטורי הוא כזה,
-
אבל הוא זז בכיוון ההוא, בגלל שהוא על
-
איזשהו סוג של מסלול.
-
כעת, כל מה שעשיתי בסרטון הזה הוא לענות
-
על שאלה עקרונית.
-
מה הייתה העבודה שנעשתה על הגוף על ידי השדה?
-
-
בשביל לענות על השאלה הזו, אנחנו יכולים להתמקד מעט.
-
אני הולך להתמקד רק על חלק קטן
-
של הדרך שלנו.
-
ובואו ננסה לגלות מה העבודה שנעשתה
-
בחלק קטן מאוד מהמסלול שלנו, בגלל שהוא משתנה כל הזמן.
-
השדה משנה כיוון.
-
הגוף שלנו משנה כיוון.
-
אז בואו נגיד שכשאני כאן, ואני זז
-
בחלק קטן מאוד מהדרך שלי,
-
אז בואו נגיד שאני זז, במידה קטנה מאוד,
-
ממש דלתא r קטן, נכון?
-
יש לי הפרש כלשהו, שהו הפרש וקטורי,
-
במרחק קטן מאוד.
-
ובואו נגיד שבמהלך זה, השדה הווקטורי
-
פועל בכל האזור הכללי הזה, בואו נגיד שהוא נראה
-
כמו משהו כזה.
-
זה מספק כוח שנראה כמו משהו כזה.
-
אז זהו שדה ווקטורי באזור ההוא, או הכוח
-
המכוון על הגוף הזה כאשר הוא בנקודה זו.
-
נכון?
-
זה זמן קצר מאוד של תנועה במרחב.
-
אתה יכול להגיד "טוב, בנקודה הספציפית הזו, יש
-
לנו את הכוח הקבוע הזה".
-
מה הייתה העבודה שהושקעה בפרק הזמן הקצר הזה?
-
אתה יכול להגיד, מה הרווח מהעבודה בזמן זה?
-
כלומר, ניתן להגיד, דלתא של העבודה, או ההפרש של העבודה.
-
טוב, בדיוק על פי אותו ההגיון שעל פיו פתרנו את הבעיה הפשוטה,
-
זהו הגודל של הכוח בכיוון של התנועה
-
כפול הגודל של המרחק.
-
ואנחנו יודעים מה זה, לפי הדוגמא הנ"ל.
-
זוהי המכפלה הסקלרית.
-
זוהי המכפלה הסקלרית של הכוח והמרחק
-
הממש קטן שלנו.
-
אז זה שווה למכפלה הסקלרית של הכוח ושל
-
הפרש המרחק.
-
כעת, רק בזכות שאנו עושים זאת, אנחנו מגלים
-
מהי העבודה, אולי רק עבור הפרש מרחק מאוד מאוד קטן, אבל
-
מה שאנו רוצים לעשות זה למצוא את הסכום של כל העבודות.
-
אנחנו וצים לסכם את כל הפרשי המרחקים הקטנים על מנת לגלות את הסכום הכולל,
-
כל הכוחות כפול (במכפלה סקלרית) הפרשי המרחקים, על מנת לגלות את העבודה הכוללת שהושקעה כאן.
-
וזה החלק שבו מגיע האינטגרל.
-
אנחנו נחשב אנטגרל - אני מתכוון שאתה יכול
-
לחשוב על זה בשתי דרכים.
-
אתה יכול לרשום פשוט d במכפלה סקלרית של w, אבל ניתן גם להגיד שאנחנו
-
נעשה אנטגרל של העקומה הזו c, כלומר, ש c,
-
או r, איך שתרצה לקרוא לזה, של דלתא w.
-
זה ייתן לנו את העבודה הכוללת.
-
אז בואו נגיד שהעבודה, שווה לזה.
-
או שאנחנו גם יכולים לרשום זאת על האינטגרל, על אותה
-
העקומה של f של f כפול דלתא r.
-
וכנראה שזה ייראה באמת כמו, אתה יודע,
-
באופן מאוד מופשט.
-
איך אנחנו למעשה מחשבים משהו כזה?
-
במיוחד בגלל שיש לנו את כל הפרמטמרים
-
במונחים של t.
-
איך אנחנו מקבלים את זה במונחים של t?
-
ואם אתה חושב על זה לרגע, מה זה בכלל f כפול (סקלרי) r?
-
או מה זה f כפול דלתא r?
-
טוב, למעשה, בשביל לענות על זה, בואו נזכור
-
איך נראה דלתא r.
-
אם אתה זוכר, דלתא r חלקי דלתא t שווים לx טאג של t, אני רושם את זה,
-
ויכולתי גם לרשום דלתא x חלקי דלתא t אם הייתי רוצה, כפול
-
הרכיב הוקטורי i, ועוד y טאג של t כפול הרכיב הווקטורי j.
-
ואם אנחנו רק רוצים את דלתא r, אנחנו יכולים להכפיל את שני הצדדים, אם
-
נהיה קצת פחות קפדנים עם
-
המשוואות, לא יותר מדי מדויקים.
-
אנחנו נקבל שדלתא r שווה לx טאג של t, כפול דלתא t, כפול הרכיב הווקטורי
-
i, ועוד y טאג של t, כפול ההפרש של דלתא t
-
כפול הרכיב הווקטורי j.
-
אז זה ממש כאן.
-
-
ותזכור מה היה השדה הווקטורי שלנו.
-
זה היה הדבר הזה כאן למעלה.
-
תן לי להעתיק ולהדביק את זה.
-
ואנחנו נראה שהמכפלה הווקטורית
-
היא לא כל כך מורכבת.
-
אז אני מעתיק, ומדביק את זה ממש כאן.
-
-
אז איך הולך להיראות האנטגרל?
-
האינגרל הזה ממש כאן, נותן את העבודה הכוללת שהושקעה
-
על ידי השדה על הגוף, בזמן שהוא נע במסלול.
-
זה הבסיס, פחות או יותר, לכל דבר מורכב ורציני בפיזיקה
-
שאולי בסופו של דבר תמצא את עצמך עוסק בו.
-
ואז תוכל להגיד שזה מובן.
-
זה הולך להיות אינטגרל, בואו פשוט נגיד שזה ההפרש מ t שווה
-
ל a , ל t שווה ל b.
-
נכון? a זה המיקום ההתחלתי, t שווה ל a עד ש t שווה ל b (המיקום הסופי).
-
ל a ל t שווה ל b.
-
אתה יכול לדמיין את זה כדבר שתלוי בזמן, כמו גוף
-
שזז, ככל שעובר הזמן.
-
ואז מה זה f כפול דלתא r?
-
טוב, אם אתה זוכר מה אומרת המכפלה הסקלרית, אתה
-
יכול פשוט לקחת את התוצאה של
-
הרכיבים המתאימים בווקטור שלך, ולחבר אותם.
-
אז זה הולך להיות אינגרל מt ששווה ל a עד ל t
-
ששווה ל b, של p של p של x, באמת, במקום לרשום x,
-
y, זה x של t , נכון? x כמו a כפונקציה של t, ו y כמו
-
a פונקציה של t.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
