線積分とベクトル場

Using line integrals to find the work done on a particle moving through a vector field

すべての物理学の最も基本的なアイデアの 1 つ

すべての物理学の最も基本的なアイデアの 1 つ

「仕事」です。

さて、まず仕事について学ぶ時、あなたはこういうでしょう

「ああ、力と距離の掛け算ってやつでしょ」

しかし、後にベクトルについて少し学ぶと

あなたは気づくでしょう -

力が常に変位する距離が同じ方向にいるとは限らないと。

仕事というものが規模を表すものであるとわかりましたね

力の規模は、この方向に

または、この変位方向への力の分力。

または、この変位方向への力の分力。

変位は、ある方向にへの移動距離のことです。

変位は、ある方向にへの移動距離のことです。

変位の規模を掛ける、

または、変位した距離を掛けると言えます。

または、変位した距離を掛けると言えます。

古典的な例。

たぶん、あるアイス キューブ、またはブロックがあります。

多くの摩擦がないように、氷にしましょう。

それは大きい湖または氷に乗っているとします。

そして、アイス キューブ、斜めに引っ張っています。

たとえば、そのような角度でを引っ張っています。

それは私の力、ここです。

私の力は私の力ベクトルには、等しいとしましょうの

等しいとしましょう。

この力ベクトルのマグニチュードを

10 ニュートンとしましょう。

私の力のベクトルは、

ベクトルは、大きさと方向があります。

方向は、 水平から角度を60 度としましょう。

方向は、 水平から角度を60 度としましょう。

だから私は引っ張っての方向です。

私はそれを変位としましょう。

これは、既に習ったことの
復習ですよ。

それを移動する場合は、
5 m動かしたとします。

それでは、変位を言うは、変位ベクトルです。

それの大きさ 5 メートルに等しいです。

あなたの仕事の定義から学んだので、

ちょうど、10 のニュートンの力で引っ張って

5 メートル移動したから、

5 m掛ける10 ニュートンと掛け算することはできません。

変位と同じ方向の、力のコンポーネントの大きさを見つける必要があります。

変位と同じ方向の、力のコンポーネントの大きさを見つける必要があります。

これを見つける本質的な作業は、

このベクトルの長さを１０と想像すると、

これは、合計力なので、

変位ベクトルと同じ行く力のコンポーネントを

見つけます。

単純な三角法を利用し、

これは 10掛ける 60 度のコサイン、

60 度のコサインは 1/2 で、それに10を掛けると
５です。

これが、変位ベクトルの向きの力の大きさで

この場合、5 ニュートンです。

この場合、5 ニュートンです。

この場合、5 ニュートンです。

これで、仕事が得られるようになります。

つまり、仕事は 5 ニュートンに距離を掛ける

掛け算を点で示します。

掛け算を点で示します。

5 メートル掛ける５ニュートンは
25 ニュートン メートル

25 のジュールの作業が行われていると言います。

これはやや基本的な物理学のすべての復習です。

もう一度、見直しましょう。

仕事とは何だったか。

要約をすると

仕事は 、力ベクターの5 ニュートンに

仕事は 、力ベクターの5 ニュートンに

つまり、この角度のコサインを
私の力ベクトルの大きさに掛けたもの

この角度をシータと呼びましょう。

一般的に書きましょう。

それに、角度のコサインをかけたもの

これが、変位ベクトルの方向への力です。

その角度のコサインをかけたもの、

これに、変位ベクトルの量を掛けます。

これに、変位ベクトルの量を掛けます。

または書き換えると

変位ベクトルの量　x　力ベクトルの量　x　cosθ

変位ベクトルの量　x　力ベクトルの量　x　cosθ

これは、線形代数のビデオや、

ドット積、つまり点乗積を扱ったビデオで
既に紹介しました。

ドット積、つまり点乗積を扱ったビデオで
既に紹介しました。

これは、ベクトル d と f のドット積です。

一定の変位と一定の力での仕事を
見つけるしようとしている場合

一般的に、これらのベクトルのドット積で

その仕事の量が得られます。

ドット積になじみのない人は

既に、４〜５個のビデオで、

ドット積について紹介したものがあるので、

それらを参考にしてください。

簡単に言うと

ドット積の　 f . d または d . fは

その大きさの乗算です。

つまり

ドット積とは

このベクトルは、どの程度このベクトルと同じ方向に
起こっている、

この例では、この程度です。

そして、この2 つの大きさを掛けます。

ここで行った作業です。

仕事は、力ベクトルと変位ベクトルとのドット部分で、

これは、スカラー値です。

これは、スカラー値です。

これが、確認できる例を

先でいくつか紹介します。

これはかなり初等物理学のすべての復習です。

今より複雑な例を見てみましょう。

基礎は同じです。

まず、ベクトル場を定義しましょう。

まず、ベクトル場を定義しましょう。

ベクトル 場 f があるとします。

これがどういう意味かは後で考えます。

X の関数は、y、これは、スカラー関数

関数の x と yに i-ユニットのベクトルをかけたもの

これは、水平方向の単位ベクトル、
さらに他のスカラー関数

関数の x と y に　垂直方向の単位ベクトルjを掛けたもの。

これのどのようなものだろうか？

これはベクトル 場です。

これは、2 次元空間のベクトル 場です。

x と y 平面上のベクトル場です。

x と y 平面上のベクトル場です。

またはR2 と言うことができます。

いずれにせよ、あまりにも

数学の議論にこだわらないようにしましょう。

しかし、これは何ですか？

では、 x-y 平面を描きましょう。

直線を引きます。

いいですか？

これがy 軸。　これが x 軸。

第１象限だけ描きますが、

負のどちらの方向へも拡張できます。

これは何ですか?

これは、基本的には

x y 平面で任意の x、yを取ります。

すると、何らかの値が得られます。

x、y が、ここでは、なにかの値が得られ

x、y ここでは、なにかの値を得ます。

つまり、何かの組み合わせのiとjのベクトルが

得られます。

なにかのベクトルが得られます。

つまり、すべてのxy平面上の点にベクトルを定義します

ベクトルを定義します。

xy 平面上にこの点を取れば、

この式に入れて、

書く単位ベクトルに何かの値を掛けたベクトル、

このようなベクトルが得られるとしましょう。

すべてのポイントでこのように
ベクトルが得られます。

ランダム サンプルを示しています。

ここに行くとき、たぶん、こんなベクトルです。

次のようになります。

たぶんここに行くと、ベクトルのようになり

ここに行くと、たぶん、ベクトルのようになります。

ここに行くとき、たぶんそのようなベクトル。

ランダムにポイントを選んでいます。

スカラー関数が適切に定義される
すべてのx y 座標位置のベクトルを定義します。

スカラー関数が適切に定義される
すべてのx y 座標位置のベクトルを定義します。

そのため、ベクトル場と呼ばれます。

どのような潜在的な
なんらかの力が定義されているのでしょう。

どのような潜在的な
なんらかの力が定義されているのでしょう。

どの点でも、何かがあれば、

たぶん、それが関数です。

この隙間に書き続けることもできますが、

この隙間に書き続けることもできますが、

アイデアは、わかったと思います。

xy 平面上の各点をベクトルを関連付けます。

これが、ベクトル 場と呼ばれ

任意の場を定義するに使用できることがわかりましたか？

任意の場を定義するに使用できることがわかりましたか？

重力場を表現することもでき

または、電界、磁界を表現することもできます。

これは本質的に、どのくらい力が、

そのフィールド内の各粒子にあるかを示せます。

いいですか？

今、このフィールドには、いくつかの粒子が

xy 平面上を移動しているとします。

奇妙な力が作用していて、

何かの道筋に沿って移動しているので、

場に作用している力に
必ずしも一致しない動きをします。

場に作用している力に
必ずしも一致しない動きをします。

このような道筋で移動するとしましょう。

この曲線は、位置ベクトル関数で定義されます。

この曲線は、位置ベクトル関数で定義されます。

それでは t の r で定義されているとしましょう。

tのx にiベクトルを掛け、
tのy に j ベクトルを掛けたものを足します。

それが、tでのr、ここです。

まあ、この有限の道筋とするために、

tは、a以上で、b以下です。

tは、a以上で、b以下です。

これは、粒子は通った道筋です。

これらの風変わりな力の場に作用されています。

粒子がここの場合は、たぶん、ベクトル場を作用し

多分それには力が働いています。

でも、道筋に沿って動こうとしているので、

この方向へ、動きます。

ここで、ベクトル場がこのような場合は

何らかの道筋の影響で、この方角に動きます。

何らかの道筋の影響で、この方角に動きます。

今、すべてのこのビデオでやったことは、

基本的な質問には、つながります。

力場によって粒子に対して行われた仕事が、
何かです。

力場によって、粒子に対して行われた仕事が、
何かです。

この質問に答えるためには、
もう少し詳しく見ることが必要です。

道筋の詳細を見てみましょう。

道筋の詳細を見てみましょう。

この限られた範囲で、

どのような仕事がなされたか見てみましょう。

力場の方向を変わり、

粒子の方向も変わっています。

ここから、ほんの少し移動したとしましょう。

ここから、ほんの少し移動したとしましょう。

これは無限に小さい動きdrです。

いいですか？

無限に小さい変位で、この差分のベクトルが得られます。

無限に小さい変位で、この差分のベクトルが得られます。

このコースで、力場の影響がこのように

作用しているとします。

いいですか？

このような力を提供しています。

これが、ここのベクトル場です。

その時点で粒子にかかる力です。

いいですか？

それは無限小の時間空間です。

この小さな時点では

一定の力がかかっていると言えるでしょう。

この小さな期間の仕事は何でしょう。

この小さな間隔の仕事は何ですかと
言うこともできます。

d仕事、または仕事の差分を言うことができます。

これは、変位の方向への力の規模と、変位の大きさを

掛け合わせる簡単な問題と同じ論理を

使用します。

ここの例からどのようにするかわかっていますね。

ドット積の問題です。

力とこの極小の変位のドット積です。

力とこの極小の変位のドット積です。

力とこの極小の変位のドット積です。

力とこの極小の変位のドット積です。

これで、なされた仕事の量が得られます。

これは、非常に小さいdrですが、

これを合計することで、答えが得られます。

すべてのdrを処理します。

仕事の合計を把握するには、すべてのf . dr の作業します。

それには、積分を使用します。

線積分を行います。

2 つの方法があります。

ここに、dWと書くこともできます。

または、この曲線 CのdWの線積分を行います。

または、この曲線 CのdWの線積分を行います。

これで、すべての仕事の量が得られます。

仕事はこれと等しいとすると

同じ曲線Cのfとdrのドット積と書くこともできます。

同じ曲線Cのfとdrのドット積と書くこともできます。

これは、抽象的な感じがして

これは、抽象的な感じがして

実際にどのように、これを算出するか？
悩む人もいるでしょう。

特にすべてがtのパラメーターの場合は

特にすべてがtのパラメーターの場合は

どのように　tの式に直せばいいのでしょう？

では、、何 がf とr のドット積ですか？

あるいは、fとdrのドット積は何ですか？

それに答えるためには、何がdrであったか、

思い出してみましょう。

覚えていれば、dr／ dt は　X’（t）または、dX／dt

それに、i単位ベクトルを掛けたものと

Y’（t）にj単位ベクトルを掛けたものです。

drを得るには、両辺をdtで掛けます。

おおまかに説明しています。

おおまかに説明しています。

dr＝X’（t）dt　＊　i　＋Y’（t）dt　＊　j

dr＝X’（t）dt　＊　i　＋Y’（t）dt　＊　j

dr＝X’（t）dt　＊　i　＋Y’（t）dt　＊　j

これでdrが得られます。

これでdrが得られます。

何のベクトル場だった覚えています。

ここにありますね。

コピーしてきます。

ドット積は

それほど、難しいものではありません。

いいですか？

いいですか？

この積分はどうなるでしょう？

この積分は、粒子がパスに沿って移動する際、
力場による仕事の合計です。

この積分は、粒子がパスに沿って移動する際、
力場による仕事の合計です。

これは、実際の物理のための基礎で、

いつか、実際に使用する機会があると思います。

では、

この積分で、tをaからbとしましょう。

この積分で、tをaからbとしましょう。

aから、スタートし、道筋にそって、

bに行きます。

粒子が時間に沿って

移動していると考えてもいいでしょう。

では　fとdrのドット積は何でしたか？

ドット積を覚えていれば、

ベクトルの対応する部分の掛け算の結果を
集計したものです。

ベクトルの対応する部分の掛け算の結果を
集計したものです。

この積分は、tがaからbでの、

xとyが　tの関数である　
P（x（t）y（t））

xとyが　tの関数である
P（x（t）y（t））

xとyが　tの関数である
P（x（t）y（t））

これに

この部分のiの部分を掛け、

この部分のiの部分を掛け、

つまり、X’（t）dt

q 関数にも同様に

＋Q、行を変えて書きますね。

書き続けて行くと

場所がなくなりそうですね。

Q（x（t）y（t））に

jの部分を掛け

つまり、Y’（t）dtです。

これで、完了です。

これで、完了です。

これはまだ少し抽象的思えるかもしれませんが、

次のビデオでは、すべてtで表され、

簡単な積分です。

簡単な積分です。

dtを式の外側に置くこともできます。

そうすると、少しすっきりします。

これで、基本的に必要な作業が終わりです。

次のビデオで具体的に

ベクトル場内の線積分または関数を使っての作業を

行ってみましょう。

行ってみましょう。