Całka krzywoliniowa i pole wektorowe

Użycie całek krzywoliniowych do znalezienia pracy wykonanej na cząsteczce poruszającej się w polu wektorowym.

....

Jednym z najbardziej fundamentalnych
pojęć w fizyce

jest pojęcie pracy.

Teraz gdy poznajesz pojęcie pracy
mówisz, och, praca to przecież

siła razy przemieszczenie.

Ale później, gdy uczysz się
trochę więcej o wektorach,

wiesz, że wektor pracy
nie będzie miał zawsze

tego samego zwrotu,
co wektor przemieszczenia.

Więc uczysz się, że praca
jest właściwie długością wektora,

napiszę to, długością wektora pracy,
w kierunku,

albo składnikiem siły w kierunku

przemieszczenia,

gdzie przemieszczenie to odległość

wraz z pewnym kierunkiem,

razy długość wektora przemieszczenia,
albo, można powiedzieć,

razy odległość, która została przebyta.

Napiszę odległość.

Klasyczny przykład.

Może masz jakąś kostkę lodu
albo podobną bryłę.

Pomyślałem o lodzie, bo
nie ma tam zbyt dużego tarcia.

Załóżmy, że bryłka ta stoi na jakimś jeziorze,
lodzie albo czymś podobnym.

Załóżmy, że ciągniesz tę kostkę pod pewnym kątem,

niech będzie takim jak ten.

To jest wektor mojej siły.

Powiedzmy, że jest ona równa -
w zasadzie,

to mój wektor siły.

Powiedzmy, że jego długość

wynosi 10 N (niutonów).

Załóżmy również, że kierunek mojej siły,
oczywiście każdy

wektor musi mieć długość i kierunek,

powiedzmy, że tu mamy kąt 30 stopni,

albo lepiej kąt 60 stopni.

To określa kierunek, w którym będę ciągnąć
tę bryłkę.

Załóżmy, że ją przesunąłem.

Mam nadzieję, że to wszystko jest powtórką.

Przesuńmy tę bryłę,
z siłą powiedzmy 5 N.

Zatem przesunięcie, czyli
tutaj mamy wektor przesunięcia,

długość tego wektora to 5 m (metrów).

Z definicji pracy wiesz,
że nie możesz

po prostu powiedzieć: ciągnę
bryłę z siłą 10 N

i przesuwam ją o 5 m.

Nie możesz tak po prostu mnożyć
10 N przez 5 m.

Musisz znaleźć długość wektora
składowego siły,

o tym samym kierunku,
co wektor przemieszczenia.

Co muszę zrobić, to
znaleźć jego długość.

Jeśli wyobrazisz sobie, że
jego długość wynosi 10 N,

tyle wynosi długość wektora siły,
ale musisz znaleźć długość

wektora składowego tej siły,
o tym samym kierunku

co przemieszczenie.

Korzystamy z prostej trygonometrii.
Wiesz, że długość tego wektora

to 10 razy cosinus 60 stopni,

a cos(60) wynosi 1/2,
zatem 1/2 razy 10 to 5.

Więc ta długość, długość
wektora siły

o tym samym kierunku
co wektor przemieszczenia

w tym przypadku,
to 5 N.

Zapiszę tę wartość.

I dopiero teraz możesz
obliczyć wartość siły.

Możesz powiedzieć, że siła
jest równa 5 N razy,

napiszę kropkę jako symbol mnożenia,

nie chcę, żebyś myślał o iloczynie wektorowym,

razy 5 m, co daje nam 25
niutonometrów,

czyli można powiedzieć,
że wykonano 25 J (dżuli) pracy.

To była krótka powtórka
z podstaw fizyki.

Pomyślmy jednak, co tu się stało.

Czym była praca,

jeśli myślelibyśmy bardziej abstrakcyjnie?

Praca jest równa 5 N.

czyli długość mojego wektora siły,

razy cosinus tego kąta.

Nazwijmy go theta.

Załóżmy, że jest generalnie mały.

Zatem, razy kosinus kąta.

Jest to wartość siły w kierunku

przemieszczenia, kosinus kąta między nimi,

razy długość wektora przemieszczenia.

Zatem razy długość wektora przemieszczenia.

Gdybym chciał to przepisać,
to mógłbym napisać

długość wektora przemieszczenia razy
długość wektora siły

razy kosinus kąta theta.

Robiłem już wiele filmów na ten temat.
Można je znaleźć w dziale

algebry liniowej, fizyki.
Chodzi mi o te, w których

mówię o iloczynie skalarnym
i wektorowym,

a tutaj mamy iloczyn skalarny
wektorów d i f.

Ogólnie mówiąc, jeśli próbujesz
znaleźć pracę przy stałym

przemieszczeniu i jeśli masz
stałą siłę, wykorzystujesz

po prostu iloczyn skalarny
tych dwóch wektorów.

Jeśli kompletnie nie znasz pojęcia
iloczynu skalarnego,

powinieneś zobaczyć moje filmy,
myślę, że zrobiłem ich wiele,

4 albo 5. Poznasz wtedy
intuicję za nim stojącą

i czym się wyróżnia.

Żeby jednak dać ci ślad intuicji,

iloczyn skalarny, f kropka d,
albo d kropka f,

i to co mi daje, mnożę długość wektora..

właściwie mógłbym to na głos przeczytać.

Idea stojąca za iloczynem skalarnym jest taka,
weź część

tego wektora o tym sam ym
kierunek co ten wektor,

w tym przypadku to jest tyle,

a później mnożymy te dwie długości.

Tak właśnie zrobiliśmy tutaj.

Zatem praca będzie równa:
wektor siły, kropka,

biorąc część skalarną wektora siły
z wektorem przemieszczenia,

a to jest oczywiście skalar.

W przyszłości będziemy pracować
nad kilkoma przykładami,

zobaczysz, że tak jest w istocie.

Zatem to była powtórka ze względnie podstawowej
wiedzy fizycznej.

Zajmijmy się teraz bardziej
złożonym przykładem,

który odzwierciedla w zasadzie
to samo.

Zdefiniujmy pole wektorowe.

Pole wektorowe.

Powiedzmy, że mamy pole
wektorowe f

i za chwilę zastanowimy się,
co to znaczy.

Jest to funkcja zmiennych x i y,
równa pewnej funkcji skalarnej

zmiennych x i y, pomnożonej
przez wektor jednostkowy i,

albo poziomy wektor jednostkowy,
plus inna skalarna funkcja

tych zmiennych, x i y, razy
pionowy wektor jednostkowy.

Jak to będzie wyglądać?

To jest nasze pole wektorowe.

Jest to pole wektorowe
w przestrzeni dwuwymiarowej.

Jesteśmy w płaszczyźnie XY.

To pole wektorowe w płaszczyźnie XY,

mógłbyś nawet powiedzieć w R2.

W każdym razie, nie chcę się
zbytnio wgłębiać

zbytnio w to wgłębiać.

Co ono robi?

Jeśli narysowałbym moją płaszczyznę XY,
to jest moja,

znowu mam problem z narysowaniem
prostej linii.

W porządku, udało się.

To moja oś Y, a to moja oś X.

Rysuję tylko pierwszą ćwiartkę,
ale mógłbyś też

wybrać inną, w innym kierunku,
jeśli wolisz.

Co robi to pole wektorowe?

Dokładnie mówiąc - popatrz.

Jeśli ustalimy jakiegokolwiek x i y
w płaszczyźnie XY,

to one sprawią, że otrzymamy
jakieś liczby, prawda?

Jeśli wstawimy nasze x i y tutaj,
otrzymamy pewną wartość,

jeśli wstawisz x i y tutaj,
to też otrzymasz jakąś wartość.

Więc otrzymasz pewną
kombinację

wektorów jednostkowych i oraz j.

Czyli otrzymasz wektor.

Zatem pole wektorowe definiuje nam
wektor, który jest związany

z każdym punktem
płaszczyzny XY.

Moglibyśmy powiedzieć,
że biorąc dowolny punkt tej płaszczyzny

i wstawiając go tutaj
dostanę coś razy i

dodać coś razy j,
a dodając je,

otrzymując jakiś taki wektor.

Możesz to zrobić dla każdego punktu.

Biorę dowolne pary.

Być może gdy będę tutaj,
mój wektor będzie wyglądać

jakoś tak.

Gdy pójdę tutaj, wektor
będzie wyglądać tak,

w tym miejscu wektor jest taki,

a tutaj taki.

Wybieram punkty
całkowicie przypadkowo.

Pole wektorowe definiuje
wektor dla każdych współrzędnych x,y

gdy te funkcje są dobrze zdefiniowane.

I to właśnie nazywamy polem wektorowym.

Definiuje, jak wygląda
siła potencjalna

albo inna siła, w każdym punkcie
płaszczyzny.

W każdym, jeśli jest tam
istotnie jakaś cząstka.

Prawdopodobnie tak wygląda
siła w tym punkcie.

Mógłbym je wybierać
w nieskończoność,

wypełniając wszystkie luki.

Mam nadzieję, że
rozumiesz ogólną ideę.

Pole wektorowe wiąże wektor
z każdym punktem płaszczyzny XY.

Ponieważ nazwane jest polem
wektorowym, to prawdopodobnie

rozsądne, że może być
użyte do opisu

każdego typu pola.

Może to być pole grawitacyjne,

elektryczne, magnetyczne.

I ono mówi ci dokładnie,
jak duża siła działałaby

na pewną cząsteczkę w danym
punkcie tego pola.

Dokładnie to jest opisywane
przez pole wektorowe.

Załóżmy teraz, że w tym polu
mamy pewną cząsteczkę,

która porusza się
w płaszczyźnie XY.

Załóżmy, że zaczyna swą podróż tutaj,
i wyniku działania wszystkich tych

sił, które na nią działają,
może jest na jakimś torze,

więc nie zawsze będzie się
poruszać dokładnie w kierunku,

w którym pole próbuje ją
przesunąć.

Powiedzmy, że porusza się po
mniej więcej takiej ścieżce.

Załóżmy o tej ścieżce, czy krzywej,
że jest zdefiniowana

przez funkcję wektorową.

Załóżmy więc, że jest ona
zdefiniowana przez r(t),

które jest równe x(t) razy i
dodać y(t) razy j.

Mamy tu r(t).

Żeby ścieżka ta była skończona,
parametryzacja ta będzie mieć sens

dla t większego lub równego a

oraz mniejszego lub równego b.

To jest ścieżka, którą
będzie biegła sobie cząsteczka,

w efekcie działania tych
wszystkich sił.

Zatem gdy cząstka jest w tym miejscu,
oraz to jest działający na nią

w tym punkcie wektor,
być może siła działa w ten sposób.

Jednak skoro jest na pewnym torze,
to porusza się

w tym kierunku.

Kiedy jest tutaj, pole wektorowe
może działać jakoś tak,

ale cząstka porusza się
w tym kierunku, bo jest już

na pewnym torze.

Wszystko co do tej pory zrobiłem
w tym filmie prowadzi

do fundamentalnego pytania:

Ile wynosi praca wykonana przez pole wektorowe

podczas przenoszenia cząsteczki?

Aby odpowiedzieć na to pytanie,
musimy wgłębić się w rysunek.

Będę powiększał
tylko bardzo małe

fragmenty naszej ścieżki.

Spróbujmy znaleźć,
ile wynosi praca wykonana

na bardzo krótkim odcinku naszej ścieżki,
ponieważ stale się on zmienia.

Pole zmienia kierunek,

i cząsteczka zmienia kierunek.

Załóżmy zatem, że jestem tutaj
i że, powiedzmy,

poruszyłem się o niewielką
część mojej ścieżki.

Załóżmy, że ta część jest

nieskończenie mała, ok?

Mam różniczkę, wektor różniczki,
oraz nieskończenie

małe przemieszczenie.

Dodatkowo załóżmy też,
że pole wektorowe

działające w małym otoczeniu,

wygląda jakoś tak.

Zapewnia ono siłę
jakąś taką.

Jest to więc pole wektorowe
w tym obszarze, albo

siła działająca na tą cząsteczkę, gdy
jest ona w tym punkcie.

Zgadasz się?

Rozważamy nieskończenie mały
odcinek czasu w przestrzeni.

Mógłbyś powiedzieć, że, no dobrze,
wokół tego małego punktu

mamy stałą siłę.

Jaka praca została tutaj wykonana?

Mógłbyś zapytać, jaki jest mały przedział pracy?

Możesz stwierdzić, że jest to
różniczka pracy.

Tak jak robiliśmy to
w poprzednim prostym przykładzie,

jest to długość wektora siły
w kierunku

naszego przemieszczenia razy
długość wektora tego przemieszczenia.

Wiemy co to jest, z poprzedniego przykładu.

To dokładnie iloczyn skalarny.

Jest to iloczyn skalarny siły
i naszego bardzo małego

przemieszczenia.

Jest to zatem równe produktowi
skalarnego naszej siły

i naszego bardzo małego
przemieszczenia.

Kontynuując to rozumowanie,
obliczamy pracę nad

bardzo bardzo małym dr.

Ale co chcemy zrobić,
to je zsumować.

Chcemy zsumować wszystkie
dr, żeby obliczyć wartość całkowitą,

wartość wszystkich tych f kropka dr,
aby znaleźć całkowitą wykonaną pracę.

Tu pojawia się całka.

Będziemy używać całki
krzywoliniowej, w zasadzie

mógłbyś myśleć o tym
na dwa sposoby.

Mógłbyś napisać po prostu
d kropka w, ale możemy też

powiedzieć, oblicz całkę
krzywoliniową po krzywej C,

mogę nazwać ją C, albo wzdłuż r,
cokolwiek chcesz powiedzieć, z dw.

To da nam pracę całkowitą.

Załóżmy , że praca jest
istotnie temu równa.

Moglibyśmy napisać też całkę
po tej samej krzywej

z f, z f kropka dr.

To może się wydawać dość...

abstrakcyjne.

Jak właściwie obliczamy coś takiego,

Szczególnie, gdy wyraziliśmy
wszystko

w zależności od t?

Jak to wyrazić
w zależności od t?

Pomyśl o tym,
czym jest f kropka r?

Albo, czym jest f kropka dr?

Aby odpowiedzieć na to pytanie,
przypomnijmy sobie,

jak wyglądało dr.

Jak pamiętasz, dr/dt jest równe
x'(t), zapiszę to tak,

mogłem napisać dx dt,
razy wektor jednostkowy i

dodać y'(t) razy
wektor jednostkowy j.

Aby dostać dr, możemy
pomnożyć obie strony,

trochę machamy rękami przy
tych różniczkach,

nie jesteśmy zbyt konsekwentni.

Mamy, że dr jest równe x'(t) dt razy
wektor jednostkowy i

dodać y'(t) razy różniczka dt

i razy wektor jednostkowy j.

Mamy więc nasze dr.

To ten napis tutaj.

Przypomnijmy sobie, czym było
nasze pole wektorowe.

Jest ono tu zapisane.

Skopiuję i wkleję to niżej.

Widzimy więc, że
iloczyn skalarny

nie jest właściwie
zbyt skomplikowany.

Kopiuję, spróbuję wkleić

to gdzieś tutaj niżej.

Zatem, jak będzie wyglądać
szukana całka?

Ta całka wyraża całkowitą
pracą wykonaną przez

pole wektorowe na cząsteczce,
gdy porusza się ona wzdłuż ścieżki.

Te proste fakty to podstawa
bardziej skomplikowanej fizyki,

którą być może się bardziej
zainteresujesz.

Możemy więc powiedzieć...

Będzie to całka, powiedzmy, że
od t równego

a do t równego b.

Zgadza się?
a to punkt, w którym zaczęła się ścieżka,

t od a do b.

Możesz sobie wyobrazić,
że mierzymy czas,

w którym porusza się cząstka,
ilość czas wzrasta.

Ale wtedy, czym jest f kropka dr?!

Jeśli wiesz, czym jest
iloczyn skalarny,

możesz wziąć iloczyn
odpowiednich

składowych twojego wektora
i je dodać.

Zatem będziemy mieć całkę
od t równego a, do t równego b,

z funkcji P(x,y),
a właściwie zamiast pisać

x, y, mamy x(t), prawda?
x jako funkcja t, y jako

funkcja t.

Mamy to.

Mnożymy jeszcze przez tę część,
przez tę składową, zgadzasz się?

Mnożymy składową wektora
jednostkowego i.

Mamy więc razy x'(t) i później dodać
ten fragment, i to samo

zrobimy dla funkcji Q.

Mamy więc Q, dodać,
przejdę do następnej linii,

mam nadzieję, że rozumiesz,
że mogłem po prostu pisać dalej,

ale kończy mi się miejsce.

Dodać Q od x(t) i y(t), razy składowa
naszego dr, razy

składowa y, albo składowa j,

y'(t) dt.

I koniec.

Zrobione.

To wciąż może wydawać się abstrakcyjne,

ale jak zobaczymy w następnym filmie,
wszystko mamy wyrażone w zależności

od t, mamy więc do obliczenia
zwykłą całkę

względem dt.

Moglibyśmy wyciągnąć przed nawias dt,

wtedy całość będzie
wyglądać bardziej przyjaźnie.

Tylko to zostało nam do obliczenia.

Zobaczymy jeszcze kilka konkretnych przykładów

całki krzywoliniowej dla pola wektorowego,
albo funkcji wektorowych,

ale to w następnym filmie.

Koniec.