Integrale liniare și câmpuri vectoriale

Folosirea integralelor liniare pentru găsirea lucrului mecanic făcut de o particulă care se mișcă într-un câmp vectorial

.....

Unde dintre ideile fundamentale din fizică

este noțiunea de lucru mecanic.

Când învățați prima dată
despre lucru mecanic, considerați că este

doar
forța înmulțită cu distanța.

Dar mai târziu,
când învățați puțin despre

vectori, realizați că
forța nu are mereu

aceeași direcție cu deplasarea.

Deci, lucrul mecanic este doar
magnitudinea,

-să scriu asta-
magnitudinea forței în direcția,

sau componenta forței în direcția

deplasării.

Deplasarea este doar
distanța cu o anumită direcție.

.......

Înmulțită cu magnitudinea deplasării,
sau ați putea spune,

înmulțită cu distanța parcursă.

...

Și exemplul clasic.

Poate aveți un cub de gheață,
sau alt tip de bloc.

Am ales gheața ca să nu fie
prea multă frecare.

Poate stă pe un lac mai mare
sau pe gheață sau pe altceva.

Și poate trageți de
cubul de gheață sub un unghi.

Să spunem că trageți
sub un unghi precum acesta.

Aceasta este forța mea,
chiar aici.

Să spunem că forța mea
este egală cu - de fapt, acesta

este vectorul forță.

Să spunem că magnitudinea
vectorului forță este

să zicem 10N.

Și să presupunem că
direcția vectorului forță,

fiecare vector trebuie
să aibă magnitudine și direcție, corect?

și direcția, să zicem că are
30 de grade, să zicem 60

de grade deasupra orizontalei.

Deci asta e
direcția în care trag.

Și să presupunem
că l-am deplasat.

Sper că toate acestea
sunt recapitulări.

Dacă îl deplasăm, să spunem
că il deplasăm 5 metri*.

Deci să zicem că deplasarea,
acesta este vectorul deplasare

chiar aici, si magnitudinea lui
este egală cu 5 metri.

Ați învățat din definiția
lucrului mecanic, că nu poți

spune: '' Trag cu o forță de 10N și

îl mișc 5 metri.

Nu poți pur și simplu să
înmulțești 10 N cu 5 m.

Trebuie să găsești
magnitudinea componentei care

se află în aceeași direcție
cu deplasarea.

Deci, ceea ce rebuie
sa fac de fapt este,

dacă vă imaginați lungimea
acestui vector fiind 10, aceasta este

forța totală, dar dvs trebuie
să aflați lungimea

vectorului, adică
componenta forței care are

aceeași direcție cu deplasarea.

Și cu puțină trigonometrie
simplă, știți că

aceasta este 10 ori cosinus de
60 de grade,dar aceasta este egală cu,

cosinus de 60 de grade este 1/2, deci
este egală cu 5.

Deci această magnitudine,
magnitudinea forței

care este în aceeași direcție
cu deplasarea

în cazul nostru,
este 5 newtoni.

......

Și apoi puteți afla
lucrul mecanic.

Puteți spune că lucrul este egal cu
5 N înmulțit cu

voi folosi
un punct pentru înmulțire

Ca să nu credeți
că e produs vectorial.

Înmulțit cu 5m, și rezultă
25 newtoni-metru, sau

25 jouli de lucru
au fost făcuți.

Și toate acestea sunt
doar recapitulări de bază.

Gândiți-vă la ce s-a întâmplat.

Care a fost lucrul?

Dacă notez abstract.

Lucrul este egal cu cei 5 N.

Aceasta era magnitudinea
vectorului forță, deci

magnitudinea vectorului forță,
ori cosinusul acestui unghi.

Ca să știți, îl notez teta.

Să generalizăm puțin.

Deci, înmulțit cu
cosinusul unghiului.

Asta este cantitatea forței
în direcția

deplasării, cosinusul unghiului
dintre ele, ori

magnitudinea deplasării.

Deci înmulțit cu magnitudinea deplasării.

Dacă ar fi să rescriu,
aș putea scrie

magnitudinea deplasării
ori magnitudinea

forței ori cosinus de teta.

Am făcut multe videouri pe acest subiect
în play-listul cu algebra liniară,

și în cel cu fizică,
unde vorbesc despre

produsul scalar și
produsul vectorial, dar

acesta este produsul scalar
al vectorilor d și F.

În general, dacă vreți să găsiți
lucrul pentru o deplasare

constantă, și aveți o forță constantă

considerați doar produsul scalar
al celor doi vectori.

Iar dacă produsul scalar
vă este o noțiune străină

poate doriți să vedeți,
cred că am multiple,

4 sau 5 videouri despre
produsul scalar și intuiția lui

și despre cum se comportă.

Dar ca să vă împărtășesc
puțin din intuiție chiar

aici, produsul scalar, când
luăm F punct d, sau d punct F,

ceea ce realizez este că
înmulțesc magnitudinea, ei bine

aș putea citi de aici.

Dar produsul scalar înseamnă
cât de mult din acest

vector se deplasează în
aceeași direcție ca acest vector,

în cazul nostru, atât de mult.

Și apoi înmulțiți
cele două magnitudini.

Și asta am făcut noi aici.

Deci lucrul va fi
vectorul forță, ori, luând

partea scalară a vectorului forță
cu vectorul deplasare,

iar rezultatul este, desigur,
un scalar.

Vom lucra câteva exemple
în viitor când vă veți convinge

că este adevărat.

Aceasta este doar recapitularea
unor concepte de bază ale fizicii.

Să considerăm un exemplu
mai complex, dar

este aceeași idee.

Să definim
un câmp vectorial.

Să definim
un câmp vectorial.

Să spunem că avem un câmp vectorial f și

ne vom gândi la ce înseamnă asta
într-o secundă.

Este o funcție de x și y, și
este egală cu o funcție scalară.

de x și y înmulțită cu
vectorul unitate i, sau

vectorul unitate orizontal, plus
altă

funcție scalară de x și y înmulțită
cu vectorul unitate vertical.

Cum ar arăta așa ceva?

Acesta este un câmp vectorial.

E un câmp vectorial
într-un spațiu bidimensional.

Ne aflăm în planul x-y.

Acesta este un câmp vectorial
în planul x-y.

Sau poți spune chiar în R2.

În orice caz, nu vreau să
aprofundez matematic

prea mult.

Dar ce face asta?

Dacă ar fi să desenez planul x-y,
acesta sunt eu, din nou,

având probleme la
desenarea unei linii drepte.

În regulă, așa mai merge.

Aceasta este axa y și
aceasta axa x.

Desenez doar primul cadran,
dar dvs puteți prelungi

partea negativă în ambele direcții,
dacă doriți.

Ce face acest lucru?

Spune, în principiu, uite,

Tu îmi dai orice x, orice y,
dai orice x, y în planul x-y

și lor le vor fi atribuite
niște numere, nu-i așa?

Când pui x, y aici
vei obține niște valori, când

pui x, y aici, vei obține
anumite valori.

Deci vei obține o combinație
a vectorilor unitate

i și j.

Deci vei obține un vector.

Deci, ceea ce face este
definirea unui vector asociat

fiecărui punct din planul x-y

Ați putea spune, dacă
iau acest punct din planul x-y,

și îl înlocuiesc aici,
voi obține ceva înmulțit cu i plus

ceva înmulțit cu j, și
le aduni pe cele două

și probabil obțin un vector ca acesta.

Și puteți face asta pentru
fiecare punct.

Iau valori aleatorii.

Poate când ajung aici,
vectorul arată

cam așa.

Poate când ajung aici,
vectorul arată așa.

Poate când ajung aici,
vectorul arată așa.

Și poate când ajung aici, sus,
vectorul arată așa.

Aleg la întâmplare
niște puncte.

Definește un vector
pentru toate coordonatele x,y unde

aceste funcții scalare
sunt bine definite.

De aceea este numit
câmp vectorial.

Definește un potențial,
poate o forță,

sau orice alt tip de forță
în orice punct.

În orice punct, dacă se
întâmplă să ai ceva acolo.

Poate asta este chiar funcția.

Și aș putea continua la infinit

umplând toate golurile.

Dra cred că ați înțeles ideea.

Asociază un vector
fiecărui punct în planul x-y.

Acesta e numit câmp vectorial,
și probabil

e de la sine înțeles că
ar putea fi folosit

la descrierea oricărui tip de câmp.

Ar putea fi câmp gravitațional.

Câmp electric,
câmp magnetic.

Acesta îți poate spune ce forță

va actiona asupra unei particule
în acel câmp.

Este exact ceea ce ar descrie.

Să presupunem că în acest câmp
există o particulă

care se mișcă în planul x-y.

Să presupunem că începe aici și
în virtutea tuturor acelor forțe nebune

care acționează asupra ei,
sau poate se află pe un traseu delimitat

și nu mereu se mișcă exact în

direcția îndicată de câmp.

Să presupunem că se mișcă
pe un traseu ca acesta.

Si să zicem că acest traseu,
sau această curbă, este definită

de o funcție vectorială de poziție.

Să zicem că este definită de
r de t, care este

chiar x de t ori i plus
y de t ori j.

Aceasta este r în funcție de t
chiar aici.

Traseul urmat este finit pentru

t mai mare sau egal cu a,

și mai mic sau egal cu b.

Acesta este drumul pe care
particula il parcurge

datorită tuturor acestor forțe.

Când particula se află chiar aici,
câmpul vectorial care acționează

poate acționează cu
o forță ca aceasta.

Dar din moment ce particula
este restrânsă, se mișcă

în aceeași direcție.

Și când se află aici, poate
câmpul vectorial acționează astfel,

dar particula se mișcă în această
direcție, deoarece este limitată

să urmeze un anumit drum.

Tot ce am făcut
până acum

a fost să vă conduc spre
o întrebare.

Care este lucrul mecanic făcut
de câmp asupra particulei?

Care este lucrul mecanic făcut
de câmp asupra particulei?

Pentru a răspunde, să
detaliem puțin.

Voi detalia doar o mică porțiune

a drumului nostru.

Să încercăm să aflăm
lucrul mecanic făcut

pentru o porțiune mică a drumului,
fiindcă totul se schimbă continuu.

Câmpul își schimbă direcția,

obiectul meu
își schimbă direcția.

Să considerăm că sunt aici,
și că mă deplasez

pe o distanță mică.

Să presupunem că mă mișc,
aceasta este o lungime

infinitezimală dr.

Este o diferențială, un
vector diferențial,

o deplasare infinit de mică.

Iar de-a lungul ei,
câmpul vectorial

acționează în acest loc,
să zicem că arată

cam așa.

Furnizează o forță
care arată cam așa.

Acesta este câmpul vectorial
pentru această zonă, sau

forța care acționează asupra particulei
când se află în acest punct.

Este un timp
infinitezimal în spațiu.

Putem afirma că asupra
acestui mic punct

avem o forță constantă.

Care a fost lucrul efectual
în acest interval de timp foarte scurt?

Care este intervalul scurt de lucru?

Ați putea răspunde d lucru mecanic, sau
o diferențială a lucrului mecanic.

Urmând aceeași logică din
problema simplă

este magnitudinea forței
în direcția deplasării

înmulțită cu
magnitudinea deplasării.

Și știm deja cum se numește,
din exemplul de mai sus.

Este produsul scalar.

Este produsul scalar dintre forță
și deplasarea noastră

foarte mică.

Deci este egal cu produsul scalar
dintre forță și

deplasarea noastră foarte mică.

Prin această operație
aflăm doar lucrul mecanic pentru

un foarte mic, super mic dr. Dar,

ce dorim să facem
este să le adunăm pe toate.

Vrem să adunăm toate elementele dr
pentru a afla totalul,

toate produsele scalare - F punct dr
pentru a afla lucrul total.

Și aici intervine integrala.

Vom folosi o integrală liniară de la..
De fapt, ați putea să

o aplicați în două feluri.

Ați putea scrie d punct w aici,
dar am putea

să considerăm o integrală liniară
de-a lungul curbei c, o numim pe aceasta c

sau de-a lungul lui r, sau
cum vreți să îl numiți de dw.

Așa vom obține lucrul mecanic total.

Să zicem că lucrul mecanic
este egal cu asta.

Sau am putea să considerăm integrala,
de-a lungul aceleiași curbe,

de F punct dr.

Asta ar putea să vi se pară

că e prea abstract.

Cum calculezi așa ceva?

Mai ales că totul este parametrizat

în funcție de t.

Cum obținem expresia în funcție de t?

Și dacă vă gândiți mai bine,
ce este F punct r?

Sau, ce este F punct dr?

De fapt, pentru a vă răspunde,
să ne amintim

cum arată dr.

Dacă vă amintiți, dr/dt este egal
cu x prim de t

Aș fi putut să scriu dx dt înmulțit cu

vectorul unitate i, plus y prim de t
înmulțit cu vectorul unitate j.

Și dacă am vrea să avem doar dr,
putem înmuți în ambele părți,

dacă suntem mai neglijenți cu

diferențialele și nu
foarte riguroși.

Vom obține că dr este egal cu
x prim de t dt ori vectorul unitate

i plus y prim de t
ori diferențiala dt

ori vectorul unitate j.

Astfel am aflat dr.

Amintiți-vă care era
câmpul vectorial.

Era chiar acesta, sus.

Îl voi copia aici.

Și vom vedea că
produsul scalar

nu este atât de nebunesc.

Il copiez, și îl atașez aici.

Cum va arăta această integrală?

Această integrală, care ne dă
lucrul total făcut de câmp

asupra particulei,
care se mișcă pe acest drum.

Este extrem de important
în cam orice domeniu

din fizică pe care îl veți
aborda ulterior.

Veți fi uimiți.

Va fi integrala, de la
să zicem, t egal cu

a, până la t egal cu b.

a este unde am început drumul,
t egal cu a

până la t egal cu b.

Vă puteți imagina că este cronometrată,
particula se mișcă

pe măsură ce timpul curge.

Dar ce înseamnă F punct dr?

Dacă vă amintiți ce este produsul scalar,

puteți considera produsul componentelor
corespunzătoare vectorului

și apoi să le adunați.

Va fi integrala
de la t egal cu a până la

t egal cu b, din P de x,
în loc de a scrie x, y

este x de t, corect? x în funcție
de t,

y în funcție de t.

Cam asta e.

Înmulțit cu această componentă.

Înmulțim componentele
din direcția i.

Deci, înmulțit cu x prim de t dt,
și apoi plus,

și vom face la fel cu funcția Q.

Este Q plus,
voi scrie pe o nouă linie.

Sper că realizați că aș fi putut continua,

dar nu mai am loc.

plus Q de x de t, y de t, ori
componenta lui dr. Înmulțit cu

componenta y, sau j.

y prim de t dt.

Și am terminat!

Am terminat.

Poate încă vi se mai pare
puțin , dar

vom vedea în următorul video
că acum totul este în funcție de t

deci este doar o integrală simplă

în funcție de dt.

Dacă dorim, putem scoate
dt din ecuație

și va arăta un pic
mai familiar.

Dar asta este tot ceea ce
avem de făcut, în principiu.

Vom vedea câteva exemple clare

pentru integrala liniară
într-un câmp vectorial,

sau folosind funcții vectoriale,
în următorul video.