อินทิกรัลเส้นกับสนามเวกเตอร์

การใช้อินทิกรัลเส้นในการหางานที่กระทำต่ออนุภาคซึ่งเคลื่อนที่ผ่านสนามเวกเตอร์

-

หนึ่งในแนวคิดที่พื้นฐานที่สุดอย่างนึงในฟิสิกส์

คือ แนวคิดเรื่องงาน

ทีนี้, ตอนคุณเรียนเรื่องงานครั้งแรก, คุณอาจบอกว่า, โอ้

นั่นก็แค่แรงคูณระยะทาง

แต่แล้วต่อมา, ตอนคุณเรียนอีกหน่อยเรื่อง

เวกเตอร์, คุณก็รู้ว่าแรงไม่จำเป็นต้อง

มีทิศทางเดียวกับการกระจัด

คุณก็เลยรู้ว่า งาน มีแค่ขนาด, ขอผมเขียนลงไป

ตรงนี้นะ, ขนาดของแรง, ในทิศ,

หรือองค์ประกอบของแรงในทิศ

ของการกระจัด

การกระจัดก็คือระยะทางที่มีทิศด้วย

-

คูณขนาดของการกระจัด, หรือคุณบอกว่า

คูณระยะที่มันเลื่อนไป

-

และตัวอย่างคลาสสิค

บางทีคุณอาจมีก้อนน้ำแข็ง, หรือก้อนหินสักอย่าง

เป็นน้ำแข็งจะได้ไม่มีแรงเสียดทานมากนัก

บางทีมันอาจอยู่บนทะเลสาบที่ใหญ่กว่า หรือน้ำแข็งอะไรสักอย่าง

บางทีคุณอาจดึงก้อนน้ำแข็งนั่นเป็นมุมค่านึง

สมมุติว่า คุณกำลังดึงมันเป็นมุมแบบนั้น

นั่นคือแรงของผม, ตรงนี้

สมมุติว่าแรงผมเท่ากับ -- ทีนี้, นั่นคือ

เวกเตอร์แรงผม

สมมุติว่าขนาดของเวกเตอร์แรง, สมมุติว่า

มันคือ 10 นิวตัน

สมมุติว่าทิศของเวกเตอร์แรง, ตรงนี้,

เวกเตอร์ใด ๆ ต้องมีทั้งขนาดและทิศ, และทิศ

สมมุติมันทำมุม 30 องศา, สมมุติว่า

มุม, 60 องศา, เหนือแกนนอน

ดังนั้นนั่นคือทิศที่ผมกำลังดึง

สมมุติว่าผมเลื่อนมันไป

หวังว่านี่เป็นการทบทวนนะ

หากคุณเลื่อนมัน, สมมุติว่าคุณเลื่อนมันไป 5 นิวตัน

สมมุติว่าการกระจัด, นั่นคือเวกเตอร์การกระจัด

ตรงนี้, และขนาดของมันเท่ากับ 5 เมตร

คุณก็รู้จากนิยามของแรงแล้ว, คุณไม่อาจ

บอกว่า, โอ้, ผมกำลังดึงด้วยแรง 10 นิวตัน และ

ผมกำลังเคลื่อนไป 5 เมตร

คุณไม่สามารถคูณ 10 นิวตันด้วยระยะ 5 เมตรได้

คุณต้องหาขนาดขององค์ประกอบ

ที่อยู่ในทิศเดียวกับการกระจัด

ดังนั้นสิ่งที่ผมจำเป็นต้องทำคือ, ความยาว, หากคุณ

นึกถึงความยาวของเวกเตอร์นี้เป็น 10, นั่นก็คือ

แรงลัพธ์, แต่คุณต้องหาความยาว

ของเวกเตอร์, นั่นคือองค์ประกอบของแรง, จะได้มีทิศ

เดียวกับการกระจัดผม

และด้วยตรีโกณมิติง่าย ๆ, คุณก็รู้ว่า

นี่คือ 10 คูณโคไซน์ของ 60 องศา, หรือนั่นเท่ากับ

โคไซน์ของ 60 องศา คือ 1/2, นั่นจะเท่ากับ 5

ดังนั้นขนาดนี่, ขนาดของแรง

ไปในทิศเดียวกับการกระจัดในกรณีนี้

คือ 5 นิวตัน

-

แล้วคุณก็หางานได้แล้ว

คุณอาจบอกว่า งานเท่ากับ 5 นิวตัน คูณ, ผมจะ

เขียนจุดแทนการคูณนะ

ผมไม่อยากให้คุณคิดว่ามันคือ ครอสโปรดัก

คูณ 5 เมตร, ซึ่งก็คือ 25 นิวตันเมตร, หรือคุณอาจ

บอกว่า 25 จูล เป็นงานที่ทำไป

และนี่คือการทบทวนฟิสิกส์พื้นฐานทั่วไป

แต่ลองคิดว่าเกิดอะไรขึ้นบ้างตรงนี้

งานคืออะไร?

หากผมเขียนในรูปนามธรรม

งานเท่ากับ 5 นิวตัน

นั่นคือขนาดของเวกเตอร์แรง, ดังนั้นมัน

คือขนาดของเวกเตอร์แรงผม, คูณโคไซน์ของมุมนี้

คุณก็รู้, เรียกมันว่าเทต้าแล้วกัน

สมมุติว่ามันทั่ว ๆ ไปแล้วกัน

คูณกับโคไซน์ของมุม

นี่คือปริมาณของแรงในทิศของ

การกระจัด, โคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน, คูณ

ขนาดของการกระจัด

งั้นคูณขนาดของการกระจัด

หรือหากผมอยากเขียนมันใหม่, ผมก็เขียนมันเป็น,

ขนาดของการกระจัด คูณ ขนาดของแรง

คูณโคไซน์ของเทต้า

และผมทำวิดีโอหลายอันเกี่ยวกับเรื่องนี้แล้ว, ในรายการพีชคณิตเชิงเส้น

ในรายการฟิสิกส์, โดยผมพูดถึง

ดอทโปรดัคและครอสโปรดัค อะไรพวกนั้น, แต่

นี่คือดอทโปรดัคของเวกเตอร์ d กับ f

งั้นโดยทั่วไป, หากคุณพยายามหางานของการกระจัด

คงที่, และคุณมีแรงคงที่, คุณก็แค่

หาดอทโปรดัคของเวกเตอร์สองตัวนั้น

และหากดอทโปรดัคเป็นเรื่องไม่คุ้นเคยสำหรับ

คุณ, คุณอาจอยากไปดู, ผมว่าผมทำไว้หลายอัน, วิดีโอ

4 หรือ 5 อันเกี่ยวกับดอทโปรดัค, และสัญชาตญาณ,

ว่ามันต่างกันยังไง

แต่เพื่อให้คุณได้สัญชาตญาณนิดหน่อยตอนนี้

ดอทโปรดัค, ตอนผมเอา f ดอท d, หรือ d ดอท f,

สิ่งที่มันให้ผมคือ, ผมกำลังคูณขนาด,

อันนั้นผมแค่อ่านนี่ออกมา

แต่แนวคิดของดอทโปรดัคคือ, เอาปริมาณ

ของเวกเตอร์ในทิศเดียวกับเวกเตอร์นี้ออกมา,

ในกรณีนี้, ก็คือเท่านี้

แล้วคูณด้วยขนาดทั้งสอง

และนั่นคือสิ่งที่เราทำไปตรงนี้

ดังนั้นงานจะเท่ากับเวกเตอร์แรง, ดอท, เอา

ส่วนดอทของเวกเตอร์แรง กับเวกเตอร์การกระจัด,

และนี่, แน่นอน, มีค่าเป็นสเกลาร์

และเราจะทำตัวอย่างในอนาคต

ให้คุณเห็นว่ามันเป็นจริง

ดังนั้นนี่คือการทบทวนฟิสิกส์เบื้องต้นจริง ๆ

ทีนี้ ลองดูตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้น, แต่มันยัง

คิดเหมือนเดิม

ลองนิยามสนามเวกเตอร์ขึ้นมา

-

งั้นสมมุติว่าผมมีสนามเวกเตอร์ f, และเรา

จะคิดว่ามันหมายถึงอะไรในไม่ช้า

มันคือฟังก์ชันของ x กับ y, และมันเท่ากับสเกลาร์ฟังก์ชัน

ของ x กับ y คูณเวกเตอร์หน่วย i, หรือ

เวกเตอร์หน่วยตามแนวราบ, บวกฟังก์ชันอีกอัน, ฟังก์ชัน

สเกลาร์ของ x กับ y, คูณเวกเตอร์หน่วยตามแนวดิ่ง

แล้วของแบบนี้จะเป็นยังไง?

นี่คือสนามเวกเตอร์

นี่คือสนามเวกเตอร์ในสเปซ 2 มิติ

เราอยู่ในระนาบ x-y

-

หรือคุณอาจเรียกมันว่า R2

ไม่ว่ายังไง, ผมไม่อยากพูดถึง

คณิตศาสตร์ในนั้นเกินไป

แต่นี่จะทำอะไร?

เอาล่ะ, หากผมวาดระนาบ x-y, โดยที่นั่นคือ,

ผมมีปัญหาเรื่องวาดเส้นตรงอีกแล้ว

เอาล่ะ, ได้แล้ว

นั่นคือแกน y ผม, และนั่นคือแกน x ผม

ผมแค่วาดจตุภาคแรก, แต่คุณอาจวาด

ไปเป็นลบในอีกทางนึงก็ได้ถ้าต้องการ

แล้วสิ่งนี้จะทำอะไร?

มันกำลังบอกว่า, ลองดู

คุณบอกค่า x กับ y ใด ๆ กับผม คุณบอกค่า x,y ใด ๆ บนระนาบ x-y

และพวกนี้จะออกมาเป็นตัวเลข, จริงไหม?

เมื่อคุณใส่ x, y ตรงนี้, คุณจะได้ค่าบางอย่าง,

ตอนคุณแทน x, y ตรงนี้, คุณจะได้ค่าบางอย่าง

คุณจะได้ส่วนผสมของเวกเตอร์หน่วย

i กับ j

งั้นคุณจะได้เวกเตอร์สักตัว

และสิ่งที่นี่ทำ, มันจะนิยามเวกเตอร์ที่คู่

กับจุดทุกจัดบนระนาบ x-y

ผมอาจบอกได้ว่า, หากผมเอาจุดนี้บนระนาบ x-y มา,

และผมเลือกมันมาไว้นี่, ผมจะได้บางสิ่งคูณ i บวก

บางสิ่งคูณ j, และเมื่อคุณบวกสองอย่างเข้า, เราจะได้

เวกเตอร์ที่ออกมาเป็นแบบนี้

และคุณทำได้กับทุกจุด

ผมแค่เลือกตัวอย่างขึ้นมามั่ว ๆ

บางทีตอนผมมาตรงนี้, เวกเตอร์ดู

หน้าตาแบบนี้

บางทีตอนผมไปตรงนี้, เวกเตอร์หน้าตาเป็นแบบนี้

บางทีตอนผมไปตรงนี้, เวกเตอร์เป็นแบบนี้

และบางทีตอนผมไปถึงตรงนี้, เวกเตอร์ไปแบบนั้น

ผมแค่เลือกจุดขึ้นมาสุ่ม ๆ

มันจะตั้งเวกเตอร์บนพิกัด x, y ทั้งหมด โดย

ฟังก์ชันสเกลาร์พวกนี้ถูกนิยามไว้ชัดเจน

และนั่นคือสาเหตุที่มันถูกเรียกว่า สนามเวกเตอร์

มันนิ่ยามสิ่งที่ แรงศักย์ จะเป็น,

หรือแรงประเภทอื่น ๆ, ณ จุดใด ๆ

ที่จุดใด ๆ, หากคุณมีอะไรสักอย่างตรงนั้น

บางทีนั่นคือสิ่งที่ฟังก์ชันเป็น

ผมสามารถทำแบบนี้ไปตลอด,

และเติมเต็มที่ว่างทั้งหมด

แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจแล้ว

มันจับคู่เวกเตอร์เข้ากับทุกจุดบนระนาบ x-y

ทีนี้, นี่เรียกว่าสนามเวกเตอร์, ดังนั้นก็เข้าใจได้

ว่านี่สามารถใช้บรรยาย

สนามได้ทุกประเภท

มันอาจเป็นสนามโน้มถ่วงก็ได้

มันอาจเป็นสนามไฟฟ้า, อาจเป็นสนามเหล็ก

และนี่อาจบอกคุณว่ามีแรง

กระทำต่ออนุภาคในสนามนั้นเท่าไหร่

นั่นคือสิ่งนี้กำลังบรรยายอยู่

ตอนนี้, สมมุติว่าในสนามนี้, ผมมีอนุภาค

เคลื่อนที่ไปในระนาบ x-y

สมมุติว่ามันเริ่มตรงนี้, และเนื่องจากแรงเพี้ยน ๆ พวกนี้

กระทำต่อมัน, หรือบางทีมันอยู่ในราง

หรืออะไรสักอย่าง, มันไม่ต้องเคลื่อนที่ไป

ตามทิศของสนามที่กระทำต่อมันเสมอไป

สมมุติว่ามันเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางที่เคลื่อนไปแบบนี้

สมมุติว่าเส้นทางนี้, หรือเส้นโค้งนี้, บรรยายได้

ด้วยฟังก์ชันเวกเตอร์ตำแหน่ง

งั้นสมมุติว่านั่นนิยามด้วย r ของ t, หรือก็

คือ x ของ t คูณ i บวก y ของ t คูณเวกเตอร์หน่วย j

นั่นคือ r ของ t ตรงนี้

ทีนี้, ในการทำให้นี่เป็นเส้นทางจำกัด, มันจะเป็น

เช่นนั้นก่อน t มากกว่าเท่ากับ a, และน้อยกว่า

เท่ากับ b

นี่คือเส้นทางที่อนุภาคจะ

เคลื่อนไป, เนื่องจากแรงพวกนี้

เมื่ออนุภาคอยู่ตรงนี้, บางทีสนามเวกเตอร์

ที่กระทำต่อมัน, บางทีมันอาจให้แรงแบบนั้น

แต่เนื่องจากสิ่งนี้อยู่บนรางสักอย่าง, มันจะ

เคลื่อนที่ไปในทิศนั้น

แล้วเมื่อมันอยู่ตรงนี้, บางทีสนามเวกเตอร์เป็นแบบนั้น,

แต่มันเคลื่อนที่ไปอีกทิศนึง, เพราะมันอยู่

บนรางสักอย่าง

ตอนนี้, ทุกอย่างที่ผมทำมาในวิดีโอนี้ เพื่อตั้ง

คำถามพื้น ๆ ข้อนึง

นั่นคือ งานที่กระทำต่ออนุภาคโดยสนามนั้นเป็นเท่าไหร่?

-

เพื่อตอบคำถามนั้น, เราลองขยายเข้าไปหน่อย

ผมจะขยายเข้าไปตรงส่วนเล็ก ๆ

ของเส้นทางเรา

และลองหาว่างานที่กระทำใน

ช่วงเล็ก ๆ ของเส้นทาง, เพราะมันเปลี่ยนไปสม่ำเสมอ

สนามมีทิศเปลี่ยนไปเรื่อย ๆ

วัตถุก็เปลี่ยนทิศไปเรื่อย ๆ

งั้นสมมุติว่าตอนผมอยู่ตรงนี้, สมมุติว่าผมเคลื่อนที่

ไปได้นิดเดียวตามทาง

สมมุติว่าผมเคลื่อนที่, นี่เป็น dr

เล็กจิ๋ว, จริงไหม?

ผมมีดิฟเฟอเรนเชียล, มันคือเวกเตอร์ดิฟเฟอเรนเชียล, การ

กระจัดเล็กจิ๋ว

และสมมุติว่าตลอดช่วงนั้น, สนามเวกเตอร์

กำลังกระทำกับพื้นที่ท้องถิ่นนี้, สมมุติว่ามัน

หน้าตาแบบนั้น

มันกำลังให้แรงที่ดูเป็นแบบนั้น

ดังนั้นนั่นคือเวกเตอร์สนามในพื้นที่นั้น, หรือแรง

ชี้ไปยังอนุภาคตรงนี้มันอยู่ ณ จุดนั้น

จริงไหม?

มันคือช่วงเล็กจิ๋วในสเปซ

คุณอาจบอกว่า, โอเค, ตลอดช่วงเล็กจิ๋วนั่น, เรา

บอกว่านี่เป็นแรงคงที่

งานที่ทำตลอดช่วงเวลาสั้น ๆ นี้เป็นเท่าไหร่?

คุณก็บอกว่า, งานช่วงเล็ก ๆ คืออะไร?

คุณอาจบอกว่า d งาน, หรือดิฟเฟอเรนเชียลของงาน

ด้วยตรรกะเดียวกันที่เราทำกับโจทย์ง่าย ๆ

มันคือขนาดของแรงในทิศของ

การกระจัดคูณขนาดของการกระจัด

และเรารู้ว่ามันคืออะไร, จากตัวอย่างข้างบนนี้

นั่นคือดอทโปรดัค

มันคือดอทโปรดัคของแรงกับการกระจัดเล็กจิ๋ว

ของเรา

ดังนั้นมันเท่ากับดอทโปรดัคของแรงเรากับ

การกระจัดเล็กจิ๋ว

ทีนี้, ด้วยการทำเช่นนี้, เราเพิ่งหาได้ว่างาน

ตลอดช่วง dr ที่เล็กสุด ๆๆๆ ไป แต่

ที่เราอยากทำคือ เราอยากรวมพวกมันเข้า

เราอยากรวม dr ทั้งหมดเพื่อหา f ดอท

dr ทั้งหมด เพื่อหางานลัพธ์

และนั่นคือที่ที่อินทิกรัลเข้ามา

เราจะหาอินทิกรัลเส้นตลอด -- ผมหมายถึง, คุณอาจ

คิดได้สองแบบ

คุณอาจเขียน d ดอท w ตรงนี้, แต่เราอาจบอกว่า, เราจะ

หาอินทิกรัลเส้นตลอดเส้นโค้ง c นี่, เรียกมันว่า c

หรือตาม r, อะไรก็ได้ที่คุณอยากเรียก, ของ dw

นั่นจะให้งานรวมกับเรา

งั้นสมมุติว่า, งานเท่ากับอันนั้น

หรือเราอาจเขียนมันตลอดอินทิกรัล, ตลอด

เส้นโค้งของ f ของ f ดอท dr

และนี่อาจดู, คุณก็รู้, นี่มัน

ดูนามธรรมมากเลยนะ ซาล

เราจะคำนวณอะไรแบบนี้จริง ๆ ได้ไง?

ได้สิ เพราะเรามีทุกอย่างเขียนได้

ในรูปของ t

แล้วเราจะได้นี่ในรูปของ t ได้อย่างไร?

และหากคุณคิดดูดี ๆ, f ดอท r คืออะไร?

หรือ f ดอท dr คืออะไร?

ที่จริง, ในการตอบคำถามนั้น, ลองนึกดูว่า

dr เป็นอย่างไร

หากคุณจำได้, dr/dt เท่ากับ x ไพรม์ของ t, ผมจะเขียน

มันเเป็น, ผมสามารถเขียน dx dt หากผมต้องการ, คูณ

เวกเตอร์หน่วย i, บวก y ไพรม์ของ t, คูณเวกเตอร์หน่วย j

และหากเราอยากได้ dr, เราก็คูณทั้งสองข้าง

หากเราเล่นกลสักหน่อยกับ

ดิฟเฟอเรนเชียล, ไม่เข้มงวดเกินไป

เราจะได้ dr เท่ากับ x ไพรม์ของ t คูณเวกเตอร์หน่วย

i บวก y ไพรม์ของ t คูณเวกเตอร์หน่วย j

คุณดิฟเฟอเรนเชียล dt

งั้นนี่คือ dr ตรงนี้

-

และจำไว้ว่าสนามเวกเตอร์เราคืออะไร

มันคือสิ่งนี้บนนี้

ขอผมลอกและแปะไว้ตรงนี้นะ

เราจะเห็นเองว่าดอทโปรดัค

ไม่ได้แย่นัก

งั้นลอก, และขอผมแปะมันข้างล่างตรงนี้นะ

-

แล้วอินทิกรัลนี้จะออกมาเป็นอย่างไร?

อินทิกรัลนี่ตรงนี้, นั่นบอกงานรวมที่ทำโดย

สนาม, ต่ออนุภาค, เมื่อมันเคลื่อนที่ตามเส้นทางนั่น

แค่หลักพื้นฐานถึงฟิสิกส์จริง ๆ

ที่คุณอาจต้องทำในที่สุด

คุณอาจบอกว่า, โอ้

มันจะต้องเป็นอินทิกรัล, สมมุติว่าจาก t เท่ากับ

a ถึง t เท่ากับ b

จริงไหม? a คือตอนที่เราเริ่มต้น, t เท่ากับ

a ถึง t เท่ากับ b

คุณอาจนึกว่ามันคือเวลา, เมื่ออนุภาค

เคลื่อนที่, เวลาก็เริ่มเดิน

แล้ว f ดอท dr คืออะไร?

ทีนี้, หากคุณจำไว้ว่าดอทโปรดัคคืออะไร, คุณก็

แค่หาผลคูณระหว่างองค์ประกอบ

คู่กันของเวกเตอร์ แล้วจับมันรวมกัน

ดังนั้น นี่จะเท่ากับอินทิกรัลจาก t เท่ากับ a ถึง t

เท่ากับ b, ของ p ของ p ของ x, ที่จริง แทนที่จะเขียน x,

y, มันคือ x ของ t, จริงไหม? x เป็นฟังก์ชันของ t, y เป็น

ฟังก์ชันของ t

เลยเป็นแบบนั้น

คูณด้วยสิ่งนี่ตรงนี้, คูณองค์ประกอบนี้, จริงไหม?

เรากำลังคูณองค์ประกอบ i อยู่

งั้นคูณ x ไพรม์ของ t d t, แล้วก็บวก, เราจะ

ทำเหมือนกันกับฟังก์ชัน q

ดังนั้นนี่คือ q บวก, ผมจะไปอีกบรรทัดนึงนะ

หวังว่าคุณคงรู้ว่าผมยังเขียนต่ออยู่

แต่ผมไม่มีที่แล้ว

บวก q ของ x ของ t, y ของ t, คูณองค์ประกอบของ dr เรา

คูณองค์ประกอบ y, หรือ องค์ประกอบ j

y ไพรม์ของ t dt

แล้วก็เสร็จ!

เสร็จแล้ว

นี่อาจดูนามธรรมไปหน่อย, แต่เราจะ

เห็นในวิดีโอหน้า, ว่าทุกอย่างตอนนี้อยู่ในรูปของ

t, นี่ก็จะเป็นการอินทิเกรตตรง ๆ

เทียบกับ dt

หากเราต้องการ, เราสามารถเอา dt ออกจากสมการ

และมันจะอยู่ปกติกว่าเดิม

แต่ที่สุดแล้วนี่คือทั้งหมดที่เราต้องทำ

และเราจะดูตัวอย่างจริง ๆ ในการหา

อินทิกรัลเส้นตามสนามเวกเตอร์, หรือใช้ฟังก์ชัน

เวกเตอร์นี้, ในวิดีโอหน้า

-